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数值计算基础实验指导书孙谦

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数值计算基础

实验指导书

2012年
目录

实验一 直接法解线性方程组的 1
实验二 插值方法 4
实验三 数值积分 6
实验四 常微分方程的数值解 8
实验五 迭代法解线性方程组与非线性方程 10

实验一 直接法解线性方程组
一、实验目的
掌握列选主元消去法与追赶法解线性方程组.
二、实验内容
分别写出Guass列选主元消去法与追赶法的算法，编写程序上机调试出结果,要求所编程序适用于任何一解线性方程组问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。
1、用Guass列选主元消去法求解方程组

2、用追赶法求解方程组

三、实验仪器设备与材料
主流微型计算机
四、实验原理
1、Guass列选主元消去法
对于AX =B
1）、消元过程：将（A｜B）进行变换为，其中是上三角矩阵。即:

k从1到n-1
a、 列选主元
选取第k列中绝对值最大元素作为主元。
b、 换行

c、 归一化

d、 消元

2）、回代过程：由解出。

2、追赶法
线性方程组为:

做LU分解为：

分解公式：

则

回代公式：

五、实验步骤
1、理解并掌握列选主元消去法与追赶法;
2、画出列选主元消去法与追赶法的流程图
3、使用VC语言编写出相应的程序并调试验证通过
六、实验报告要求
1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写,实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分.
2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内;
3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。
七、实验注意事项
注意如何定义数据结构以保存矩阵和解以降低算法的复杂性。
八、思考题
若使用全主元消去法，在编程中应如何记录保存对于未知数的调换.
实验二 插值方法
一、实验目的
掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。
二、实验内容
分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果,要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题,而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。
已知下列函数表
xi
0。56160
0.56280
0.56401
0。56521
yi
0.82741
0.82659
0.82577
0.82495
求x=0。5635时的函数值.
三、实验仪器设备与材料
主流微型计算机
四、实验原理
已知n个插值节点的函数值，则可由拉格郎日插值公式与牛顿插值公式构造出插值多项式，从而由该插值多项式求出所要求点的函数值.拉格郎日插值公式与牛顿插值公式如下：
1、Lagrange插值公式

2、Newton插值公式

五、实验步骤
1、理解并掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法的公式；
2、画出拉格郎日插值法与牛顿插值法算法的流程图；
3、使用VC编写出相应的程序并调试验证通过.
六、实验报告要求
1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分.
2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内;
3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。
七、实验注意事项
Newton插值法在编程时应注意定义何种数据结构以保存差商.
八、思考题
比较Lagrange插值法与Newton插值法的异同。
实验三 数值积分
一、实验目的
掌握复化梯形法与龙贝格法计算定积分。
二、实验内容
分别写出变步长梯形法与Romberge法计算定积分的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何类型的定积分，即能解决这一类问题，而不是某一个问题.实验中以下列数据验证程序的正确性。
求。
三、实验仪器设备与材料
主流微型计算机
四、实验原理
通过变步长梯形法与龙贝格法，我们只要知道已知n个求积节点的函数值，则可由相应的公式求出该函数的积分值,从而不需要求该函数的原函数。变步长梯形法与龙贝格法公式如下：
1、变步长梯形法

用来控制精度
2、龙贝格法
梯形法则
二阶公式
四阶公式
六阶公式
八阶公式

用来控制精度

五、实验步骤
1、理解并掌握变步长梯形法与龙贝格法的公式；
2、画出变步长梯形法与龙贝格法的流程图
3、使用VC语言编写出相应的程序并调试验证通过
六、实验报告要求
1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。
2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；
3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。
七、实验注意事项
在积分中，被积函数在x=0点函数值为1，对该点在程序设计中应注意对其的定义。
八、思考题
使用复化梯形法与复化Simpson法来计算该问题有何缺点？
实验四 常微分方程的数值解
一、实验目的
掌握改进欧拉法与四阶龙格—库塔求解一阶常微分方程的初值问题。
二、实验内容
分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果,要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题,即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性.
求步长h=0.25。
三、实验仪器设备与材料
主流微型计算机
四、实验原理
常微分方程的数值解主要采用“步进式",即求解过程顺着节点排列次序一步一步向前推进,在单步法中改进欧拉法和四阶龙格—库塔法公式如下:
1、改进欧拉法

2、四阶龙格-库塔法

五、实验步骤
1、理解并掌握改进欧拉法与四阶龙格—库塔法的公式；
2、画出改进欧拉法与四阶龙格—库塔法的流程图
3、使用VC编写出相应的程序并调试验证通过
六、实验报告要求
1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。
2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；
3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。
七、实验注意事项
的精确解为，通过调整步长，观察结果的精度的变化
八、思考题
如何对四阶龙格-库塔法进行改进,以保证结果的精度.
实验五 迭代法解线性方程组与非线性方程
一、实验目的
掌握高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组与牛顿迭代法求方程根。
二、实验内容
分别写出高斯—塞德尔迭代法与牛顿迭代法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一个方程的求根，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。
1、高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组

2、用牛顿迭代法求方程的近似根,,牛顿法的初始值为1。
三、实验仪器设备与材料
主流微型计算机
四、实验原理
二分法通过将含根区间逐步二分，从而将根的区间缩小到容许误差范围。牛顿通过迭代的方法逐步趋进于精确解,该两种方法的公式如下：
1、高斯-塞德尔迭代法
1）判断线性方程组是否主对角占优

2）直接分离xi，即

建立高斯—塞德尔迭代格式为：

3）取初值迭代求解至所要求的精度为止。
2、牛顿法

五、实验步骤
1、理解并掌握二分法与牛顿法的公式；
2、画出二分法与牛顿法的流程图
3、使用VC编写出相应的程序并调试验证通过
六、实验报告要求
1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写,实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。
2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；
3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。
七、实验注意事项
对于二分法应注意二分后如何判断根的区间，对于牛顿法注意如何确定迭代过程的结束
八、思考题
若使用牛顿法是发散的，如何对牛顿法进行改进以保证其收敛性。
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