【复习专题】中考数学复习：三大变换—旋转作图(二).doc

三大变换之--旋转作图（二）

知识梳理　

1、 中心对称:把一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称。这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点。
2、中心对称的性质：
（1）对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所连线段的中点。
（2）对应线段平行或共线。

教学重、难点

作业完成情况

典题探究

1．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣5，0），
（1）图中B点的坐标是 ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
（3）△ABC的面积是 ；
（4）在直角坐标平面上找一点E，能满足S△ADE=S△ABC的点E有 个；
（5）在y轴上找一点F，使S△ADF=S△ABC，那么点F的所有可能位置是 ；（用坐标表示，并在图中画出）

2．如图，在直角坐标系中，矩形纸片ABCD的点B坐标为（9，3），若把图形按要求折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．
（1）△DEF是否为等腰三角形？（不要说明理由）
（2）图形中是否存在成中心对称的两个图形？如果存在请说明理由；如果不存在，也请说明理由．（图中实线、虚线一样看待）
（3）求折痕EF的长及所在直线的解析式．

3．我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．
（1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）
①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．
②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．
（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①正三角形 ②正方形 ③正六边形 ④正八边形
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形．

4．某校园内有一人行道上镶嵌着如图①所示的水泥方砖，砖面上的小沟槽（如图②）EA、HD、GC、FB分别是方砖TPQR四边的中垂线，四边形HEFG是正方形，现请你根据上述信息解答下列问题．

（1）方砖TPQR面上的图案　_________　
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
（2）若要使方砖TPQR的面积是正方形HEFG面积的9倍，求当方砖边长为24厘米时，小沟槽EA的长是多少．

演练方阵
A档（巩固专练）

1．设点M（1，2）关于原点的对称点为M′，则M′的坐标为　_________　．

2．在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是　_________　．

3．如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系第一象限内，先将它向下平移4个单位后，再将它绕原点O旋转180°，则小花顶点A的对应点A′的坐标为　_________　．

4．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是　_________　．

5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P的坐标为　_________　．

6．函数的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是　_________　（填序号）．
①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当x＞0时，函数有最小值；④点（1，4）在函数图象上；⑤当x＜1或x＞3时，y＞4．

7．永州市新田县的龙家大院至今已有930多年历史，因该村拥有保存完好的“三堂九井二十四巷四十八栋”明清建筑，而申报为中国历史文化名村．如图是龙家大院的一个窗花图案，它具有很好的对称美，这个图案是由：①正六边形；②正三角形；③等腰梯形；④直角梯形等几何图形构成，在这四种几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　_________　（只填序号）．

8．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2011次变换后所得的A点坐标是　_________　．

9．在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性．如图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形．
　_________　．

10．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为　_________　，点B关于x轴的对称点B′的坐标为　_________　，点C关于y轴的对称点C的坐标为　_________　．
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．

　B档（提升精练）

11．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．
求证：FD=BE．

12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1，1）．
（1）若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，求点B1、C1、D1的坐标．
（2）若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1=0的一个根，求a的值．

13．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA=2，OB=1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．
（1）写出点A，C的坐标；
（2）求点A和点C之间的距离．

14．如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC．
（1）AC的长等于　_________　；
（2）先将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是　_________　；
（3）再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是　_________　．

15．如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A、B、C的坐标分别为（﹣3，﹣1）、（﹣3，﹣3）、（﹣3+，﹣2）．现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A1B1C1，再以x轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形，得△A2B2C2．
（1）直接写出点C1、C2的坐标；
（2）能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
（3）设当△ABC的位置发生变化时，△A2B2C2、△A1B1C1与△ABC之间的对称关系始终保持不变．
①当△ABC向上平移多少个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合并直接写出此时点C的坐标；
②将△ABC绕点A顺时针旋转α°（0≤α≤180），使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少点C的坐标又是什么？

16．如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为　_________　．

17．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．

18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．
（1）已知点A（3，1），连接OA，作如下探究：
探究一：平移线段OA，使点O落在点B．设点A落在点C，若点B的坐标为（1，2），请在图1中作出BC，点C的坐标是　_________　；
探究二：将线段OA绕点O逆时针旋转90度，设点A落在点D．则点D的坐标是　_________　；
（2）已知四点O（0，0），A （a，b），C，B（c，d），顺次连接O，A，C，B．
①若所得到的四边形为平行四边形，则点C的坐标是　_________　；
②若所得到的四边形是正方形，请直接写出a，b，c，d应满足的关系式．

