八年级数学第七章二元一次方程组第36节北师大版知识精讲.doc

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初二数学第七章 二元一次方程组 第3~6节北师大版
【本讲教育信息】
一。 教学内容：
第七章:二元一次方程组
第三节:鸡兔同笼
第四节:增收节支
第五节:里程碑上的数
第六节:二元一次方程与一次函数

二. 教学要求
1、会利用二元一次方程组解决现实生活中的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力.
2、会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的方程组。
3、理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解，并会利用二元一次方程组确定一次函数的表达式并解决实际问题，培养学生灵活运用所学知识处理问题的能力.

三。 重点及难点
重点：
1、让学生经历和体验列方程组解决实际问题的过程。用列表的方式分析题中的各个量的关系.
2、二元一次方程组和一次函数的关系与应用。
难点:
1、根据设定的两个未知数，寻找能够表示问题全部含义的两个相等关系，从而列出二元一次方程组，解决实际问题.
2、应用方程与函数的联系解决实际问题.

四。 课堂教学
［知识要点]
知识点1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题中的两个未知数。
（2)找出表示应用题全部含义的两个相等关系。
（3）根据找出的两个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程组。
(4）解方程组.
（5)检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合题意，否则要舍去.
（6）写出答案,包括单位名称。

知识点2 有关销售问题的公式
（1）利润＝总产值－总支出
（2）利润率＝
（3）商品利润＝销售价格－进货价格
（4）商品利润率＝

知识点3 数字问题（十进制整数的表示方法）
两位数：＝10 +
三位数：＝100+10+
四位数:＝1000+100+10+
……

知识点4 二元一次方程与一次函数的关系
直线y＝kx+b(k≠0）的解析式是一个关于x，y的二元一次方程，以二元一次方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图像就是一次函数y＝kx+b的图像.

知识点5 二元一次方程组与一次函数的关系
两条直线：y＝(≠0)，的交点坐标就是关于x，y的方程组的解。
例如：求直线y＝2x－5与y＝－3x+5的交点坐标，将这两条直线的解析式组成方程组

所以交点坐标是（2，－1)
说明:若 ,则两直线平行，无交点，所以方程组无解,若,，则两直线重合，方程组有无数组解，若，则方程组有唯一一组解。

知识点6 二元一次方程组的图像解法。
画出方程组中两个一次函数的图像，找出它们的交点，即可得到相应的二元一次方程组的解,这种解方程组的方法叫做二元一次方程组的图像解法。

【典型例题】
例1。 某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩，游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人,而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂红色人数的3／5，则晚会上男、女生各有几人？
错解:设晚会上男生有x人，女生有y人，

答:男生有3人，女生有5人.
分析:本题错在对题中的数量关系没有弄清，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的２倍少１人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有男生的人数,而是除自己之外的男生人数,同理，女生看到的人数关系也应是除去自己以外的男、女生人数关系。
正解:设晚会上男生有x人，女生有y人.

把①代入②,得y＝3/5［2(x－1)－1－1],所以x＝12

答：晚会上男生有12人，女生有21人。

例2。 现有甲、乙两种酒精，甲种酒精的浓度为60﹪，乙种酒精的浓度为90﹪，现要配制浓度为70﹪的酒精300克，一位同学未经计算便取了甲种酒精180克，乙种酒精120克，请你通过计算说明这名同学能否配制成浓度为70﹪的酒精。
分析：计算出正确配制所需各种酒精的量,便知该同学的配制结果是否正确，题中有两个未知数，应取甲种酒精的克数和乙种酒精的克数：有两个相等关系，（1）甲种酒精的克数+乙种酒精的克数＝300,（2）甲种酒精的克数×60﹪+乙种酒精的克数×90﹪＝300×70﹪
解：设甲种酒精取x克，乙种酒精取y克

答：这位同学不能配制成浓度为70﹪的酒精。

例3。 两个容器装水，第一个容器有49升水，第二个容器有56升水，如果将第二个容器的水倒满第一个容器,那么第二个容器剩下的水是这个容器的容量的1/2，如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是这个容器的容量的1/3，求这两个容器的量。
解:设第一个容器的容量为x升，第二个容器的容量为y升。

答:第一个容器的容量为63升，第二个容器的容量为84升。

例4. 某地生产一种绿色蔬菜，在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经过粗加工后,每吨可获利4000元，经过精加工后，每吨可获利8000元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，对两种加工方式进行如下预算：

加工数量
利润
粗加工
10吨/天
4000元/吨
精加工
8吨/天
8000元/吨
这种加工方式不能同时进行，受春季条件影响，公司必须在15天内把这批蔬菜全部加工或销售完毕，为此公司制定了三种方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售.
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天内完成.
你认为选择哪种方案获利最多,为什么？
分析：本题文字叙述较多，要注意抓住关键语句，其实,方案一、二可直接经过列算式得出结论，而方案二要得到获利情况，必须算出15天中粗、细加工的天数分别是多少或吨数分别是多少？
解：方案一可获利4000×140＝560000(元）
方案二可获利8000×8×15+1000×(140－8×15）＝980000（元）
设140吨蔬菜中，将x吨蔬菜进行精加工、y吨蔬菜进行粗加工。

所以方案三可获利8000×40+4000×100＝320000+400000＝720000（元)
因为980000〉720000〉560000
所以方案二获利最多，因此选择第二种方案。
答：可选择第二种方案，此种方案获利最多。

例5。 一个三位数，三个数位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位数字大3，把百位上的数字与个位上数字对调后，所得的新数比原数小198，求原数。
分析：可设百位数字、十位数字、个位数字分别为x,y，z,等量关系为：三个数字之和＝17，百位数字+十位数字＝个位数字+3，原数－新数＝198
解：设原三位数字的百位、十位、个位数字分别为x,y，z

例6。 某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使1个螺栓配2个螺帽，应如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？
解：设生产螺栓的有x人,生产螺帽的有y人.

