北京交通大学概率论期末试卷.doc

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2006-2007学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷答案（A）
一．填空题(本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中
1．设、、是三个随机事件，且,，,，．则、、这三个随机事件中至少有一个发生的概率为________．
解:
所求概率为．由概率的加法公式得
．
由于，由概率的单调性、非负性及题设中的条件,得．
,所以．
因此，
．
应填：．
2．设随机变量的概率密度为

则的分布函数为： ________．
解：因为概率密度在，处都等于0，即知
当时，，
当时,，
当时，，
故所求的分布函数是

3．设随机变量服从参数为的泊松分布，并且，
则=________．
解:由于随机变量服从参数为的泊松分布，所以的分布律为
．
由已知条件,得
，得 ，
解此方程，得,因此的分布律为
．
所以， ．
应填：或。
4．设二维随机变量的联合密度函数为

则________．
解：
由,得

所以,．
应填：
5．设总体的分布律为

其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，则参数的矩估计量__________________．
解：

所以,．将替换成样本均值,得参数的矩估计量为
．
应填：．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设、为两个互不相容的随机事件，且，则下列选项必然正确的是
.； 。; 。； 。．
【 】
解：
因为、为两个互不相容的随机事件,所以,因此
所以，
应选：．

2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为，第二台仪器发生故障的概率为．令表示测试中发生故障的仪器数，则
.； .；
.； 。．
【 】
解：
由于表示测试中发生故障的仪器数，所以的取值为,并且的分布律为

所以
．
应选：．
3．设，，其中、为常数，且，则
。； 。；
.; .．
【 】
解：
由，,其中、为常数，且，可知也服从正态分布．由
，，
所以，．
应选:．

4．设某地区成年男子的身高，现从该地区随机选出名男子，则这名男子身高平均值的方差为
. ； 。 ； 。 ； 。 ．
【 】
解：
从该地区随机选出名男子，相当于从总体中抽取一个样本量为的样本

令是其样本均值，则,其中是总体方差．由题意，知．所以，
．
应选：．

5．设随机变量服从参数的泊松（Poisson）分布，又设随机变量,则为
. ； . ; 。； 。．
【 】
解：随机变量的分布律为

所以，
应选：．
三．(本题满分10分）
一房间有3扇同样大小的窗户,其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去,它只能从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求⑴ 的分布律．⑵ 这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率．⑶ 若有一只鸟飞出该房间5次,其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间,请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理?
解：
⑴ 的取值为，并且

因此的分布律为
．………………………………………………….。3分
⑵ ．………。。3分
⑶ 若将这只鸟是否“最多试飞3次就飞出房间”看作是一次Bernoulli试验，则这只鸟飞进该房间5次可以看作是一个5重Bernoulli试验．
，则．
所以，．………。.3分
这表明，“有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间”不是一个小概率事件,因此“假定这只鸟是没有记忆的"是合理的． ………。。1分

四．（本题满分10分）
设随机变量的密度函数为：

求: ⑴ 系数A;
⑵ X落在区间（0，1）内的概率；
（3) X的分布函数
解：
⑴ 由于,所以；……..3分
⑵ ;…….。3分
(3） . ……..4分
五．（本题满分10分）
一射手进行射击，击中目标的概率为,射击直至击中2次目标时为止．令表示首次击中目标所需要的射击次数，表示总共所需要的射击次数．
⑴ 求二维随机变量的联合分布律．
⑵ 求随机变量的边缘分布律．
⑶ 求在时，的条件分布律．并解释此分布律的意义．
解：
⑴ 随机变量的取值为；而随机变量的取值为，并且

， （其中）
．……。。2分
⑵ ，
．
即随机变量的边缘分布律为 ．……..4分
⑶ 由于
因此在时，的条件分布律为
……..3分
这表明，在的条件下，的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值
……。.1分
六．（本题满分10分）
某单位的一部电话总机有台分机，每台分机有4％的时间要使用外线．假设每台分机是否使用外线是相互独立的．试用中心极限定理计算，当该单位有条外线时，至少有一台分机使用外线时要等待的概率．
附表：标准正态分布的分布函数的表

解:
设表示在某时刻台分机中使用外线的分机数,则．利用中心极限定理，得……。。2分
……。。5分
．……。。3分

七．（本题满分10分）
某射手每次射击击中目标的概率都是80％,现连续向一目标射击,直到第一次击中为止,求射击次数的期望和方差。
解:设X表示射击次数,则X服从几何分布，分布律为:
……。.3分
（1）。 ……。。3分
（2)。 因为, 由，可以求出
…….。4分
八．（本题满分10分）
设总体的密度函数为
．
其中是未知参数．是从该总体中抽取的一个样本，试求参数的最大似然估计量．
解:
似然函数为
…….。2分
所以，．……。.2分
所以,．
令：,即，……..2分
得到似然函数的唯一驻点．…….。2分
所以参数的最大似然估计量为．……。.2分
九．（本题满分10分）
设总体的数学期望为，方差为，现从中分别抽取容量为与的两个独立样本，这两个样本的样本均值分别为与．证明:对于满足的任何常数及，是的无偏估计，并确定常数及，使得的方差达到最小．
解：
由样本均值的数学期望的性质，得

所以，是的无偏估计．……..2分
又由于 ，．
所以，
…….。3分
下面求二元函数在条件下的最小值．由Lagrange乘数法，令
，…….。2分
则有， ，解此方程组，得
,
即当，时，的方差达到最小．……..3分