1、第十五届华杯赛总决赛一试试题一、填空题(共3题,每题10分)1、小兔和小龟从A地到森林游乐园,小兔上午9点出发,1分钟向前跳40米,每跳3分钟就原地玩耍2分钟 ;小龟上午6点40分出发,1分钟爬行只有10米,但途中从不休息和玩耍。已知小龟比小兔早到森林游乐园15秒,那么A地到森林游乐园有 米。【分析】常规题,解得2370米2、小林做下面的计算:,其中是一个自然数,要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数。小林得到的结果是9.684469,这个结果的整数位是正确的,小数各位的数字也没有错,只是次序乱了,则正确的计算结果是 。【分析】,故的循环节也是3位,且为纯循环小数。因此,根据四舍五入的原则,正
2、确计算结果只能是9.6486493、是满足的自然数,且,那么的最小值是 。【分析】若要使项数最小,则要使每一项都尽量小。只是告诉我们没有任何两项的分母相同,为了便于表述,不妨设,令,则,令,则,令,则,所以所以,最小是4二、解答题(共3题,每题10分,写出解答过程)4、蓝精灵王国的两地的距离等于2010米,国王每分钟派一名信使从A地向B地送信。第1号信使的速度是1米/分,以后每一名信使的速度都比前一名每分钟快1米,直到派出第2010号信使为止。问哪些信使能同时到达B地?【分析】设第名与第名信使同时抵达B地。则由,由此看出同时抵达B地的信使成对出现,共8对:(1,2010),(2,1005),(
3、3,670),(5,402),(6,335),(10,201),(15,134),(30,67)5、如图,在直角三角形中,且三对平行线的距离都是1,若,求三角形上的点到三角形三边距离的最大值。【分析】设改点为P,若点P在上,设该点到AB边和BC边的距离分别为,则该点到三角形ABC的三边距离之和为(1),连接,由于三角形面积和为24,于是有(2),将(2)式代入(1)式,得当时,取得最小值7;若点P在边上,则同样方法可得若点P在边上,则同样方法可得,而易得最大是5,所以此时距离和的最大值也是7综上,三角形上的点到三角形三边距离的最大值是76、13个不同的自然数的和是996,且这些数的各位数码之和都彼此相等,求这13个数。【分析】由于这13个数的各位数码之和彼此相等,故这13个数模9同余,设余数为(),设这13个数为,则所以,经尝试与构造,得这13个数是6,15,24,33,42,51,60,105,114,123,132,150,141