2021-2022版高中数学-第八章-向量的数量积与三角恒等变换单元素养评价新人教B版必修第三册.doc

2021-2022版高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换单元素养评价新人教B版必修第三册2021-2022版高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换单元素养评价新人教B版必修第三册年级：姓名：单元素养评价(二)(第八章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.cos215+cos275+cos 15cos 75的值是()A.B.C.D.【解析】选D.原式=+=.2.若tan =2,则的值等于()A.-B.C.-D.【解析】选B.=.3.(2020南宁高一检测)已知=5,则cos 2+sin 2=()A.-B.3C.-3D.【解析】选D.因为=5,所以=5tan =3,cos 2+sin 2=,故选D.4.(2020长沙高一检测)已知sin =,cos =,为锐角,则sin 的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为sin =,cos =,为锐角,因为cos 2=2cos 2-1=-90,则tan Atan B与1的大小关系为()A.tan Atan B1B.tan Atan B90,所以A,B都为锐角.则有tan A0,tan B0,tan C0.又因为C=-(A+B),所以tan C=-tan(A+B)=-0,即tan Atan B1.6.若a,b是非零向量且满足(a-2b)a,(b-2a)b ,则a与b的夹角是()A.B. C.D. 【解析】选B.因为a2-2ab=0,b2-2ab=0,所以a2=b2=2ab ,|a|=|b|,所以cos =.所以=.7.已知A,B,C是ABC的三个内角,设f(B)=4sin Bcos 2+cos 2B,若f(B)-m2恒成立,则实数m的取值范围是()A.m-3C.m1【解析】选D.f(B)=4sin Bcos 2+cos 2B=4sin B+cos 2B=2sin B(1+sin B)+(1-2sin 2B)=2sin B+1.因为f(B)-m2sin B-1恒成立.因为0B,所以0sin B1.所以-11.8.设ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若mn=1+cos(A+B),则C=()A.B.C.D.【解析】选C.因为mn=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C=1-cos C,所以sin=,又因为0C,所以C+=,故C=.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列计算正确的是()A.=1B.1-2sin275=C.cos4-sin4=D.cos275+cos215+cos 75cos 15=【解析】选ACD. 对于选项A,=tan 45=1;对于选项B,1-2sin275=cos 150=-,对于选项C,cos4-sin4=cos=; 对于选项D,原式=sin215+cos215+sin 15cos 15=1+sin 30=1+=.10.若函数y=sincos+cossin,则()A.函数的周期为2 B.函数的一个对称中心为 C.函数的一条对称轴为x= D.函数的值域为 【解析】选ACD.y=sincos-cossin=sin=sin=cos x,故周期为2,x=是函数y=cos x的一条对称轴,值域为.11.ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论不正确的是()A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b)【解析】选ABC.在ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,所以ab=|a|b|cos 120=-1,所以(4a+b)=(4a+b)b=4ab+|b|2=4(-1)+4=0,所以(4a+b).12.已知锐角,满足sin -cos =,tan +tan +tan tan =,则()A.B.C. D.0,所以,所以.三、填空题(每小题5分,共20分)13.函数f(x)=sin2的最小正周期是.【解析】因为f(x)=(1-sin 4x),所以最小正周期T=.答案:14.(2020上海高一检测)已知sin =3cos ,则cos 2=.【解析】因为sin =3cos ,又sin 2+cos 2=1,解得cos 2=,sin 2=,故cos 2=cos 2-sin 2=-=-.答案:-15.(2020重庆高一检测)若,0,且sin =,cos =-,则cos (+)=.【解析】因为sin =,且,所以cos =-.因为cos =-,且00)的图象的相邻两条对称轴的距离为.(1)求的值并写出函数f(x)的单调递增区间;(2)设是第一象限角,且f=,求的值.【解析】(1)f(x)=cos 2x+sin xcos x=+sin 2x,所以f(x)=sin +的最小正周期T=3,解得=,则f(x)=sin +.令2k-x+2k+(kZ),可得3k-x3k+(kZ),即f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)因为f=,即sin +=cos +=,所以cos =,又是第一象限角,所以sin =,所以=-.20.(12分)已知0,a=(2sin x+cos x,2sin x-cos x),b=(sin x,cos x),f(x)=ab,f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.(1)求的值.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】f(x)=ab=(2sin x+cos x)sin x+(2sin x-cos x)cos x=2sin2x+3sin xcos x-cos2x=1-cos 2x+sin2x-(1+cos 2x)=(sin 2x-cos 2x)+=sin+.(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是,所以函数f(x)的最小正周期T=,则=1. (2)f(x)=sin+.因为x,所以,则当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-1;当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值.21.(12分)(2020潍坊高一检测)设函数f(x)=ab,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,sin 2x+m).(1)求函数f(x)的最小正周期和在0,上的单调递增区间.(2)当x时,-4f(x)4恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)=2cos 2x+sin 2x+m=2sin +m+1.所以函数f(x)的最小正周期T=,在0,上的单调递增区间为,.(2)因为当x时,f(x)单调递增,所以当x=时,f(x)的最大值等于m+3.当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.由题设知解得-6m1.22.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB,AD于点E,F,P为上一动点,过点P分别作PMBC,PNCD,垂足分别为M,N,求矩形PMCN的面积的最小值.【解析】连接PA,设PAE=,如图所示.设矩形PMCN的面积为S,延长NP交AB于点H,则PM=HB=AB-AH=10-9cos ,PN=HN-HP=10-9sin .所以S=PMPN=(10-9cos )(10-9sin )=100-90sin -90cos +81sin cos .设sin +cos =t.则S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+=+.因为,所以t=sin +cos =sin1,所以当t=时,Smin=,故矩形PMCN的面积的最小值为.