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2021-2022版高中数学 第一章 解三角形 阶段提升课 第一课 解三角形学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第一章 解三角形 阶段提升课 第一课 解三角形学案 新人教A版必修5

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第一课　解 三 角 形
思维导图·构建网络

考点整合·素养提升
题组训练一　利用正、余弦定理解三角形 
1.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是(　　)
A.-　　　B.-　　　C.-　　　D.-
【解析】选C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A===-.
2.(2020·濮阳高二检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30°,b=,c=3,则A=　　　　. 
【解析】因为B=30°,b=,c=3,
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
可得3=a2+9-2×a×3×,
可得a2-3a+6=0,解得a=2或,
由正弦定理,可得sin A==1或,
因为0°<A<150°,所以A=90°或30°.
答案:90°或30°
3.(2020·赤峰高一检测)已知在△ABC中,B=,AC=,cos C=.
(1)求边BC的长;
(2)若边AB的中点为D,求中线CD的长.
【解析】(1)因为cos C=>0,C∈(0,π),
所以sin C==.
所以sin A=sin (B+C)=sin B cos C +cos B sin C
=×-×=.由正弦定理,可得=,
即BC=·sin A=.
(2)由已知及正弦定理,得AB=·sin C=2,所以BD=1.
由余弦定理,可得CD2=1+2+2××1×=5,则CD=.

解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.
(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.
题组训练二　利用正、余弦定理进行边角互化 
1.在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为
(　　)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选A.已知等式变形得cos B+1=+1,即cos B=.由余弦定理得
cos B=,代入得=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.
2.在△ABC中,C=30°,则sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C的值是(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.设△ABC外接圆半径为R,
则sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C
=
===sin2C=sin230°=.
3.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-
sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若a+b=2c,求sin C.
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A==.
因为0°<A<180°,所以A=60°.
(2)方法一:由(1)知B=120°-C,
由题设及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C,
即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-.
由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,
故sin C=sin(C+60°-60°)
=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=.
方法二:因为a+b=2c,
由正弦定理得:sin A+sin B=2sin C,
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,
所以×+cos C+sin C=2sin C,
整理可得:3sin C-=cos C,
即3sin C-cos C=2sin=,
所以sin=,所以C=或,
因为A=且A+C<π,所以C=,
所以sin C=sin=sin
=sincos+cossin=.

1.边角互化的依据
(1)用正弦定理边角互化的依据.
sin A=,sin B=,sin C=,
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
(2)用余弦定理边角互化的依据.
cos A=,cos B=,cos C=.
2.判定三角形形状常用途径和具体方法
(1)两个常用途径.
角化
边
利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断
边化
角
通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断
(2)具体方法.
①通过正弦定理实施边角转换;
②通过余弦定理实施边角转换;
③通过三角变换找出角之间的关系;
④b2+c2-a2>0⇔A为锐角,b2+c2-a2=0⇔A为直角,b2+c2-a2<0⇔A为钝角.
题组训练三　三角形的面积问题 
1.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于(　　)

A. B.5 C.6 D.7
【解析】选B.连接BD,在△BCD中,由已知条件,知∠DBC==30°,
所以∠ABD=90°.

在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·
CDcos C,知BD2=22+22-2×2×2cos 120°=12,
所以BD=2,所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×4×2+×2×2×sin 120°=5.
2.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=
-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=c2,求sin C的值.
【解析】(1)因为asin B=-bsin,
所以由正弦定理得sin A=-sin,
即sin A=-sin A-cos A,化简得tan A=-,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)因为A=,所以sin A=,由S=c2=bcsin A=bc,得b= c,
所以a2=b2+c2-2bccos A=7c2,则a=c,由正弦定理得sin C==.

与三角形的面积有关的两类题型
对于此类问题,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解,可分为以下两种情况:
(1)若所求面积为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.
题组训练四　解三角形与三角函数、向量的综合应用 
1.在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为(　　)
A. B.3 C.4 D.2
【解析】选C.在△ABC中,AB=2,C=,则
2R==4,AC+BC=4sin B+4sin A
=4sin+4sin A=2cos A+6sin A
=4sin,
其中sin θ=,cos θ=,
由于0<A<,0<θ<,所以最大值为4.
2.(2020·石嘴山高二检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
已知m=(a,c-2b),n=(cos C,cos A),且m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=5,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
【解析】(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=(a,c-2b),n=(cos C,cos A),且m⊥n.所以acos C+(c-2b)cos A=0,
利用正弦定理整理得:sin Acos C+sin Ccos A-2sin Bcos A=0,所以sin(A+C)-2sin Bcos A=0,
即sin B-2sin Bcos A=0,由于sin B≠0,故cos A=,
由于0<A<π,所以A=.
(2)由于△ABC的面积为,
所以bcsin A=,整理得bc=4.
利用余弦定理a2=c2+b2-2bccos A,解得a=,
所以周长l=a+b+c=5+.

正、余弦定理综合应用的两类题型
　　正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化,为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据,主要题型有以下两类.
(1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.
(2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解.
题组训练五　解三角形应用举例 
1.某观察站B在A城的南偏西20°的方向,由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路开车以
40 km/h的速度向A城驶去,行驶了15 min后到达D处,此时测得B与D之间的距离为8 km,则此人到达A城还需要(　　)

A.40 min B.42 min C.48 min D.60 min
【解析】选C.由题意可知,CD=40×=10.
由余弦定理可得cos ∠BDC==
-,所以cos ∠ADB=cos(π-∠BDC)=,
所以sin ∠ABD=sin[π-(∠ADB+∠BAD)]=.
在△ABD中,由正弦定理得,=,
所以=,
所以AD=32,所以所需时间t==0.8(h),
所以此人还需要0.8 h,即48 min到达A城.
2.(2020·攀枝花高二检测)如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角β=60°,α=30°,若山坡高为a=35,则灯塔高度是(　　)

A.15 B.25 C.40 D.60
【解析】选B.过点B作BE⊥DC于点E,过点A作AF⊥DC于点F,如图所示,

在△ABD中,由正弦定理得,=,
即=,
所以AD=,在Rt△ADF中,DF=ADsin β=,又山高为a,
则灯塔CD的高度是
CD=DF-CF=-a=-35=60-35=25.
3.我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后,立即测出该渔船在方位角(指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角)为45°,距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角105°的方向以9海里/时速度向某岛P靠拢,我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,已知在渔船到达岛P之前,海军舰艇可以靠近渔船,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用时间.(参考数据cos 21.79°≈)

【解析】设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x小时,
则AB=21x,BC=9x,AC=10,
∠ACB=45°+(180°-105°)=120°,

由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos 120°,
则(21x)2=102+(9x)2-2·10·9x·,
整理得36x2-9x-10=0,
解得x1=,x2=-(舍),
所以AB=14,BC=6,
由余弦定理得cos ∠BAC=
==,所以∠BAC≈21.79°,
所以45°+21.79°=66.79°.
答:海军舰艇应以66.79°的方位角航行,靠近渔船需小时.

1.几种常见题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等.
2.解题时需注意的几个问题
(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念,并能准确地找出(或作出)这些角.
(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决.