19．如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2007次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P100，P2007的坐标．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α度的角，得到矩形CFED，设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（8，0）．
（1）当α=60°时，△CBD的形状是　_________　．
（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式．

成长足迹

课后检测

三大变换之--旋转作图（二）参考答案
典题探究

例1解：（1）根据图示知，点B的坐标为（﹣3，4）；⊅

（2）由（1）知，B（﹣3，4），
∴点B关于原点对称的点C的坐标是（3，﹣4）；
∵点A的坐标（﹣5，0），
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是（5，0）；

（3）由勾股定理求得，AB=2，AC=4，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴AB⊥AC，
∴S△ABC=AB•AC=×2×4=20；

（4）∵S△ADE=S△ABC，
∴△ADE与△ABC的一条边的边长，和这条边上的高都相等，
∵在该表格中，符合条件的点E由无数个；
∴能满足S△ADE=S△ABC的点E有无数个；

（5）∵AD=10，
∴S△ADF=AD•OF=20，
∴OF=4，
∴点F的所有可能位置是（0，4）或（0，﹣4）；
故答案是：
（1）（﹣3，4）；
（2）（3，﹣4）；（5，0）；
（3）20；
（4）无数．（每格1分）
（5）（0，4）或（0，﹣4）．（2分）

例2 解：（1）△DEF为等腰三角形．（2分）

（2）连接BD交EF于M，
∵B、D关于EF对称，
∴BM=DM，EM⊥BD，
易证EM=FM，
∴E、F关于M成中心对称，B、D关于M成中心对称，又M为BD的中点，
∴A、C关于M成中心对称，
∴四边形AEFD与四边形CFEB关于M成中心对称．（6分）

（3）设BE=OE=x，则AE=9﹣x，
在直角三角形AED中，（9﹣x）2+32=x2，解得x=5，
∴E（4，3），F（5，0），
EF=，（9分）
直线EF的解析式为y=﹣3x+15．（12分）

例3解：（1）①=72°，
∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°，说法正确；
②=90°，
∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°，说法正确；

（2）①正三角形的最小旋转角为=120°；
②正方形的最小旋转角为=90°；
③正六边形的最小旋转角为=60°；
④正八边形的最小旋转角为=45°；
则有一个旋转角为120°的是①③．

（3）=72°，
则正五边形是满足有一个旋转角为72°，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
正十边形有一个旋转角为72°，既是轴对称图形，又是中心对称图形．

例4解：（1）通过图象观察和题意EA、HD、GC、FB分别是方砖TPQR四边的中垂线，且四边形HEFG是正方形就可以得出方砖TPQR面上的图案是轴对称图形，又是中心对称图形．

（2）设小沟槽EA的长是xcm，则EG的长度为24﹣2x．
∵四边形HEFG是正方形，
∴HE=HG，∠GHE=90°，
∴HE2+HG2=EG2．
∴2HE2=（24﹣2x）2，
∴HE2=2x2﹣48x+288．
∵，
∴，
解得：x1=12+4（舍去），x2=12﹣4．
∴EA=12﹣4．
故答案为：C．

演练方阵
A档（巩固专练）

1、解：点M（1，2）关于原点的对称点M′的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
2、解：如图所示：
∵点A与双曲线y=上的点B重合，点B的纵坐标是1，
∴点B的横坐标是，
∴OB==2，
∵A点可能在x轴的正半轴也可能在负半轴，
∴A点坐标为：（2，0），（﹣2，0）．
故答案为：2或﹣2．

3、解：由平面直角坐标系可得A（3，1），向下平移4个单位后可得对应点的坐标为（3，﹣3），
再将它绕原点O旋转180°可得对应点坐标为A′（﹣3，3），
故答案为：（﹣3，3）．
4、解：点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5，3）．
故答案为：（﹣5，3）．
5、解：连接AD，
∵将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，
∴点A旋转后与点D重合，
∵由题意可知A（0， 1），D（﹣2，﹣3）
∴对应点到旋转中心的距离相等，
∴线段AD的中点坐标即为点P的坐标，
∴点P的坐标为（，），即P（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．

