2019届高考数学一轮复习-第九章-平面解析几何-第一节-直线的倾斜角与斜率、直线的方程-文.ppt

节直线的倾斜角与斜率、直线的方程总纲目录教材研读1.直线的倾斜角考点突破2.斜率公式3.直线方程的五种形式考点二求直线的方程考点一直线的倾斜角与斜率考点三直线方程的综合应用1.直线的倾斜角直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角,当直线l与x轴平行或重合平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围:直线l倾斜角的范围是0,).教材研读教材研读2.斜率公式斜率公式(1)若直线l的倾斜角90,则斜率k=tan.(2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1x2,则l的斜率k=.3.直线方程的五种形式直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)不含直线x=x0斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式=(x1x2,y1y2)不含直线x=x1和直线y=y1截距式(a0,b0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B20)平面直角坐标系内的直线都适用常见的直线系方程常见的直线系方程(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可设为x=x0).(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+=0(C).(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+=0.(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).1.直线x-y+1=0的倾斜角为()A.30B.45C.120D.150答案答案B由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为,则tan=1,又0180,故=45.故选B.B2.经过两点A(m,3),B(1,2m)的直线的倾斜角为135,则m的值为()A.-2B.2C.4D.-4B答案答案B由题意得=tan135=-1,即2m-3=m-1,所以m=2.故选B.3.经过点P0(2,-3),倾斜角为45的直线方程为()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0D答案答案D由点斜式得直线方程为y-(-3)=tan45(x-2)=x-2,即x-y-5=0,故选D.4.如果AC0,BC0,那么直线Ax+By+C=0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C答案答案C由题意知直线的斜率k=-0,故选C.5.倾斜角为120,在x轴上的截距为-1的直线方程是.答案答案x+y+=0解析解析因为倾斜角为120,所以斜率k=-,又由题意知直线过点(-1,0),所以直线方程为y=-(x+1),即x+y+=0.6.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.3x-2y=0或或x+y-5=0答案答案3x-2y=0或x+y-5=0解析解析当截距为0时,直线方程为3x-2y=0;当截距不为0时,设直线方程为+=1,将(2,3)代入得+=1,解得a=5,故直线方程为x+y-5=0.综上可得直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.典例典例1(1)若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为.(2)经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为,.考点一直线的倾斜角与斜率考点一直线的倾斜角与斜率考点突破考点突破答案答案(1)4(2)-1,1解析解析(1)由题意知kAC=1,kAB=a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.(2)如图所示,为使l与线段AB总有公共点,则kPAkkPB,又kPA=-1,kPB=1,-1k1.又当0k1时,0;当-1k0时,.故倾斜角的取值范围是.1.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k=tan的取值范围;(2)利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆确定直线的倾斜角的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.规律总结规律总结2.斜率的求法(1)定义法:若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值,一般根据k=tan求斜率.(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1x2)求斜率.3.求证三点共线的三种方法设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A,B,C三点共线可有AB与AC的斜率相等或均无斜率;由A,B确定直线l,点C的坐标适合l的方程;=.直线倾斜角的范围是0,),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当时,斜率k0,+);当=时,斜率不存在;当时,斜率k(-,0).易错警示易错警示1-1直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是()A.0,)B.C.D.B答案答案B设直线的倾斜角为,则有tan=-sin.因为sin-1,1,所以-1tan1,又0,),所以0或0),再沿y轴向上平移b个单位(b0),回到原来的位置,则直线l的斜率为()A.B.-C.D.-B答案答案B设P是直线l上任一点.直线回到原来的位置,即P向左平移a个单位,再向上平移b个单位,到达点T,即PT所在的直线为原直线(如图),斜率k=tan=tan(180-)=-tan=-.典例典例2(1)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程;(2)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程;(3)求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程.考点二求直线的方程考点二求直线的方程解析解析(1)设所求直线的斜率为k,依题意k=-4=-.又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1(a0),将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,所以直线方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设所求直线方程为y=kx,则-5k=2,解得k=-,所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.(3)当m=2时,直线l的方程为x=2;当m2时,直线l的方程为=,即2x-(m-2)y+m-6=0.将m=2代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,得x=2,所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.易错警示易错警示(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).2-1(2018河南洛阳质检)根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5.解析解析(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式求解.设倾斜角为,则sin=(00,b0),将点P(3,2)代入得+=12,得ab24,从而SAOB=ab12,当且仅当=时等号成立,这时k=-=-,从而所求直线l的方程为2x+3y-12=0.ABO的面积的最小值为12,所求直线l的方程为2x+3y-12=0.解法二:依题意知,直线l的斜率k存在且k0,可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),SABO=(2-3k)=(12+12)=12,当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立.此时直线l的方程为2x+3y-12=0.ABO的面积的最小值为12,所求直线l的方程为2x+3y-12=0.则A,B(0,2-3k),探究探究在本例条件不变的情况下,求|OA|+|OB|的最小值及此时l的方程.解析解析解法一:由原例题解法一知+=1.因为|OA|+|OB|=a+b,所以(a+b)=5+5+2.当且仅当a=b,且+=1.即a=3+,b=2+时,|OA|+|OB|的最小值为5+2.此时,直线l的方程为+=1,即x+3y-6-3=0.解法二:由原例题解法二知|OA|+|OB|=3-+2-3k(k0)=5+(-3k)5+2=5+2.当且仅当-=-3k,即k=-时,|OA|+|OB|取最小值5+2.此时直线l的方程为y-2=-(x-3),即x+3y-6-3=0.1.给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况.(2)在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方程.(3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.方法技巧方法技巧2.与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程,用y表示x(或用x表示y).(2)将问题转化成关于x(或y)的函数.(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.同类练同类练直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|PA|PB|最小时,求直线l的方程.解析解析依题意知l的斜率存在,且斜率为负.设l的方程为y-4=k(x-1)(k0).令y=0,可得x=1-,则A,令x=0,可得y=4-k,则B(0,4-k).|PA|PB|=-(1+k2)=-48(k0;当k=0时,直线为y=1,符合题意.综上,k的取值范围是k0.(3)依题意得A,B(0,1+2k),且解得k0.