2019届高考数学一轮复习-第七章-不等式-第四节-基本不等式及其应用-文.ppt

节基本不等式及其应用总纲目录教材研读1.基本不等式考点突破2.几个重要的不等式3.利用基本不等式求最值考点二常数代换或消元法求最值考点一利用配凑法求最值考点三基本不等式的实际应用1.基本不等式基本不等式(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立.(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.教材研读教材研读2.几个重要的不等式几个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(2)ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(3)(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(4)+2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.3.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小小值,是2.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大大值,是.(简记:和定积最大)基本不等式求最值的两个常用结论基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a,b,x,yR+,若ax+by=1,则有+=(ax+by)=a+b+a+b+2=(+)2.(2)已知a,b,x,yR+,若+=1,则有x+y=(x+y)=a+b+a+b+2=(+)2.1.下列不等式中正确的是()A.若aR,则a2+96aB.若a,bR,则2C.若a,b0,则2lglga+lgbD.若xR,则x2+1C答案答案Ca0,b0,.2lg2lg=lg(ab)=lga+lgb.2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82C答案答案Cx0,y0,x+y=18,18=x+y2,即9,xy81.故xy的最大值为81.3.已知x,y0且x+4y=1,则+的最小值为()A.8B.9C.10D.11B答案答案Bx+4y=1(x,y0),+=+=5+5+2=5+4=9当且仅当x=2y=时,取等号.4.若x1,则x+的最小值为.5答案答案5解析解析x+=x-1+14+1=5.当且仅当x-1=,即x=3时等号成立.5.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.答案答案2解析解析x2+2y22=2xy=2,当且仅当x=y时取“=”,x2+2y2的最小值为2.典例典例1(1)已知x,求f(x)=4x-2+的最大值.(2)求函数y=的最大值.考点一利用配凑法求最值考点一利用配凑法求最值考点突破考点突破解析解析(1)因为x0,则f(x)=4x-2+=-+3-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.故f(x)=4x-2+的最大值为1.(2)令t=(t0),则x=t2+1,所以y=.当t=0,即x=1时,y=0;当t0,即x1时,y=,因为t+2=4(当且仅当t=2时取等号),所以y=,即y的最大值为(当t=2,即x=5时y取得最大值).规律总结规律总结(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正、二定、三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后利用基本不等式求解.1-1若x1,不等式x+-1a恒成立,则实数a的取值范围是.答案答案解析解析因为函数f(x)=x+-1在1,+)上单调递增,所以函数g(x)=x+1+-2在0,+)上单调递增,所以函数g(x)在1,+)的最小值为g(1)=,因此x1不等式x+-1a恒成立,所以ag(x)最小值=,故实数a的取值范围是.1-2函数y=(x1)的最小值是.答案答案2+2解析解析x1,x-10.y=x-1+22+2=2+2.当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.典例典例2(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是.(2)已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.考点二常数代换或消元法求最值考点二常数代换或消元法求最值答案答案(1)5(2)6解析解析(1)由x+3y=5xy,得+=5(x0,y0),则3x+4y=(3x+4y)=(13+12)=5.当且仅当=,即x=2y时,等号成立,此时由解得(2)由已知得x=.因为x0,y0,所以0y0,y0且x+y=1,则+的最小值为.答案答案(1)A(2)18解析解析(1)由x0,y0,x+2y=xy,得+=1,则x+2y=(x+2y)=+2+2+4+2=8,当且仅当=,即x=2y时等号成立,故x+2y的最小值为8.(2)因为x0,y0,且x+y=1,所以+=(x+y)=10+10+2=18,当且仅当=,即x=2y时等号成立,所以当x=,y=时,+有最小值18.变式练变式练已知直线ax+by+c-1=0(b,c0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值是()A.9B.8C.4D.2A答案答案A圆x2+y2-2y-5=0化成标准方程,得x2+(y-1)2=6,所以圆心为C(0,1).因为直线ax+by+c-1=0经过圆心C,所以a0+b1+c-1=0,即b+c=1.因此+=(b+c)=+5.因为b,c0,所以+2=4.当且仅当=时等号成立.由此可得b=2c,且b+c=1,即b=,c=时,+取得最小值9.深化练深化练已知不等式(x+y)9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8B答案答案B因为a0,所以(x+y)=1+a+1+a+2=(1+)2,由题设可知(1+)29,所以1+3,即a4.a的最小值为4.典例典例3某厂家拟在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?考点三基本不等式的实际应用考点三基本不等式的实际应用解析解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,1=3-kk=2,x=3-,每件产品的销售价格为1.5(元),y=1.5x-8-16x-m=-+29(m0).(2)m0时,+(m+1)2=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,y-8+29=21.故该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.易错警示易错警示对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.