函数曲线的凹凸性和拐点.doc

(完整版)函数曲线的凹凸性和拐点
第四模块 微、积分学的应用
习题4—6
函数曲线的凹凸性和拐点

1．设函数y=f(x）在区间（a，b)内二次可导，且y>0, >0, 〈0，则曲线y=f(x）在（a，b)内位于x轴上方，单调递增且凸向上。对吗？
解：对.
2．设函数y=f(x）在区间（a，b)内二次可导,且<0， 〉0，则曲线y=f（x)在（a,b）单调递减且凹向上。对吗?
解：对。

3．求曲线y=+x—1的凹凸区间及拐点。
解：=3-12x+1，=6x-12，令=0,解得：x=2 ,在 （，2） 内， <0, 凹区间，在（2，）内, 〉0 ，为 凸区间， x=2,y=-15。（2，-15）是拐点。
4． 求y=x+的凹凸区间及拐点.
解：=1— ,=，x=1，不存在，在 （，1) 内， <0， 凹区间，在（1,）内, >0 ，为 凸区间，无拐点.
5．已知函数y=a+b+cx+d有拐点（-1，4）,且在x=0处有极大值2，求a,b,c，d的值。
解：=3a+2bx+c,因为在x=0处有极大值2，所以,d=2，c=0，而=6ax+2b，有拐点（—1,4)，有—6a+2b=0，4=—a+b+2,得a=1,b=3.
6．证明曲线y=xsinx上所有的拐点均位于曲线（4+)=4上
证明:只需证明曲线y=xsinx上所有可能是拐点的坐标满足方程（4+）=4
=sinx+xcosx，
=cosx+cosx—xsinx=2cosx-xsinx
令=0，得: 2cosx-xsinx=0 (1）
又 y=xsinx （2)
由(1)得 x=2cotx (3）
将（2）（3)代入（4+）=4中，两边相等，证得所有拐点在（4+)=4上。

7．在整个实数轴上有界的函数必具有水平渐进线。对吗？
解：不对，例如y=sinx在R上有界,但无水平渐进线.
8．若f（x）=c，则曲线y=f（x）有水平渐进线y=c。对吗?
解：对。
9．曲线y=仅有垂直渐进线x=1.对吗?
解： 不对。还有水平渐进线 y=1。

10．研究函数y=+9x-482—85的性态,并作出图形。
解：函数的定义域为（，），=3—12x+9=3（x—1）（x—3），令=0，解得： x=1,x=3,=6x-12，令=0,解得：x=2，列表讨论：

x
（，1）
1
（1，2）
2
(2，3)
3
（3，)

+
+
-
—
-
0
+

—
—
—
0
+
+
+
y
增而凹
极大值0
减而凹
拐点（2，—2)
减而凸
极小值-4
增而凸

作图

11．研究函数y= x 的性态,并作出图形。
解：函数的定义域为（，），=-2，令=0，解得： x= ，=-2x-4x+4=x（4—6），令=0，解得:x=0，x= ，因为函数是奇函数,关于原点对称，只要作出（，0），即可得到它的图形。
列表讨论：

x
（,)

（，）

（,0）

—
—
—
0
+

+
0
—
—
—
y
减而凸
拐点
（，)
减而凹
极小值

增而凹

作图

12．研究函数y=的性态，并作出图形。
解：函数的定义域为（，），= ，令=0，解得: x=0，=,令=0，解得：x= ，因为函数是偶函数,关于y轴对称，只要作出(，0）,即可得到它的图形。
列表讨论：

x
（，—）
—
(-,0）
0

-
-
-
—

—
0
+
+
y
减而凹
拐点（-，—）
减而凸
极小值0

作图