重庆市主城区七校2019-2020学年高二数学下学期期末联考试题.doc

重庆市主城区七校2019-2020学年高二数学下学期期末联考试题

重庆市主城区七校2019-2020学年高二数学下学期期末联考试题

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重庆市主城区七校2019-2020学年高二数学下学期期末联考试题（含解析）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名.准考证号等填写在答题卷规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.
4.考试结束后，将答题卷交回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一､选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.若（其中是虚数单位）,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简求出再根据模长公式求解即可.
【详解】,故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及模长公式.属于基础题.
2.为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（ ）
A. 0.97 B. 0.86 C. 0.65 D. 0.55
【答案】A
【解析】
【分析】
在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．
【详解】由题意，四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，
根据在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，
可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97．
故选：A．
【点睛】本题考查了用相关指数拟合模型效果应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．
3.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ）
A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
【答案】B
【解析】
,选B.
4.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题求得，进而求得，根据直线的点斜式方程求得在点处的切线方程即可.
【详解】解：由题知，故，
故在点处的切线方程为，化简整理得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查用导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题.
5.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B､C､D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3､5､6､8､9中选择，其他号码只想在1､3､6､9中选择，则他车牌号码可选的所有可能情况有（ ）
A. 180种 B. 360种 C. 720种 D. 960种
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析牌照的第一个号码､第二个号码以及最后三个号码的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择，共5种选法，
第二个号码只能从字母B､C､D中选择，有3种选法，
剩下的3个号码在1､3､6､9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法，
则共有5×3×64=960种，
故选：D.
【点睛】本题考查排列､组合的应用，需要注意汽车牌照号码中数字可以重复，故最后三位号码有4×4×4种选法，而不是A43种，属于基础题.
6.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知，，由，知，由此能求出．
【详解】由题意知，，
，解得，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
7.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4，
∴42=9．4×3．5+a，
∴=9．1，
∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，
∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5
考点：线性回归方程

8. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 48种
【答案】C
【解析】
试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.
考点：排列组合.

9.下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到线性回归方程：，相关系数为；则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由散点图可判断正负相关，得出为正，再结合剔除点前后的回归直线，即可比较出.
【详解】由散点图分布图可知,变量 和成正相关，所以 ，
在剔除点之后，
且可看出回归直线的线性相关程度更强,更接近1.
所以 .
故选:A.
【点睛】本题主要考查散点图的正负相关以及变量的相关性，相关系数的意义：①当散点分布呈正相关，；负相关，；②越接近1，说明两个变量越具有线性相关关系，即线性关系越强.
10.设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为( )

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.
【详解】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时， ，符合条件的只有D选项，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.
11.有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先确定各医院所去医生人数，先分类：；；，这样第一步把6名医生按这个数字分组，然后三组分到三个医院，分组中要注意平均分组和不平均分组有．
【详解】人数进行分组共有三种情况：；；，
若分组分，共有；若分组分，共有；
若分组分，共有.不同分派方法种数为.
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查平均分组和不平均分组问题，实际解题中还要注意分组后组与组之间有无区别．
12.已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.
【详解】因为，故，
下面讨论的单调性：
当时，，故在区间上单调递减；
当时，时，，故在区间上单调递减；
当时，令，解得，
故在区间单调递减，在区间上单调递增.
又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；
对函数，当时，；
根据题意，对，且，使得成立，
只需，
即可得，
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二､填空题（本大题共4小题，每小题题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置）
13.若复数（是虚数单位），则的虚部为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的乘法法则可得出复数的一般形式，进而可得出复数，由此可得出结果.
【详解】因为，所以，故的虚部为.
故答案为：.
【点睛】本题考查共轭复数虚部的求解，同时也考查了复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
14.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”，则________________.
【答案】
【解析】
【分析】
先分别求出事件A、B选法种数，由古典概率和条件概率公式可求得答案.
【详解】事件A的选法有种，事件B的选法有种，
所以，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查古典概率和条件概率公式，属于基础题.
15.若，则的值为__．
【答案】125
【解析】
分析：令可得；令，可得；又
，故可得的值．
详解：在中，
令，可得；
令，可得；
又，
∴．
点睛：对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．
16.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．
【答案】20
【解析】
【分析】
由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出．
【详解】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，
当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，
综上故有10+10＝20种，
故答案为20.
【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.
三､解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
17.已知二项式的展开式中各项的系数和为.
（1）求；
（2）求展开式中的常数项．
【答案】（1）8；（2）.
【解析】
【分析】
⑴观察可知，展开式中各项系数的和为，即，解出得到的值
⑵利用二次展开式中的第项，即通项公式，将第一问的代入，并整理，令的次数为，解出，得到答案
【详解】（1）由题意，得，即＝256，解得n＝8.
（2）该二项展开式中的第项为Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此时，常数项为＝28.
【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题．
18. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，期望．
【解析】
（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则
（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3
又
所以X的分布列为

所以．
考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．

19.已知函数，曲线在点处切线方程为．
（1）求的值；
（2）讨论的单调性，并求的极大值．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值．
试题解析：（1）．
由已知得，．
故，．
从而，．
（2）由（1）知，，
．
令得，或．
从而当时，；
当时，．
故在，上单调递增，在上单调递减．
当时，函数取得极大值，极大值为．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．

20.对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，作出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：

分值

场数
10
20
40
30

（1）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率.
（2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定.（结论不要求证明）
（3）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分.
【答案】（1）0.72；（2）甲更稳定；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图直接计算，即可得出结果；
（2）根据频率分布直方图与统计表，分析成绩的集中程度，即可得出结论；
（3）根据频率分布直方图，由每组中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平分值.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为；
即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为；
（2）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中在，由乙的得分统计表可得，乙的成绩比较分散，所以甲更稳定；
（3）因为组距为10，
所以甲在区间上得分频率值分别为，，，.
设甲的平均得分为，
则.
【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求概率，以及求平均值等问题，属于基础题型.
21.随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：
一周时间内进行网络搜题的频数区间
男生频数
女生频数

18
4

10
8

12
13

6
15

4
10

将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.
（1）根据已有数据，完成下列列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？

经常使用网络搜题
偶尔或不用网络搜题
合计
男生

女生

合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取人，记经常使用网络搜题的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

【答案】（1）填表见解析，在犯错误的概率不超过%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）由题意，由此求出随机变量的分布列和数学期望.
【详解】（1）根据题意填写列联表如下：

经常使用网络搜题
偶尔或不用网络搜题
合计
男生
22
28
50
女生
38
12
50
合计
60
40
100

计算观测值
，
所以在犯错误概率不超过%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法抽取一人，抽到经常使用网络搜题的学生的概率为.
由题意.
,
,
,
,
.
的分布列为：

0
1
2
3
4

.
【点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
22.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）函数的递增区间为，函数的递减区间为；（2）；（3）见解析.
【解析】
试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，时，在上是增函数，而，不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.
试题解析：（1）定义域为，
若，，在上单调递增
若，，
所以，当时，，当时，
综上：若，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减
（2）由（1）知，时，不可能成立；
若，恒成立，，得
综上，.
（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即
令，得，即
，得证.
点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.