2021高考数学黄金预测卷(三)(含解析).doc

2021高考数学黄金预测卷（三）（含解析）

2021高考数学黄金预测卷（三）（含解析）

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2021届高考数学黄金预测卷
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知i为虚数单位，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量，且与共线，则( )
A. B. C. D.
4.黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律： .若是顶角为的等腰三角形，则( )

A. B. C. D.
5.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖曘.”如图1所示的长方体用平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵.如图2所示的堑堵中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.
7.已知数列满足，则数列的前2020项的和为( )
A.0 B.1010 C.2020 D.2024
8.若且，则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知，则下列结论正确的是( )
A.ab有最大值2 B.ab有最小值2
C.有最大值为4 D.有最小值为4
10.把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变再将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法不正确的是( )
A.在上单调递增 B.的图象关于对称
C.的最小正周期为 D.的图象关于y轴对称
11.已知O为坐标原点，分别是离心率为的双曲线E的左、右焦点，P为双曲线上任一点，平分且，则( )
A.E的标准方程为
B.E的渐近线方程为
C.点P到两条渐近线的距离之积为
D.若直线与双曲线E的另一支交于点为的中点，则
12.副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角板和一块等腰直角三角板组成，如图所示，，现将两块三角形板拼接在一起，得到三棱锥，取的中点O与的中点M，则下列判断正确的是( )

A.直线平面
B.与平面所成的角为定值
C.设平面平面，则有
D.三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在点处的切线方程为_______________.
14.某医院传染病科室有5名医生、4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生、2名护士，则不同的选取方法有__________种.
15.在三棱锥中，，是正三角形，，点A到平面PBC的距离为1，则_______，三棱锥的外接球的表面积是________.
16.已知定义在R上的函数满足，且当时，，当时，，则函数在上有_________个零点.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
问题：是否存在它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，__________？
18.（12分）已知等比数列的前n项和为，且.
（1）求与；
（2）记，求数列的前n项和.
19.（12分）中国是半导体的最大消费国，2020年12月，中科院宣布已经成功研发出8英寸石墨烯单晶圆，并做到了小规模生产，碳基芯片为我国实现“直道超车”带来可能性.某半导体材料供应商有A，B两条不同的生产线可以同时生产某种配件，为保证质量，现从这两条生产线生产的产品中随机抽取60件，进行品质鉴定，统计结果如下表所示：
等级
优秀
良好
不合格
频数
6
36
18
（1）规定：等级为优秀、良好的产品为合格品.若样本中A生产线生产的产品为优秀、良好、不合格的件数分别为4件，6件，9件，请完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为产品是否合格与生产线有关？

合格
不合格
A生产线

B生产线

（2）用分层抽样的方法，从样本中优秀、良好、不合格三个等级的产品中抽取10件进行详细检测，再从这10件产品中任选3件，记所选的3件产品中良好等级的件数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20.（12分）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，E为PC的中点，F为AD的中点，平面底面ABCD.

（1）证明：平面平面PAD；
（2）若PC与底面ABCD所成的角为，求三面角的余弦值.
21.（12分）已知圆与抛物线在x轴下方的交点为A，与抛物线C的准线在x轴上方的交点B，且点关于直线对称.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若是抛物线C上与点A不重合的两个动点，且，求点A到直线的距离最大时，直线的方程.
22.（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：.

答案以及解析
一、单项选择题
1.答案：D
解析：由题意知，所以，故选D.
2.答案：B
解析：依题意得，因此，根据复数的几何意义，它在复平面内对应的点为，位于第二象限.
3.答案：B
解析：与共线，，解得.故选B.
4.答案：A
解析：由题意得在正五角星中，C，D为AB的两个黄金分割点，易知.因为，所以，故不妨设则在中，，从而.
5.答案：B
解析：易知为偶函数，所以其图象关于y轴对称，由此排除A；由定义域知，由此排除C；又当时，由知，在区间内有极小值，由此排除D.故选B.
6.答案：A
解析：如图，取的中点E，连接则即异面直线与所成的角或其补角，

