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(完整版)函数曲线的凹凸性和拐点第四模块 微、积分学的应用习题46函数曲线的凹凸性和拐点1设函数y=f(x）在区间（a，b)内二次可导，且y0, 0, 0，则曲线y=f(x）在（a，b)内位于x轴上方，单调递增且凸向上。对吗？解：对.2设函数y=f(x）在区间（a，b)内二次可导,且0， 0，则曲线y=f（x)在（a,b）单调递减且凹向上。对吗?解：对。3求曲线y=+x1的凹凸区间及拐点。解：=3-12x+1，=6x-12，令=0,解得：x=2 ,在 （，2） 内， 0, 凹区间，在（2，）内, 0 ，为 凸区间， x=2,y=-15。（2，-15）是拐点。 4 求y=x+的凹凸区间及拐点.解：=1 ,=，x=1，不存在，在 （，1) 内， 0 ，为 凸区间，无拐点. 5已知函数y=a+b+cx+d有拐点（-1，4）,且在x=0处有极大值2，求a,b,c，d的值。解：=3a+2bx+c,因为在x=0处有极大值2，所以,d=2，c=0，而=6ax+2b，有拐点（1,4)，有6a+2b=0，4=a+b+2,得a=1,b=3.6证明曲线y=xsinx上所有的拐点均位于曲线（4+)=4上证明:只需证明曲线y=xsinx上所有可能是拐点的坐标满足方程（4+）=4=sinx+xcosx，=cosx+cosxxsinx=2cosx-xsinx令=0，得: 2cosx-xsinx=0 (1）又 y=xsinx （2)由(1)得 x=2cotx (3）将（2）（3)代入（4+）=4中，两边相等，证得所有拐点在（4+)=4上。7在整个实数轴上有界的函数必具有水平渐进线。对吗？解：不对，例如y=sinx在R上有界,但无水平渐进线.8若f（x）=c，则曲线y=f（x）有水平渐进线y=c。对吗?解：对。9曲线y=仅有垂直渐进线x=1.对吗?解： 不对。还有水平渐进线 y=1。10研究函数y=+9x-48285的性态,并作出图形。解：函数的定义域为（，），=312x+9=3（x1）（x3），令=0，解得： x=1,x=3,=6x-12，令=0,解得：x=2，列表讨论： x（，1）1（1，2）2(2，3)3（3，)+-0+0+y增而凹极大值0减而凹拐点（2，2)减而凸极小值-4增而凸作图 11研究函数y= x 的性态,并作出图形。解：函数的定义域为（，），=-2，令=0，解得： x= ，=-2x-4x+4=x（46），令=0，解得:x=0，x= ，因为函数是奇函数,关于原点对称，只要作出（，0），即可得到它的图形。列表讨论：x（,)（，）（,0）0+0y减而凸拐点（，)减而凹极小值增而凹作图12研究函数y=的性态，并作出图形。解：函数的定义域为（，），= ，令=0，解得: x=0，=,令=0，解得：x= ，因为函数是偶函数,关于y轴对称，只要作出(，0）,即可得到它的图形。列表讨论：x（，）(-,0）0-0+y减而凹拐点（-，）减而凸极小值0作图