利用导数解题的综合分析和探讨研究大学论文.doc

淮北师范大学信息学院 2013 届学士学位论文

利用导数解题的综合分析和探讨研究

系 别: 数学系
专 业: 数学与应用数学
学 号: 200918084001
姓 名: 柴先红
指 导 教 师: 王慧
指导教师职称: 讲师

2012年 5 月 10 日

利用导数解题的综合分析和探讨研究
柴先红
（淮北师范大学信息学院,淮北,23500）
摘 要
导数是近代数学的基础,是数学分析课程中重要的基础概念之一；是研究客观世界物质运动变化的有力工具,在现代化建设的各个领域中有着广泛的应用,自然对中学数学也有着重要的指导作用.本文就从五个方面来介绍导数在中学数学中的应用,运用导数的思想方法和基本理论来解决数学中有关函数性质的讨论及其应用、数列前项之和、不等式的证明、应用题求解等问题.既为解决初等数学的某些问题找到了一些新的途径,又使导数对初等数学的知道作用得到具体说明.

关键词：导数, 应用, 函数,数列,不等式,初等数学

Derivative Comprehensive Analysis and Discussion of Research to Solve Problems
Chai Xian Hong
(Huaibei Normal University College of Information, Huaibei, 235000)
Pick To
Derivative as the basis of modern mathematics, the mathematical analysis is one of the important basic concepts in the course; Is the study of the objective world powerful tool, change of material movement in modern construction has been widely used in every field, nature also has an important guiding role for middle school mathematics. This paper from five aspects, introduces the application of derivative in the middle school mathematics, based on the idea of derivative method and basic theory to solve in mathematics, a discussion about the nature of the function and application, the sequence of the sum referred to in the preceding paragraph, the inequality proof, such as word problem solving problems. Some elementary mathematics to solve the problems found out some new way, and the derivative of elementary mathematics know role for specific instructions.
Keywords: derivative, application, Function, The sequence, Inequality, Elementary mathematics

目 录

引言……………………………………………………………………………………1
一、 导数的概念 ……………………………………………………………………2
二、导数的应用………………………………………………………………………2
1. 导数在数列中的应用………………………………………………………… 2
2. 求曲线的切线方程…………………………………………………………… 7
3. 导数在探究函数性质中的应用……………………………………………… 8
3. 1利用导数判断函数的单调性…………………………………………… 8
3. 2利用导数求函数的最值与极值……………………………………… 11
3. 3导数在函数中的其它应用 …………………………………………… 15
4. 导数在不等式中的应用………………………………………………………16
5. 导数在实际问题中的应用……………………………………………………17
总结………………………………………………………………………………… 18
参考文献…………………………………………………………………………… 18

引言
导数是函数与解析几何的交汇点,有着重要的工具作用. 是我们学习的必需
工具之一,用它可以解决许多数学问题. 现已是高考重点考察的基础知识,主要
以应用题的形式出现,本文利用导数处理数列求和，函数的最值、极值和单调性问题及曲线问题等,除此之外,导数还有其他用途,比如利用导数研究函数的图像,利用导数证明不等式等问题.

一、 导数的概念
定义 设函数在点的某邻域内有定义,若极限
（1）
存在,则称函数在点出可导,并称该极限为函数在点处的导数,记作.
令则（1）式可改写为
.
定义 设函数在点的某右邻域上有定义,若右极限

存在,则称该极限值为在点的右导数,记作.
类似地,左导数为

注：右导数和左导数统称为单侧导数.
.
若函数在区间I上没一点都可导（对区间端点,仅考虑相应的单侧导数）
则称为I上的可导函数.此时对每一个,都有的一个导数（或单侧导数）与之对应.称为在I上的导函数,简称为导数.记作,或,即
.

二、 导数的应用
1. 导数在数列中的应用
数列求和是数学中比较常见的问题,也是学生难以掌握的问题,用常规方法求数列的和,有时技巧很高,或者计算十分繁琐,如果借助导数这一工具,用导数的相关性质来解决此问题,常可化繁为易.
例1 已知函数,数列满足.
（1） 求；
（2） 证明数列是递减数列.
解 （1） 因为,,得
,
, ,

