黑龙江省鹤岗市绥滨县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题-文.doc

黑龙江省鹤岗市绥滨县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文

黑龙江省鹤岗市绥滨县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文

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姓名：

- 23 -

黑龙江省鹤岗市绥滨县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，满分60分）
1．“若，，且，则，全为0”的否命题是（ ）
A．若，，且，全为0，则
B．若，，且，则
C．若，，且，则，全不为0
D．若，，且，则，不全为0
2．命题“∀x∈（0，+∞），ex＞x+1”的否定是（ ）
A．∀x∈（﹣∞，0]，ex＞x+1
B．∀x∈（﹣∞，0]，ex≤x+1
C．∃x0∈（0，+∞），+1
D．∃x0∈（0，+∞），+1
3．椭圆的焦距是2，则（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．2
4．椭圆()的左焦点到过顶点，的直线的距离等于，则该椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
5．若双曲线（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（ ）

A． B． C． D．
7．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．4
8．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知4号、34号、49号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）
A．28 B．23
C．19 D．13
9．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．在如图所示的算法流程图中，输出S的值为（ ）

A．11 B．12 C．13 D．15
11．在区间上随机取一个实数，则方程有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．某班的全体学生某次测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，， ，则该次测试该班的平均成绩是______（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

14．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_________．
15．设函数的处可导，且，则等于__________．
16．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
三、解答题
17（10分）.已知命题：“存在，使函数在上单调递减”，命题：“存在使，”．若命题“”为真命题，求实数的取值范围．
18（12分）.已知椭圆经过
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于不同两点是坐标原点，求的面积.
19（12分）．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）求出的值；
（2）求这200人年龄的中位数；
（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.
20（12分）．已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与双曲线C交于A，B两点，试问：k为何值时，．
21（12分）．已知函数，.
（1）当时，求的单调区间与最值；
（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围.
22（12分）．已知函数,
（1）求函数的单调区间;
（2）求函数的极值;
（3）若任意,不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】
根据命题“若，则”的否命题是“若，则”，判断即可.
【详解】
“若，，且，则，全为0”的否命题是
“若，，且，则，不全为0”.
故选：D.
2．D
【分析】
将全称命题否为特称命题即可
【详解】
命题“∀x∈（0，+∞），ex＞x+1”的否定是：∃x0∈（0，+∞），+1；
故选：D．
3．C
【分析】
由于焦距是2，所以，然后分焦点在轴上和在轴上求解即可
【详解】
解：由题意得，得，
当焦点在轴上时，，
因为，所以，
当焦点在轴上时，，
因为，所以，解得，
综上，或，
故选：C
4．B
【分析】
写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列方程求解即可．
【详解】
设直线的方程为，左焦点，
则，又，
代入化简得，得或(舍)，
故选：B.
5．B
【分析】
根据共渐近线的双曲线系方程可设，代入可求得双曲线方程，根据双曲线方程可求得实轴长.
【详解】
双曲线与有相同的渐近线，可设双曲线的方程为，
将代入可得：，双曲线的方程为，
的实轴长为.
故选：B.
【点睛】
结论点睛：与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：.
6．A
【分析】
先设数字被污损为x，有10种情况，再利用乙的平均成绩超过甲的平均成绩，计算得x只能取9这一种情况，即得概率.
【详解】
设数字被污损为x，可以取值为0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，共10种情况.
∵甲的平均成绩为：，而乙的平均成绩超过甲的平均成绩，∴乙的平均成绩，解得，
∴，只有1种情况∴乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为．
故选：A.
7．C
【分析】
先求得过F的直线方程为：，与抛物线联立，利用韦达定理，求得，的值，代入面积公式，即可求得答案.
【详解】
因为抛物线C：y2＝4x，所以焦点，所以过F的直线方程为：，
设，联立方程得：，
所以，
所以，
故选：C
【点睛】
在处理抛物线问题时，常设直线的形式，与抛物线联立时，可大大简化计算，提高正确率，属基础题.
8．C
【分析】
本题首先可根据题意确定抽样间隔，然后根据抽样间隔即可得出结果.
【详解】
因为，
所以抽样间隔为，另一个学生的编号为，
故选：C.
9．B
【分析】
先求导数，得斜率的值，然后利用切线方程的公式，直接求解即可
【详解】
求导得斜率，代点检验即可选B.
，，
故选：B
10．B
【分析】
据程序框图的流程，写出前3次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，结束循环，输出结果．
【详解】
通过第一次循环得到；
通过第二次循环得到；
通过第三次循环得到；
此时满足判断框中的条件，执行输出.
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了程序框图中的循环结构，属于基础题．
11．B
【分析】
由可得或，然后根据几何概型的概率计算公式可得答案.
【详解】
由，得，即或，
它与的公共元素为，所以，
故选：B
12．D
【分析】
由题，构造新函数，然后求得其单调性和奇偶性，然后解得其结果即可.
【详解】
由题意令，则当时，，所以当时，函数为单调递增函数，又由，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以是定义在上的奇函数，所以当时，函数为单调递增函数，且，当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是，所以不等式的解集是，故选D．
【点睛】
本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．本题的解答中根据题设条件，得出函数的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
13．
【分析】
根据频率分布直方图求平均数的方法求解即可.
【详解】
平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和.
∴平均分为：.
故答案：
14．
【分析】
由抛物线的定义，可将问题转化为：抛物线上一点到焦点的距离与到直线距离之和的最小值进行处理.
【详解】
因为直线是抛物线的准线，
故根据抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离与到准线距离相等；
故问题转化为抛物线上一点到焦点的距离和到直线距离的和的最小值；
容易知，其最小值为焦点到直线的距离
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，涉及距离最小值问题，经典题目.
15．
【解析】
的处可导

