2021-2022版高中数学-第一章-解三角形-阶段提升课-第一课-解三角形学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第一章 解三角形 阶段提升课 第一课 解三角形学案 新人教A版必修52021-2022版高中数学 第一章 解三角形 阶段提升课 第一课 解三角形学案 新人教A版必修5年级：姓名：第一课解 三 角 形思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一利用正、余弦定理解三角形1.在ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是()A.-B.-C.-D.-【解析】选C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-287=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A=-.2.(2020濮阳高二检测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30,b=,c=3,则A=.【解析】因为B=30,b=,c=3,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得3=a2+9-2a3,可得a2-3a+6=0,解得a=2或,由正弦定理,可得sin A=1或,因为0A0,C(0,),所以sin C=.所以sin A=sin (B+C)=sin B cos C +cos B sin C=-=.由正弦定理,可得=,即BC=sin A=.(2)由已知及正弦定理,得AB=sin C=2,所以BD=1.由余弦定理,可得CD2=1+2+21=5,则CD=.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=,求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.题组训练二利用正、余弦定理进行边角互化1.在ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选A.已知等式变形得cos B+1=+1,即cos B=.由余弦定理得cos B=,代入得=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则ABC为直角三角形.2.在ABC中,C=30,则sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C的值是()A.B.C.D.【解析】选D.设ABC外接圆半径为R,则sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C=sin2C=sin230=.3.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=.因为0A180,所以A=60.(2)方法一:由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得sin A+sin(120-C)=2sin C,即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-.由于0C120,所以sin(C+60)=,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=.方法二:因为a+b=2c,由正弦定理得:sin A+sin B=2sin C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,所以+cos C+sin C=2sin C,整理可得:3sin C-=cos C,即3sin C-cos C=2sin=,所以sin=,所以C=或,因为A=且A+C0A为锐角,b2+c2-a2=0A为直角,b2+c2-a20A为钝角.题组训练三三角形的面积问题1.如图,在四边形ABCD中,B=C=120,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于()A.B.5C.6D.7【解析】选B.连接BD,在BCD中,由已知条件,知DBC=30,所以ABD=90.在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,知BD2=22+22-222cos 120=12,所以BD=2,所以S四边形ABCD=SABD+SBCD=42+22sin 120=5.2.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=-bsin.(1)求A;(2)若ABC的面积S=c2,求sin C的值.【解析】(1)因为asin B=-bsin,所以由正弦定理得sin A=-sin,即sin A=-sin A-cos A,化简得tan A=-,因为A(0,),所以A=.(2)因为A=,所以sin A=,由S=c2=bcsin A=bc,得b= c,所以a2=b2+c2-2bccos A=7c2,则a=c,由正弦定理得sin C=.与三角形的面积有关的两类题型对于此类问题,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解,可分为以下两种情况:(1)若所求面积为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.题组训练四解三角形与三角函数、向量的综合应用1.在ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为()A.B.3C.4D.2【解析】选C.在ABC中,AB=2,C=,则2R=4,AC+BC=4sin B+4sin A=4sin+4sin A=2cos A+6sin A=4sin,其中sin =,cos =,由于0A,0,所以最大值为4.2.(2020石嘴山高二检测)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=(a,c-2b),n=(cos C,cos A),且mn.(1)求角A的大小;(2)若b+c=5,ABC的面积为,求ABC的周长.【解析】(1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=(a,c-2b),n=(cos C,cos A),且mn.所以acos C+(c-2b)cos A=0,利用正弦定理整理得:sin Acos C+sin Ccos A-2sin Bcos A=0,所以sin(A+C)-2sin Bcos A=0,即sin B-2sin Bcos A=0,由于sin B0,故cos A=,由于0A,所以A=.(2)由于ABC的面积为,所以bcsin A=,整理得bc=4.利用余弦定理a2=c2+b2-2bccos A,解得a=,所以周长l=a+b+c=5+.正、余弦定理综合应用的两类题型正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化,为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据,主要题型有以下两类.(1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解.题组训练五解三角形应用举例1.某观察站B在A城的南偏西20的方向,由A出发的一条公路的走向是南偏东25.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路开车以40 km/h的速度向A城驶去,行驶了15 min后到达D处,此时测得B与D之间的距离为8 km,则此人到达A城还需要()A.40 minB.42 minC.48 minD.60 min【解析】选C.由题意可知,CD=40=10.由余弦定理可得cos BDC=-,所以cos ADB=cos(-BDC)=,所以sin ABD=sin-(ADB+BAD)=.在ABD中,由正弦定理得,=,所以=,所以AD=32,所以所需时间t=0.8(h),所以此人还需要0.8 h,即48 min到达A城.2.(2020攀枝花高二检测)如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角=60,=30,若山坡高为a=35,则灯塔高度是()A.15B.25C.40D.60【解析】选B.过点B作BEDC于点E,过点A作AFDC于点F,如图所示,在ABD中,由正弦定理得,=,即=,所以AD=,在RtADF中,DF=ADsin =,又山高为a,则灯塔CD的高度是CD=DF-CF=-a=-35=60-35=25.3.我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后,立即测出该渔船在方位角(指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角)为45,距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角105的方向以9海里/时速度向某岛P靠拢,我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,已知在渔船到达岛P之前,海军舰艇可以靠近渔船,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用时间.(参考数据cos 21.79)【解析】设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x小时,则AB=21x,BC=9x,AC=10,ACB=45+(180-105)=120,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,则(21x)2=102+(9x)2-2109x,整理得36x2-9x-10=0,解得x1=,x2=-(舍),所以AB=14,BC=6,由余弦定理得cos BAC=,所以BAC21.79,所以45+21.79=66.79.答:海军舰艇应以66.79的方位角航行,靠近渔船需小时.1.几种常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等.2.解题时需注意的几个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念,并能准确地找出(或作出)这些角.(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决.