,
又>0,故,
（2） 令,则,
因为 ,<0.
故<0,为递减函数,从而也是递减的,
即证.
例2 设函数数列,满足.
⑴ 证明：函数在上是增函数；
⑵ 求证：；
⑶ 若,求证：.
证明 ⑴ 因为时,恒成立,
所以函数在上是增函数.
⑵ 由.
又因为,所以,故.
由⑴知当时,,所以,
故.
下面用数学归纳法进行证明：
 当时,,命题成立；
‚ 假设当时命题成立,即.
因为恒成立,所以,
即,所以,当时命题成立.
据‚可知对任意的命题均成立.
⑶ 先证明.
令
,
则 ,
令
,
,所以在上是单调递减,即在上单调递减.
又因为,所以.
故在上是单调递减.
又因为,所以恒成立.
又因为,所以,即.
再证明时,,由.
又因为…,
当时,……….
从而.
例3 已知实数是常数,当时,是增函数.
⑴ 求的取值范围；
⑵ 设数列的前项和为,比较与的大小.
解 ⑴ 因为,所以.
因为,当时,是增函数,
所以在时恒成立.即在时恒成立.
又因为时,是减函数,所以当时,.
故.
⑵ 当时,
由⑴知,当时,是增函数.所以当时,
即.
所以当时,,故当时,
因为是正整数,所以故
即
所以…
…
=
故…
从而.
例4 已知函数数列的首项(为大于1的常数）,且
⑴ 设求函数的单调区间；
⑵ 求证：
⑶ 若当时,恒成立,求的取值范围.
解 ⑴ 由题设知,则
当时,恒成立,故的单调区间为
⑵ 先用数学归纳法证明
 当时,,不等式成立；
‚ 假设当时,,
由于,则恒成立与,
所以函数在上为增函数,故当时,
那么当时,,则当时不等式任然成立.
由,‚知,
再证,即证,
由⑴知在上单调递增,所以当时,,
故成立,
综上所述,成立.
⑶ 由,得,又,所以,
设,则,
记,则恒成立于,则在上单调递增,所以当时,,
故当时,,从而在上单调递增,
由⑵知,所以（当且仅当时等号成立）,
因为当时,恒成立,所以恒成立,
故,
从而的取值范围是.
2. 求曲线的切线方程
在求过点所作函数对应曲线的切线方程时应先判断改点是否在曲线上.
(1) 当点在曲线上,即为切点,则切线方程为

（2）当点不在曲线上,则设切点为.由,先求切点坐标,然后进一步求切线方程.
例5 已知曲线,求过点的曲线的方程.
解 因,所以
则当时,,
ⅰ）当时,点在曲线上,故过点的曲线的切线方程为
即.
ⅱ)当时,点不在曲线上,设曲线过点的切线切点是,
则切线方程为
且点在此切线方程上,故有
,即
又,
则有 即
又 ,
当时,；
当时,
所以切线方程,即
当时,故切线不存在.
3. 导数在探究函数性质中的应用
3. 1 利用导数判断函数的单调性
假设在点中可导
⑴ 若对中所有而言,则在中递增；
⑵ 若对中所有而言,则在中递减；
⑶ 若对中所有而言,则在中不变.
由此可见,只要求出函数的导数,判断其正负,则能判断函数的单调性.这种方法比传统的“定义法”及“图像法”更方便.
例6 已知函数（>0）,.
（1） 若曲线与曲线在他们的交点处具有公共切线,求的值；
（2） 当时,求函数的单调区间.
解 （1）,
由题知, ,
故 ,
得 ,
由（1）知,,
令,即,
又 ,所以 ,,
令
,得
>0时,的情况如下：

+
0
-
0
+

↗

↘

↗

所以函数的单调递增区间为,；单调递减区间为.
例7 已知函数.
⑴ 求的单调区间；
⑵ 若对任意的,都有,求的取值范围.
解：⑴

,
令
.
ⅰ）,当时,,则递增；
当 时,,则递减；
当时,,则递增.
故的单调递增区间为,单调递减区间为.
ⅱ）,当时,,则递减；
当时,,则递增；
当时,,则递减.
故的单调递增区间为,单调递减区间为.
⑵ 当时,因为,
所以不会有,
当时,由（1）知在上的最大值是.
故 等价于；
得 .
例8 已知函数,当时,讨论的单调性.
解
令
,
ⅰ）,
当时,,故在上递增;
当时,,故在上递减.
ⅱ)由,
 ,故在上递减；
‚ ,则时,则递减；
,则递增；
,,则递减.
ƒ ,时,则则递减；
,则递增.
综上,当时,在上递减,在上递增；
当时,在上递增,在和上递减.

3.2 利用导数求函数的最值与极值

求可导函数的极值的一般步骤和方法是：
 求导数；
‚ 求方程的根；
ƒ 检验在方程的根的左右符号.若在根左侧附近为正,右侧附近为负,那么,函数在这个根处取得极大值；若在根左侧附近为负,右侧附近为正,那么,函数在这个根处取得极小值.
对于连续,在内可导的函数的最值求解,可先求出函数在上的极大（小）值,并与比较,即可得出最大（小）值.

例9 求函数的最值.
解 , 令
当1时,,在上单调递增；
当1时,0,在上单调递减；
所以,为的最小值点,即

例10 设
⑴ 若在上存在单调递增区间,求的取值范围；
⑵当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.
解 ⑴ 由
当时,的最大值为
令
故 当时,在上存在单调递增区间.
⑵ 令.
故 在上单调递减,在上单调递增.
当时,由
所以 在上的最大值为.
又 ,即
故在上的最小值为,,
从而在上的最大值为.
例11 已知函数满足
⑴ 求的解析式及单调区间；
⑵ 若求的最大值.
解 ⑴ 由,
所以 ,
又 ,
故 .
所以 ,又
令
,
当时,,当时你,
从而,在上单调递增,在上单调递减.
⑵ ,
(1)
 若则对任意常数,当时,且时,
可得 ,因此（1）式不成立.
‚ 若,式恒成立时,,此时.
ƒ 若,设,则
当 时,；
当时,
从而在上单调递增,在上单调递减.
故有最小值
所以等价于, ⑵
因此
设则
所以在上单调递增,在上单调递减,故在处取得最大值.
从而,即
当时,⑵式成立,故
综上,的最大值为.