则
16．
【分析】
作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】
对于双曲线，则，，，如下图所示：

设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
17．.
【分析】
先由已知条件求出命题P和Q，然后利用条件命题“”为真命题，得出命题P和Q均为真命题，进而求解交集即可得出答案.
【详解】
由命题：“存在，使函数在上单调递减”，当时，函数满足在上单调递减，当时，则需解得，所以可得命题P为：；由命题：“存在使，”可得，解得，故命题Q为：，又因命题“”为真命题，可得：P真且Q真，所以由，故实数的取值范围为：
【点睛】
本题考查了命题的求解，考查了分类讨论思想的运用，考查了命题真假的判断与利用，属于一般难度的题.
18．(1)；(2)．
【分析】
(1)将两点坐标代入椭圆方程中，求出的值，可求出椭圆的方程；
(2)直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，设直线与轴交于点，利用进行求解．
【详解】
(1)由题意得: , 解得:
即轨迹E的方程为
(2)记，
故可设的方程为
由消去得，
所以
设直线与轴交于点

19．（1）；（2）中位数为；（3）.
【分析】
（1）根据频率之和等于1求出；
（2）根据频率直方图中的中位数等分样本数据所占频率求解即可；
（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为．设从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组中抽到2人的概率．
【详解】
解：（1）由，得；
（2）由于前两组的频率和为，第三组的频率为，故中位数为
（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，
从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，
分别记为.
设从5人中随机抽取3人，为，共10个基本事件
其中第2组恰好抽到2人包含， 共6个基本事件,
从而第2组抽到2人的概率
【点睛】
方法点睛：频率分布直方图中的中位数，平均数，众数的求解方法：
众数：是频率分布直方图中最高矩形的中点值即为样本数组的众数估计值；
平均数：各组中点值乘以各组的频率之和即为样本数组的平均数的估计值；
中位数：频率分布直方图中，垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分，则其对于的数据即为中位数的估计值.
20．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由题意结合双曲线过点即可得，由抛物线的焦点可得，即可得解；
（Ⅱ）设，，联立方程可得，，由可得，代入即可得解.
【详解】
（Ⅰ）由题意设双曲线方程为，双曲线的半焦距为，
把代入得①,
又的焦点是，
∴，
与①联立，消去可得，解得或（不合题意舍去），
于是，
∴双曲线方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得双曲线方程为，∴该双曲线的渐近线为，
由直线与双曲线C交于A，B两点可得，
联立方程可得，
消去y得，
当即时，l与C有两个交点A，B，
设，，则，，
因为，故，
，
，
化简得，∴，检验符合条件，
故当时，．
【点睛】
本题考查了抛物线焦点以及双曲线方程的求解，考查了直线与双曲线的综合应用与运算求解能力，属于中档题.
21．（1）函数的单调增区间是，递减区间为，的最小值为：；（2）.
【分析】
（1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的最值；
（2）在上单调递增，则恒成立，分离参数，即可求得的取值范围.
【详解】
解：（1）当时，，.
令，即，解得：；
令，即，解得：；
在时取得极小值，亦为最小值，即.
当时，函数的单调增区间是，递减区间为，的最小值为：；
（2），.
在上单调递增，恒成立，
即，恒成立.
时，，.
即的取值范围为.
【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导是关键将单调性问题转化为导数大于等于0恒成立，利用分离参数法求得实数的取值范围是常用的方法.
22．（1）单调增区间为单调减区间为；
（2）极小值为，极大值为；
（3）[2,+∞）
【解析】
试题分析：（1）先求出的定义域，然后求，再分别令去求单调区间；（2）根据（1）的单调性可求函数的极值，（3）由题意知，恒成立，整理得，然后构造函数，求其最大值即可。
试题解析：（1）定义域为R． ．．．．1分
令， 令
令，得，
，得
所以函数的单调增区间为单调减区间为
（2）由（1）可知，当时，函数取得极小值，函数的极小值为
当时，函数取得极大值，函数的极大值为
（3）若,不等式恒成立，即对于任意,不等式恒成立，
设，，则
，恒成立，
在区间上单调递增，
∴的取值范围是[2,+∞）
考点：利用求函数的极值、单调区间，利用参变量分离、构造函数求参数的取值范围。