在中，，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，，故异面直线与所成角的余弦值为，选A.
7.答案：C
解析：在中，分别令，2，得，，两式相加得.在中，分别令，4，得，两式相加得，所以，依次类推，可得，所以数列的前2020项的和为.
8.答案：B
解析：由，知，选项A，C错误；由，可知最小，比较与的大小，，从而，选项B正确，选项D错误，故选B.
二、多项选择题
9.答案：BD
解析：由题可知且由得，即]故当且仅当即时取等号.故选项A错误，选项B正确；又，当且仅当时取等号，故选项C错误，选项D正确，故选BD.
10. 答案：BCD
解析：把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的得到的图象，再将图象向右平移个单位长度得到函数的图像.若则在上单调递增，故A正确；
由知，的图象不关于点对称，故B错误；
的最小正周期为π，故C错误；
的图象不关于y轴对称，故D错误.
综上，故选BCD.
11.答案：BCD
解析：不妨设P为双曲线的右支上点，延长交于点Q，易知.根据双曲线的定义得，，从而，在中，为其中位线，故，由，得，所以，所以双曲线E的标准方程为，渐近线方程为，即，所以A不正确B正确；
设，则点P到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；
设，因为在双曲线E上，所以①，②，①-②并整理得，，即，所以，所以D正确.故选BCD.
12.答案：ABC
解析：对于选项A：由的中点O与的中点M，得.由，得.又由为等腰直角三角形得，则由， ，平面，得直线平面，故A正确.
对于选项B由A得平面，则与平面所成的角为，即为，为定值60°，故B正确.
对于选项C由A得，，平面平面，所以平面.又平面，平面平面，所以，故C正确.
对于选项D：因为的面积为定值，但三棱锥的高随着点F位置的移动而变化，故D错误.故选ABC.
三、填空题
13.答案：
解析：因为，所以.又，故曲线在点处的切线方程为，即.
14.答案：10
解析：符合题意的情况有两种：2名医生、3名护士和3名医生、2名护士.选取2名医生、3名护士的方法有（种），选取3名医生、2名护士的方法有（种），所以满足题意的选取方法共有（种）.
15.答案：；
解析：如图，过点A作于点D，连接PD，过点A作于点H，则易知，所以AH为点A到平面PBC的距离，即.由易得，从而可得，由可得，即，
解得.将三棱锥补形成三棱柱，设的中心分别为，连接，取的中点O，则O为三棱锥的外接球的球心.连接OA，易知，从而可得，所以所求的外接球的表面积.

16.答案：7
解析：由知是奇函数，又当时，，所以在上是周期为1的周期函数.令得，结合当时，，作出函数和的大致图象，如图所示，数形结合可知函数和的图象在上有7个交点，即函数在上有7个零点.

四、解答题
17.答案：方案一：选条件①.
因为所以，
由正弦定理可得，
又所以，
因为
所以即，
因为所以，
又故，即.
因为
所以由正弦定理得解得
因为，所以，所以.
所以的面积.
方案二：选条件②.
因为所以，
由正弦定理可得
又所以，
因为，所以，即
因为所以，
又故即.
因为所以由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
联立得化简得解得，
所以的面积.
方案三：选条件③.
因为所以，
由正弦定理可得
又所以，
因为，所以，即，
因为所以，
又故即.
由余弦定理得即，
联立得消去c，
并整理得
此时故方程无实数根，
所以选条件③时问题中的三角形不存在.
18.答案：（1）由，得，
当时，，得；
当时，，
得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
（2）由（1）可得，则，
，
两式相减得，
所以

.
19.答案：（1）补充2×2列联表如下：

合格
不合格
A生产线
10
9
B生产线
32
9
则，
由于，故有95%的把握认为产品是否合格与生产线有关.
（2）用分层抽样的方法，从样本中优秀、良好、不合格三个等级的产品中抽取10件进行详细检测，则优秀等级的产品有（件），
良好等级的产品有（件），
不合格等级的产品有（件），
故X的可能取值有0，1，2，3，
则，
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P

所以.
20.答案：(1)由题可知四边形BCDF是平行四边形，
.
又.
又∵平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，
平面PAD.
平面平面平面PAD.
(2)如图，连接为AD中点.
又平面PAD，平面平面ABCD，平面平面
底面ABCD.
又故以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

设，
则，
取平面ABCD的法向量
则有，
，
.
设平面EBF的法向量，
令得.
设二面角的平面角为
由图可知θ为钝角，
即二面角的余弦值为.
21.答案：（1）将代入，得，所以，
由点关于直线对称，可得，
将A的坐标代入抛物线C的方程得，得.
所以抛物线C的方程为.
（2）由1得.
设，直线的方程为，
将直线的方程代入得，
所以
因为，所以
由题意可知所以.
所以，即，
所以，即.
所以直线的方程为，
所以直线过定点，当时，点A到直线的距离最大，此时直线的方程为.
22.答案：（1）函数的定义域为.
当时，，
则.
记，则.
显然在上单调递减，且，
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以，即恒成立，
所以函数在上单调递减.
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）要证，只需证.
①当时，，不等式显然成立.
②当时，，
由可得，，
于是原问题可转化为求证：，
即证.
令，则，
令，则，易知在上单调递增，
又，
所以存在使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，
故当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，，即.
综上，.