重庆市第一中学2019届高三数学10月月考试卷理.doc

重庆市第一中学2019届高三数学10月月考试卷 理
数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1、已知平面向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
2、设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3、设a，b，c是平面向量，则a·b＝b·c是a=c的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4、若函数为奇函数，则的极大值点为（ ）
A. B. C. D.
5、在等差数列中，为前n项和，，则（ ）
A.55 B. 11 C.50 D. 60
6、已知的内角所对边分别为，且，，则的外接圆的半径为（ ）
A. 4 B. C. 1 D. 2
7、在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（ ）
A. B. C. D.
8、函数的图象大致为（ ）

A B C D
9、函数（），对任意，满足，则实数（ ）
A. 2 B. C. D.
10、已知各项均为正数的数列的前项和为，且若对任意的
，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11、已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12、已知函数,其中是实数。设, 为该函数图象上的两点,且，若函数的图象在点处的切线重合,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知等比数列中，公比，，则数列的前5项和____________
14、设非零向量a，b，c满足，且，向量a，b的夹角为，则向量a，c的夹角为_____________
15、已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的取值范围是________
16、中，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值为____________
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出演算步骤或证明过程.
17．（本小题满分12分）已知数列为等比数列，，是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）的内角所对边分别为，已知的面积为，，，；
（1）求边；
（2）延长至点，使，连接，点为中点，求。

19、（本小题满分12分）如图，三棱柱中，，，.
（1）求证：；
（2）若平面平面，且，求二面角的正弦值。

20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率是，且经过抛物线的焦点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点为椭圆上的点，且。若直线的斜率均存在，且分别记为,求证：为定值；并求出该值。

21.（本小题满分12分）已知函数，
（1）若函数存在零点，求实数的取值范围；
（2）求证：若，则.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22、选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为.
(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．

23、选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知函数
（1）若，求实数的取值范围；
（2）证明：时，。
命题人：袁 婷
审题人：谢 凯 关毓维

2018年重庆一中高2019级高三上期10月月考
数 学 试 答 案（理科）
一、选择题.(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
A
D
B
D
C
C
C
A
二、填空题.(每题5分,共20分)
13、 14、 15、 16、
三、解答题.(共70分)
17.解：（1）设数列的公比为，
因为，所以，．…………………………………………1分
因为是和的等差中项，所以．……………………2分
即，化简得．
因为公比，所以．………………………………………………………4分
所以（）．…………………………………………6分
（2）因为，所以．…………………………………………7分
所以………………………9分
则………12分
18.解：（1）…①……………………2分
由余弦定理，…②…………4分
联立①②可得或…………6分
又，…………7分
（2）如图，为中点，，…………8分
故…………10分
即…………12分
19.解：（1）如图，设中点为，连接，又设,则，又，，又，即，且，，，
在，由三线合一可得，。
（2）因为平面平面,平面平面，且，故如图建立空间直角坐标系，则，故，设面的法向量，则有，同理得：面得法向量，设所求二面角为，则，故
20.解：（1）抛物线焦点为 .…………….…………….…………….……………1 分
椭圆经过点， ，解得 .…………….…………….…………….……2分
解得.…………….…………….…………….…………4分
∴椭圆的标准方程为.…………….…………….…………….…………….…5分
（2）设，，则，..…………… 7分
因为，所以，即，………… 9分
，
又因为点，都在椭圆上，所以，所以
即为定值1。…………………………………… 12分
21.解：（1），令，得；故在上单调递减，在上单调递增；…………………………………………2分
因为且存在零点，故，得。………5分
（2）法一：当，因为，要证，即证…6分
令，则。令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，…………………………………………………………………8分
令，则。令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，。…………………………………………………………10分
又因为，所以，即，所以，即。…………………………………………………………………………………12分
法二：令，则，令，
则，所以在单调递减，即在单调递减，又，，所以，使得，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；所以，又，所以，故，令，则，所以在单调递增，所以，故，即，所以若，则。
法三：要证，即证，其中
令，，
即证，令，则
，在上单调递增，又，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，得证。
22. 解：(1)C1：3x2＋y2＝3，l：x＋y＝4. ……………………………………………………………4分
(2)法一：设Q(cos θ，sin θ)，则点Q到直线l的距离
d＝＝＝≥＝当且仅当θ＋＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时，Q点到直线l距离的最小值为.…………10分
法二：设Q(x，y)，直线l：x＋y＝c与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c，则Q点到直线l距离的最小值为两平行直线间的距离．
23、解：（1）即为。当时， ，得；
当时，，无解当时，，得。所以时，实数的取值范围为。…………5分
（2）证明：…………10分