答:生产螺栓的有40人，生产螺帽的有50人。

例7。 如图所示，在平面直角坐标系中，已知函数y＝kx+b的图像。
（1）根据图像，求k和b的值。
（2)在图中画出函数y＝－2x+2的图像。
（3）求x的取值范围,使函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝－2x+2的函数值。

分析:由图像知，直线经过点（0，2）和（－2,0)，通过列二元一次方程组可求出k，b的值，画出函数y＝－2x+2的图像后，发现它们的交点为(0,2)，再根据一次函数的性质确定x的取值范围.
解：(1）因为函数y＝kx+b的图像经过点(－2，0）,（0，2）

（2）函数y＝－2x+2经过点(1，0）,（0，2）
所以经过点（1，0)，（0,2）的直线就是函数y＝－2x+2的图像。如图所示。

（3)由图像发现直线y＝x+2和直线y＝－2x+2的交点为（0，2），说明当x＝0时,它们的函数值相等，都是2,当x〉0时,y＝x+2的图像在y＝－2x+2的图像上方,即y＝x+2的函数大于y＝－2x+2的函数值。

例8. 已知直线x－2y＝－k+6和x+3y＝4k+1的交点在第四象限内。
（1）求k的取值范围。
(2）若k为非负整数，△PAO是以OA为底的等腰三角形，点A的坐标为（2，0）,P在直线x－2y＝－k+6上，求点P的坐标及OP的长。
解：（1）由题意列方程组得：

所以两直线的交点坐标为（k+4，k－1）

所以－4〈k<1
（2)因为k为非负数，所以k＝0
所以直线x－2y＝－k+6可化为,如图所示

过P作PE⊥x轴于E，则OE＝AE，所以E点坐标为(1,0）
所以点P的横坐标为1，将x＝1代入，得y＝
所以点P的坐标为（1，）
在Rt△OPE中，

【模拟试题】（答题时间:40分钟)
一、选择题（每小题3分，共24分)
1. 已知下列各式:①+y＝2 ②2x－3y＝5 ③x+xy＝2 ④x+y＝z－1 ⑤＝，其中二元一次方程的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C。 3 D。 4
2. 在方程组中，如果是它的一个解，那么a、b的值为（ ）
A. a＝1，b＝2 B。 不能惟一确定
C. a＝4,b＝0 D。 a＝,b＝－1
3. 用代入法解方程组

将各方程组中的方程①代入方程②中，所得的方程正确的是( ）
A. 3x+4x－3＝8 B. 3t－2t＝5
C. 40－3y＝61 D. 4x－6x－9＝1
4. 用加减法解方程组，较方便的是（ ）
A。 先消去x，再解
B. 先消去y，再解
C。 先消去z，再解
D。 先消去z，再解
5。 若2a2sb3s－2t与－3a3tb5是同类项，则( ）
A. s＝3，t＝－2 B. s＝－3,t＝2
C. s＝－3，t＝－2 D. s＝3，t＝2
6. 方程3y+5x＝27与下列的方程________所组成的方程组的解是（ ）
A。 4x+6y＝－6 B. 4x+7y－40＝0
C。 2x－3y＝13 D。 以上答案都不对
7。 二元一次方程组的解满足方程x－2y＝5，那么k的值为（ ）
A. B. C. －5 D。 1
8。 甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺流用18小时，逆流用24小时,若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时,在下列方程组中正确的是 （ )
A。 B。
C。 D。

二、填空题（每小题3分,共24分）
9. 已知方程4x－3y＝5，用含x的代数式表示y的式子是________,当x＝－时,y＝_______.
10. 已知x－3y＝3，则7+6y－2x＝________。
11. 如果方程组与方程y＝kx－1有公共解,则k＝________.
12。 已知与都是方程ax+by＝0(b≠0)的解，则c＝________。
13。 如果a+b＝1，a+3b＝－1，那么关于x，y的方程组的解是________。
14。 已知,则＝________.
15。 若方程组的解是，某学生看错了c，求出解为,则正确的c值为________，b＝________。
16. 已知甲、乙两数的和为13，乙数比甲数少5，则甲数是________，乙数是________。

三、解答题（第17小题8分，第18小题5分，19~21小题每题7分,22～23小题每题9分，共52分）
17。 解下列方程组:
（1) （2)
（3） （4）
18. 用图象法解方程组：
19. 有一批画册，如果3人合看1本，那么余2本；如果2人合看1本，就有9人没有看的，共有多少人？
20。 有一个两位数,个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143.求这个两位数。
21. 某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10％,总支出节约20％,因而总收入比总支出多100万元.求去年的总收入和总支出.
22。 甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发,甲、乙与丙相向而行，甲每分走120米，乙每分走130米，丙每分走150米。已知丙遇上乙后，又过了5分钟遇到甲,求A、B两地的距离.
23. 下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价(收盘价：股票每天交易结束时的价格)：

星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲
12元
12.5元
12。9元
12.45元
12.75元
乙
13。5元
13。3元
13。9元
13.4元
13。75元
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则他账户上星期二比星期一增加200元,星期三比星期二增加1300元.这个人持有甲、乙股票各多少股?
【试题答案】
一、1. A 2。 C 3。 C 4。 B 5. D 6。 B 7. B 8。 A
二、9. y＝ －2 10. 1 11. 12. 6
13。 14。 15. 1 －2 16。 9 4
三、17。 （1） （2)
（3） （4）
18.
19. 39人
20。 49
21. 200万元 150万元
22. 37800米
23. 1000股 1500股