北京交通大学概率论期末试卷.doc

个人收集整理 勿做商业用途2006-2007学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷答案（A）一填空题(本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中 1设、是三个随机事件，且,，,，则、这三个随机事件中至少有一个发生的概率为_ 解: 所求概率为由概率的加法公式得 由于，由概率的单调性、非负性及题设中的条件,得 ,所以因此， 应填： 2设随机变量的概率密度为则的分布函数为： _ 解：因为概率密度在，处都等于0，即知 当时， 当时,， 当时， 故所求的分布函数是 3设随机变量服从参数为的泊松分布，并且，则=_ 解:由于随机变量服从参数为的泊松分布，所以的分布律为由已知条件,得 ，得 ，解此方程，得,因此的分布律为所以， 应填：或。 4设二维随机变量的联合密度函数为则_ 解： 由,得 所以, 应填： 5设总体的分布律为其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，则参数的矩估计量_ 解： 所以,将替换成样本均值,得参数的矩估计量为 应填： 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1设、为两个互不相容的随机事件，且，则下列选项必然正确的是 .； 。; 。； 。【 】 解： 因为、为两个互不相容的随机事件,所以,因此所以， 应选： 2对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为，第二台仪器发生故障的概率为令表示测试中发生故障的仪器数，则 .； .； .； 。【 】 解： 由于表示测试中发生故障的仪器数，所以的取值为,并且的分布律为 所以 应选： 3设，其中、为常数，且，则 。； 。； .; .【 】 解： 由，,其中、为常数，且，可知也服从正态分布由 ，所以， 应选: 4设某地区成年男子的身高，现从该地区随机选出名男子，则这名男子身高平均值的方差为 . ； 。 ； 。 ； 。 【 】 解： 从该地区随机选出名男子，相当于从总体中抽取一个样本量为的样本令是其样本均值，则,其中是总体方差由题意，知所以， 应选： 5设随机变量服从参数的泊松（Poisson）分布，又设随机变量,则为 . ； . ; 。； 。【 】 解：随机变量的分布律为 所以， 应选：三(本题满分10分） 一房间有3扇同样大小的窗户,其中只有一扇是打开的有一只鸟在房子里飞来飞去,它只能从开着的窗子飞出去假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的若令表示鸟为了飞出房间试飞的次数求 的分布律 这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率 若有一只鸟飞出该房间5次,其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间,请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理? 解： 的取值为，并且 因此的分布律为 .。3分 。3分 若将这只鸟是否“最多试飞3次就飞出房间”看作是一次Bernoulli试验，则这只鸟飞进该房间5次可以看作是一个5重Bernoulli试验 ，则所以，。.3分这表明，“有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间”不是一个小概率事件,因此“假定这只鸟是没有记忆的是合理的 。1分四（本题满分10分） 设随机变量的密度函数为： 求: 系数A; X落在区间（0，1）内的概率； （3) X的分布函数 解： 由于,所以；.3分 ;.。3分 (3） . .4分五（本题满分10分） 一射手进行射击，击中目标的概率为,射击直至击中2次目标时为止令表示首次击中目标所需要的射击次数，表示总共所需要的射击次数 求二维随机变量的联合分布律 求随机变量的边缘分布律 求在时，的条件分布律并解释此分布律的意义 解： 随机变量的取值为；而随机变量的取值为，并且 ， （其中） 。2分 ， 即随机变量的边缘分布律为 .4分 由于因此在时，的条件分布律为 .3分这表明，在的条件下，的条件分布是一个“均匀”分布它等可能地取值。.1分六（本题满分10分） 某单位的一部电话总机有台分机，每台分机有4的时间要使用外线假设每台分机是否使用外线是相互独立的试用中心极限定理计算，当该单位有条外线时，至少有一台分机使用外线时要等待的概率 附表：标准正态分布的分布函数的表 解: 设表示在某时刻台分机中使用外线的分机数,则利用中心极限定理，得。2分 。5分 。3分七（本题满分10分） 某射手每次射击击中目标的概率都是80,现连续向一目标射击,直到第一次击中为止,求射击次数的期望和方差。 解:设X表示射击次数,则X服从几何分布，分布律为: 。.3分（1）。 。3分（2)。 因为, 由，可以求出 .。4分八（本题满分10分） 设总体的密度函数为其中是未知参数是从该总体中抽取的一个样本，试求参数的最大似然估计量 解: 似然函数为 .。2分所以，。.2分所以, 令：,即，.2分得到似然函数的唯一驻点.。2分所以参数的最大似然估计量为。.2分九（本题满分10分） 设总体的数学期望为，方差为，现从中分别抽取容量为与的两个独立样本，这两个样本的样本均值分别为与证明:对于满足的任何常数及，是的无偏估计，并确定常数及，使得的方差达到最小 解： 由样本均值的数学期望的性质，得 所以，是的无偏估计.2分 又由于 ，所以， .。3分 下面求二元函数在条件下的最小值由Lagrange乘数法，令，.。2分则有， ，解此方程组，得, 即当，时，的方差达到最小.3分