2019届高考数学一轮复习-第九章-平面解析几何-第三节-圆的方程-文.ppt

节圆的方程总纲目录教材研读1.圆的定义考点突破3.圆的标准方程考点二与圆有关的最值问题考点一求圆的方程考点三与圆有关的轨迹问题4.圆的一般方程5.点与圆的位置关系1.圆的定义圆的定义在平面内,到定点定点的距离等于定长定长的点的集合集合叫做圆.教材研读教材研读2.确定一个圆最基本的要素是圆心圆心和半径半径.3.圆的标准方程圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中(a,b)为圆心,r为半径.x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F0,其中圆心为,半径r=.4.圆的一般方程圆的一般方程5.点与圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点为(x0,y0)(1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2r2;(3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2r2.1.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2D答案答案D由题意得圆的半径为,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)D答案答案D圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3).3.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是()A.-1a1B.0a1C.-1aD.-a1D答案答案D由(2a)2+(a-2)25得-a0,即3a2+4a-40,所以-2a0),则圆心坐标为.由题意可得消去F得解得代入求得F=-12,所以圆的方程为x2+y2+6x+4y-12=0,即(x+3)2+(y+2)2=25.典例典例3已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,且圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为.命题方向三由直线与圆相切求圆的方程命题方向三由直线与圆相切求圆的方程(x-1)2+(y+1)2=2答案答案(x-1)2+(y+1)2=2解析解析x-y=0和x-y-4=0之间的距离为=2,所以圆的半径为.又因为y=-x与x-y=0,x-y-4=0均垂直,所以由y=-x和x-y=0联立得交点坐标为(0,0),由y=-x和x-y-4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.1.求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.方法技巧方法技巧2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.1-1若不同的四点A(5,0)、B(-1,0)、C(-3,3)、D(a,3)共圆,则a的值为.7答案答案7解析解析设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别代入A、B、C三点坐标,得解得所以A、B、C三点确定的圆的方程为x2+y2-4x-y-5=0.因为D(a,3)也在此圆上,所以a2+9-4a-25-5=0.所以a=7或a=-3(舍去).即a的值为7.1-2经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.(x-2)2+(y-1)2=10答案答案(x-2)2+(y-1)2=10解析解析设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则解得故圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.解法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则解得所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0,即(x-2)2+(y-1)2=10.1-3圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),则圆的标准方程为.(x-1)2+(y+4)2=8答案答案(x-1)2+(y+4)2=8解析解析设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.考点二与圆有关的最值问题考点二与圆有关的最值问题命题方向命题方向命题视角命题视角截距型最值问题转化为直线在坐标轴上的截距问题斜率型最值问题转化为直线斜率的最值,利用直线与圆的位置关系求解距离型最值问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解圆的对称性与最值利用圆的对称性转化,求最值典例典例4已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求y-x的最大值和最小值.命题方向一截距型最值问题命题方向一截距型最值问题解析解析y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值(如图),此时=,解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.典例典例5已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.命题方向二斜率型最值问题命题方向二斜率型最值问题解析解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,即以(2,0)为圆心,为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值(如图),此时=,解得k=.所以的最大值为,最小值为-.典例典例6已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+y2的最大值和最小值.命题方向三距离型最值问题命题方向三距离型最值问题解析解析如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,其在原点和圆心连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.易得圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.典例典例7(1)光线从点A(-3,3)射到x轴上的点P后反射,反射光线与圆(x-1)2+(y-1)2=2有公共点B,则|AP|+|PB|的最小值为.命题方向四圆的对称性与最值命题方向四圆的对称性与最值(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是.答案答案(1)(2)2解析解析(1)设圆(x-1)2+(y-1)2=2的圆心为C,半径为r,A关于x轴的对称点为A,则C(1,1),A(-3,-3),则|AP|+|PB|的最小值为=.(2)因为圆C:x2+y2-4x-2y=0,故圆C是以C(2,1)为圆心,半径r=的圆.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A(m,n),故解得故A(-4,-2).连接AC交圆C于Q(图略),由对称性可知|PA|+|PQ|=|AP|+|PQ|AQ|=|AC|-r=2.规律总结规律总结与圆有关的最值问题的四种常见转化法(1)形如=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(4)形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:减少动点的个数.“曲化直”,即折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.2-1已知点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则PAB面积的最大值与最小值分别是()A.2,(4-)B.(4+),(4-)C.,4-D.(+2),(-2)B答案答案B由题意知|AB|=,lAB:2x-y+2=0,由题意知圆心坐标为(1,0),圆心到直线lAB的距离d=.SPAB的最大值为=(4+),SPAB的最小值为=(4-).2-2设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为.答案答案解析解析圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径r=1,根据对称性可知,四边形PACB的面积为2SAPC=2|PA|r=|PA|=,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线l:3x-4y+11=0的距离d=2.所以四边形PACB面积的最小值为=.典例典例8已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P、Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程(P与A不重合);(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.考点三与圆有关的轨迹问题考点三与圆有关的轨迹问题解析解析(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y),因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1,且x2.(2)设PQ的中点为N(x,y),连接BN.在RtPBQ中,PN=BN.设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以OP2=ON2+PN2=ON2+BN2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.