第十五届华杯赛总决赛一试试题及答案.doc

第十五届华杯赛总决赛一试试题

一、填空题（共3题，每题10分）

1、小兔和小龟从A地到森林游乐园，小兔上午9点出发，1分钟向前跳40米，每跳3分钟就原地玩耍2分钟 ；小龟上午6点40分出发，1分钟爬行只有10米，但途中从不休息和玩耍。已知小龟比小兔早到森林游乐园15秒，那么A地到森林游乐园有 米。
【分析】常规题，解得2370米

2、小林做下面的计算：，其中是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数。小林得到的结果是9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是 。
【分析】，故的循环节也是3位，且为纯循环小数。因此，根据四舍五入的原则，正确计算结果只能是9.648649

3、是满足的自然数，且，那么的最小值是 。
【分析】若要使项数最小，则要使每一项都尽量小。只是告诉我们没有任何两项的分母相同，为了便于表述，不妨设
，令，则，
令，则，
令，则，所以
所以，最小是4

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4、蓝精灵王国的两地的距离等于2010米，国王每分钟派一名信使从A地向B地送信。第1号信使的速度是1米/分，以后每一名信使的速度都比前一名每分钟快1米，直到派出第2010号信使为止。问哪些信使能同时到达B地？
【分析】设第名与第名信使同时抵达B地。则由，由此看出同时抵达B地的信使成对出现，共8对：（1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，201），（15，134），（30，67）

5、如图，在直角三角形中，°，，，，且三对平行线的距离都是1，若，求三角形上的点到三角形三边距离的最大值。

【分析】设改点为P，若点P在上，设该点到AB边和BC边的距离分别为，则该点到三角形ABC的三边距离之和为（1），连接，由于三角形面积和为24，于是有（2），将（2）式代入（1）式，得
当时，取得最小值7；
若点P在边上，则同样方法可得
若点P在边上，则同样方法可得，而易得最大是5，所以此时距离和的最大值也是7
综上，三角形上的点到三角形三边距离的最大值是7

6、13个不同的自然数的和是996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这13个数。
【分析】由于这13个数的各位数码之和彼此相等，故这13个数模9同余，设余数为
（），设这13个数为，则
所以，，经尝试与构造，得这13个数是6，15，24，33，42，51，60，105，114，123，132，150，141