（2） 利用导数求函数极值
例12 求函数的单调区间和极值.
解 ,令.
当1时,0,故递减；
当1时,0,故递增；
故在处有极小值,即.

例13 设,其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
（1） 求的值；
（2） 求函数的极值.
解 （1）,
由题意知, .
(2)由（1）知,（0）,
令
,
（舍）,

当01时,0,故在上为减函数；
当1时,0,故在上为增函数；
从而在处取得极小值.

3.3 导数在函数中的其它应用

1.利用导数判断函数的凹凸性即拐点

在研究函数图形的变化状况时,知道它的上升和下降顾虑很有好处,但不能完全反映它的变化规律.如图4所示的函数的图形在区间内虽然是一直上升的,但却有不同的弯曲形状.因此,研究函数图形时,考察它的弯曲形状以
及扭转弯曲方向的点是必要的.从图4看出,曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方,曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方,据此给出定义如下：
定义3 设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点和任意实数总有

则称为上的凸函数.反之,如果总有

则称为上的凹函数.
那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？
例14 求函数的凹凸区间及拐点.
解 因,则,
令,得.所以

0

+
0
-
0
+

凹
1
拐点
凸
拐点
凹

2.利用导数求参数问题

利用导数求函数中参数的范围,它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸.
例15已知且在处取得极值,对,恒成立,求的取值范围.
解 ,由条件在处取得极值知,
故 .
从而对恒成立,即,对 恒成立.

令
,
则只要的最小值不小于就行即.该题转化为求的最小值,由可得在上单调递增,在上单调递减,故,即..

4. 导数在不等式中的应用

不等式是数学的重要部分,它遍及数学的每一个分支学科.证明他们的方法很多,因此更是具有很强的技巧性,对于某些不等式不易证明时,可根据给出不等式的特点构造函数,利用函数的单调性来加以在证明,往往可以达到事半功倍的效果,定会觉得豁然开朗.
例16 证明不等式,.

证明  先证左边不等式,
令,即证对,,,

,为单调递减函数,,
不等式成立,

‚同理可证右边.

5. 导数在实际问题中的应用

学习的目的,就是要会实际应用.解决实际应用问题在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.
例17 长方体物体E在于中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动,速度为（>0）雨速沿E方向的分速度为.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个淋雨面）的淋雨量,假设其值与成正比,比例系数为；（2）其他面的淋雨量之和,其值为,记为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离,面积时,
（1） 写出的表达式；
（2） 设0<10,0<,试根据的不同取值范围,确定移动速度,使总淋雨量最少.
解（1）由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为,
故,
⑵ 由（1）知,
当0<时 ,；
当<时,；
故<；,<.
 当<时,是关于的减函数.
故当时,,
‚ 当<时,在上,是关于的减函数;在上,是关于 的增函数.故当时,.

总 结
导数在数学学习中应用非常广泛,特别中学数学中几乎涉及到各个方面,本文就导数的有关知识在数学中的相关应用进行了探讨,简述了利用导数求函数的单调区间、极值、最值的基本方法,以及导数在不等式和数列中的利用.同时,导数在实际生活中也有广泛应用.时研究数学的必不可少的工具之一.

参考文献：
[1] 华东师范大学数学系.数学的应用[J].数学通讯,2003,（12):12-13.
[3] 徐智愚.用导数解初中数学题[J].数学通报,2000,（10),35.
[4] 高群安.运用导数巧解题分析[M].北京：高等教育出版社,2001.
[2] 窦宝泉.导数在中学数学中[J].2005,（4）,22-23.
[5] 李绍平.高考对导数问题考查的五大热点[J].中学数学研究,2004（5）.
[6] 曲一线.高考理数[M].北京：教育科学出版社,2012.
[7] 刘崇丽.应用数学教程[M].化学工业出版社,1998.
[8] 同济大学数学科研室.高等数学[M].4版.北京：高等教育出版社,1996.
[9] 华东师范大学数学系.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社,1991.
[10] 梅里特,陈三平,丁仁.工程技术常用数学[M].科学出版社,1976.
19

致　谢
历时将近两个月终于完成了这篇名为利用导数解题的综合分析和探讨研究的论文,在论文写作中遇到了无数的困难和障碍,都在同学和老师的帮助下度过了．尤其要强烈感谢我的论文老师王老师,她对我进行了无私的指导和帮助,不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进．另外,在图书馆查找资料的时候,图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助．在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢．