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2022届高考数学一轮复习 第2章 函数 第8节 函数的图像教案 北师大版

2022届高考数学一轮复习 第2章 函数 第8节 函数的图像教案 北师大版

年级：
姓名：

　函数的图像
[考试要求]　
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.
2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题．

1．利用描点法作函数的图像
描点法作函数图像的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．
(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．
(3)描点、连线．
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换

提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．
(2)对称变换
①y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；
②y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；
③y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图像y＝logax(a＞0且a≠1)的图像．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图像
y＝f(ax)的图像；
②y＝f(x)的图像
y＝af(x)的图像．
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像；
②y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像．

1．函数图像自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)的图像关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
2．函数图像自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于原点对称；
(2)函数y＝f(x)的图像关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；
(3)函数y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图像之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图像关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图像关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)对称．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．(　　)
(2)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．(　　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．(　　)
(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、教材习题衍生
1．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图像是(　　)

A　　　　　　　 　　B

C　　　　　　　 　　D
C　[距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]
2．下列图像是函数y＝的图像的是(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D
[答案]　C
3．函数f(x)＝－x的图像关于(　　)
A．y轴对称　　　　　　　 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
C　[∵f(x)＝－x是奇函数，
∴图像关于原点对称．]
4．函数y＝log (1－x)的大致图像是(　　)

　 A　　 　B　　　　C　　 　D
D　[由定义域知x<1，排除A，B，且y＝log(1－x)在区间(－∞，1)上是增函数，故选D.]

考点一　作函数的图像
　作函数图像的两种常用方法

[典例1]　作出下列函数的图像．
(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
[解]　(1)先作出y＝x的图像，保留y＝x图像中x≥0的部分，再作出y＝x的图像中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图像，如图1实线部分．

图1　　　　　　图2
(2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图2.
(3)∵y＝＝2＋，故函数图像可由y＝图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图3.

图3　　　　　　 　图4
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图4.
点评：画函数的图像一定要注意函数的定义域，对于图像无限趋近的渐近线也应用虚线画出．

1．作出下列函数的图像．
(1)y＝3|x|；(2)y＝|log2x－1|；(3)y＝|x－2|·(x＋1)．
[解]　(1)先作出函数y＝3x(x≥0)的图像，再作出x≥0时图像关于y轴对称的图像，即得y＝3|x|的图像，如图所示：

(2)先作出y＝log2x的图像，再将其图像向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图像，如图所示：

(3)y＝|x－2|·(x＋1)
＝＝
分段画出其图像如图所示：

考点二　函数图像的辨识
　辨析函数图像的入手点
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图像的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
(4)从函数的单调性，判断图像的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图像的循环往复．
[典例2]　(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图像大致为(　　)

A　　　　 B　　　　C　　　　 D
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为(　　)

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D
(1)B　(2)B　[(1)设f(x)＝(x∈[－6,6])，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项C；当x＝4时，y＝＝＞7，因此排除A、D，故选B.
(2)法一：(图像变换法)作出与函数y＝f(x)的图像关于y轴对称的图形得到函数y＝f(－x)的图像，再把得到的图像向右平移2个单位，得到函数y＝f(2－x)的图像，再作出与此图像关于x轴对称的图形，得到y＝－f(2－x)的图像，故选B.
法二：(特殊值验证)当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各选项可知，应选B.]
点评：在识图时，先判断奇偶性，再用特殊值排除．

1．(2020·淄博模拟)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的图像可能是(　　)

A　　　　　B　　　　C　　 　D
A　[当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；
易知f(x)在R上连续，故排除B；
且f(0)＝ln 2－e－1＞0，故排除C，故选A.]
2．已知图1中的图像是函数y＝f(x)的图像，则图2中的图像对应的函数可能是(　　)

　　　　　　 图1　　　　　　　图2
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)
C　[因为题图2中的图像是在题图1的基础上，去掉函数y＝f(x)的图像在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图像翻折到y轴右侧得来的，所以题图2中的图像对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C.]
考点三　函数图像的应用
　研究函数的性质
　根据函数的图像研究函数性质的方法
(1)观察函数图像是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域．
(2)观察函数图像是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性．
(3)根据函数图像上升和下降的情况，确定单调性．
[典例3－1]　(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
(1)C　(2)　[(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图像如图所示，由图像可得，其最小值为.
]
　利用图像解不等式
　利用函数图像研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图像(图像易得)的上、下关系问题，利用图像法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图像，再结合图像求解．
[典例3－2]　(2020·北京高考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D　[f(x)＞0⇔2x＞x＋1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图像，如图所示，两图像交点坐标为A(0,1)和B(1,2)，
观察图像可知不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.]
　研究方程根的个数(求参数的取值范围)
　利用函数图像研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图像研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是f(x)的图像与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图像的交点的横坐标．
[典例3－3]　(1)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝x|x－4|，若直线y＝a与函数f(x)的图像有三个交点A，B，C，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．
(1)　(2)(8,6＋2)　[(1)先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
(2)f(x)＝x|x－4|＝
其图像如图所示．

由图像可得x1＋x2＝4,4＜x3＜2＋2，
所以8＜x1＋x2＋x3＜6＋2.]

1．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f(x)的图像上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
A　[因为y＝＝＝＋2，所以该函数图像可以由y＝的图像向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图像是由y＝的图像平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.]
2.如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
C　[令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图像如图所示．
由得
所以结合图像知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．]
3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
(0,1]　[作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示，

由图可知k∈(0,1]．]