6、解：①②当x变为﹣x时，y变为﹣y，可见，（x，y）对应点为（﹣x，﹣y），可见，函数图象是中心对称图形，不是轴对称图形，故②正确，①错误；
③当x＞0时，函数图象有最低点，故函数有最小值，故本选项正确；
④将点（1，4）代入解析式，等式成立，点（1，4）在函数图象上，故本选项正确：
⑤当x=1和x=3时，y=4，可见，0＜x＜1或x＞3时，y＞4，故本选项错误；
故答案为②③④．
7、解：∵①此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
②此图形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项错误；
③此图形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项错误；
④此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误．
故答案为：①．
8、解：∵2011÷3=670…1，第一次变换是各对应点关于x轴对称，点A坐标是（a，b），
∴经过第2011次变换后所得的A点坐标是（a，﹣b）．
故答案为（a，﹣b）．
9、解：
10、解：（1）∵A（﹣1，5），
∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．
∵B（4， 2），
∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．
∵C（﹣1，0），
∴点C关于y轴的对称点C′的坐标为（1，0）．
故答案分别是：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．

（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）．
∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，
∴S△A′B′C′=A′C′•B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．

11、证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AF=CE，
∴OF=OE，
∵在△DOF和△BOE中

∴△DOF≌△BOE（SAS），
∴FD=BE．
12、解：（1）如图，B1、C1、D1的坐标分别为：
B1（2，﹣1），C1（4，0），D1（3，2）；

（2）根据勾股定理，AC1==，
∴线段AC1的长度与点D1的横坐标的差是﹣3，
∴（﹣3）2+（﹣3）a+1=0，
整理，10﹣6+9+（﹣3）a+1=0，
∴（﹣3）a=﹣20+6，
解得a=﹣2．
故答案为：（1）B1（2，﹣1），C1（4，0），D1（3，2）；（2）a=﹣2．

13、解：（1）点A的坐标是（﹣2，0），点C的坐标是（1，2）．

（2）连接AC，在Rt△ACD中，AD=OA+OD=3，CD=2，
∴AC2=CD2+AD2=22+32=13，
∴AC=．

14、解：（1）根据图形，可得出A的坐标为（﹣1，2），C的坐标为（0，﹣1），故AC的长等于=；

（2）根据图形，可得出A的坐标为（﹣1，2），B的坐标为（3，1），
C的坐标为（0，﹣1），将△ABC向右平移2个单位得到△A'B'C'，则A点的对应点A'的坐标是（1，2）；

（3）根据旋转的规律，把△OAB的绕点O按逆时针方向旋转90°，就是把它上面的各个点按逆时针方向旋转90°，
可得A1的坐标为（﹣3，﹣2）．

15、
解：（1）点C1、C2的坐标分别为（3﹣，﹣2）、（3﹣，2）．

（2）能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置，所旋转的度数为180°；

（3）①当△ABC向上平移2个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C的坐标为（﹣3+，0）（如图1）；
②当α=180时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C的坐标为（﹣3﹣，0）（如图2）．
16、解：∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB===5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3=36，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故答案为：（36，0）．
17、解：（1）延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG=DF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴BE2+CF2=EF2．

18、解：（1）探究一：
∵点A（3，1），连接OA，平移线段OA，使点O落在点B．
设点A落在点C，若点B的坐标为（1，2），
则C的坐标为（4，3），如图1所示：

探究二：
∵将线段OA绕点O逆时针旋转90度，
设点A落在点D．
则点D的坐标是（﹣1，3），如图2所示；

（2）∵四点O（0，0），A （a，b），C，B（c，d），顺次连接O，A，C，B．
①若所得到的四边形为平行四边形，
那么OA∥CB，
∴OA平移到OB的位置，
点C的坐标为（a+c，b+d）；
②若所得到的四边形是正方形，
那么根据正方形的性质可以得到a=d且b=﹣c或b=c且a=﹣d．
19、解：P1（1，0）；
∵等边△OAP的高为边长的倍，
∴P3（，）；
∵从P1开始，根据图形的旋转可得每三次翻转后和原来的状态一样，
∴100=3×33+1，
∴P100的纵坐标为0，横坐标为100，
∴P100（100，0）；
∵2007=3×669，
∴P2007的纵坐标为，横坐标=2005+1.5=2006.5．
∴P2007（2006.5，）．
20、解：（1）∵矩形COAB绕点C顺时针旋转60度的角，得到矩形CFED，
∴∠BCD=60°，CB=CD，
∴△CBD为等边三角形；
（2）∵A（0，4）、C（8，0），
∴OA=BC=4，OC=AB=8，
设AH=HC=x，则BH=8﹣x，CB=4，
在Rt△CBH中，
∵CH2=BH2+BC2，
∴x2=（8﹣x）2+42，解得x=5，
∴H点的坐标为（5，4），
设直线FC的解析式为y=kx+b，
把C（8，0）、H（5，4）代入得，解得，
∴直线FC的解析式为．