基于单位根检验和ARMA模型的桥墩位移稳定性时间序列分析.pdf

武汉工程大学学报第45卷收稿日期：2021-04-25基金项目：武汉市市政建设集团有限公司科研项目（WSZKY201808）作者简介：陈刚，博士，高级工程师。E-mail：*通讯作者：李春光，博士，副研究员。E-mail：引文格式：陈刚，郭鹏，皮鹤，等.基于单位根检验和ARMA模型的桥墩位移稳定性时间序列分析 J.武汉工程大学学报，2023，45（4）：586-590.基于单位根检验和ARMA模型的桥墩位移稳定性时间序列分析陈刚1，郭鹏2，皮鹤3，孙聪4，李春光*51.同济汇智（北京）科技发展有限公司，北京 102299；2.武汉市政建设集团有限公司，湖北 武汉 430023；3.广西葛洲坝田西高速公路有限公司，广西 百色 533500；4.武汉生态环境设计研究院有限公司，湖北 武汉 430050；5.中国科学院武汉岩土力学研究所，湖北 武汉 430071摘要：评估桥墩位移是否收敛和稳定是桥梁健康评估的重要内容。在运用全球定位系统获取桥墩三维监测位移的基础上，首先运用时间序列方法对监测数据进行处理和分析，并使用单位根检验来确定桥梁监测序列是否平稳，为了克服短期偶发因素影响，进而建立自回归移动平均模型对桥梁信号监测数据进行预测分析，最后将桥墩水平位移实测数据与模型拟合结果的残差序列进行单位根检验，以进一步确定桥墩位移的长期稳定性。工程实例表明：单位根检验表明监测序列没有时间趋势，不存在单位根，数据序列为平稳序列，具有常均值和方差；自回归移动平均模型能够较好地刻画监测数据，且具有较高的可靠性和可行性；根据平稳时间序列模型的特征，可以计算监测序列的均值和方差。关键词：时间序列；单位根检验；自回归移动平均模型；桥墩位移中图分类号：U446.2文献标识码：ADOI：10.19843/ki.CN42-1779/TQ.202104032Time Series Analysis of Pier Displacement Stability Based onUnit Root Test and Auto-Regressive Moving Average ModelCHEN Gang1，GUO Peng2，PI He3，SUN Cong4，LI Chunguang*51.Tongjihuizhi Technology Co.Ltd，Beijing 102299，China；2.Wuhan Municipal Construction Group Co.，Ltd，Wuhan 430023，China；3.Guangxi Gezhouba Tianlin-Xilin Highways Co.，Ltd，Baise 533500，China；4.Wuhan Ecological Environment Design and Research Institute Co.，Ltd，Wuhan 430050，China；5.Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，ChinaAbstract：It is a crucial aspect of determining bridge health to assess the convergence and stabilization of pierdisplacement.Based on three-dimensional monitoring of the pier displacement obtained by global positioningsystem，the time series method was applied to analyze the monitoring data.Specifically，the unit root test wasused to determine whether the monitoring series of a bridge was stable or not.To overcome the influence ofshort-term contingencies，the auto-regressive moving average models were established to predict and analyzesignal monitoring data.Finally，to estimate the long-term stability of pier displacement，the unit root test wasperformed on the residual sequence of the measured data of the horizontal displacement of the pier with the第45卷第5期2023年10月文章编号：1674-2869（2023）05-0586-05武汉工程大学学报Journal of Wuhan Institute of TechnologyVol.45 No.5Oct.2023第5期桥梁运营期间不仅受到车辆荷载的反复作用，还受到自然环境的影响、侵蚀，以及地质条件变化与使用环境的作用，甚至会遭受自然灾害、撞击等偶发事件，使得桥梁健康状况发生变化。桥梁墩台变位，不仅使其几何形态发生改变，变位过大可能导致内部应力发生改变，严重的可能发生主梁、墩身开裂甚至破坏，为了保障桥梁运营期内的结构安全，必须对桥梁进行健康监测。全 球 定 位 系 统（global positioning system，GPS）动态监测技术可以精确获取监测点的三维坐标，具有采样率高、精度高、设站自由、全自动、全天连续观测的优点，广泛应用于桥梁形变动态监测中。在获取监测数据的基础上，对监测信息进行处 理 和 分 析，成 为 桥 梁 状 态 评 估 和 分 析 的 关键1-3。时间序列方法处理的对象是具有时间刻度的有序数据，对时序内部各元素之间的关系进行统计分析，是数据处理中广泛采用的重要方法。将时间序列分析用于处理监测数据，大多将侧重点放在拟合时间序列模型进行预测。唐浩等4采用 自 回 归 移 动 平 均（auto-regressive movingaverage，ARMA）模型技术对桥梁历史静态监测量进行分析，试验结果显示出较高的预测精度。赵炜 等5采 用 季 节 综 合 自 回 归 移 动 平 均（auto-regressive integrated moving average，ARIMA）模型模拟桥梁检测序列的变化趋势，得到较好的拟合效果。文献 6-8 通过国内外各类规范对桥墩位移的限值规定的比较分析，对桥梁墩顶位移限值进行了探讨。韩晓冬等9采用ARMA模型对基坑沉降监测点数据进行了分析，验证了该模型对变形监测数据处理与预报可行性。为了克服单一时间序列模型 ARMA的不足，李修云等10提出时间序列模型和灰色关联模型组合时序预测模型（auto regression and moving average-grey model，ARMA-GM），以描述监测数据序列前后之间的数学关系，获得比单一模型更高的预测精度。陆萍等11对江津长江大桥挠度监测数据建立时间序列预测模型进行短期预测，但他们认为长期预测精度不如短期预测精度高。宋福春等12通过对立交桥梁位移、应变实时健康监测数据进行 ARMA 时间序列预测模型进行分析，用于发现桥梁在使用过程中所存在的隐患。余加学等13采用 ARMA模型对桥梁索塔形变监测中的GPS坐标序列进行预测研究，预测值曲线总体上与实测值保持一致，GPS的使用保证了预测的全天候、实时性。桥梁在受到短期偶发因素（如撞击、侧向填土、地质条件变化等）影响导致桥墩发生位移，影响消除或采取工程措施后，如何评估其位移是否收敛和稳定是桥梁健康评估的重要内容。本文利用时间序列方法对桥墩位移稳定性进行分析，将桥墩 GPS 监测时间序列数据进行单位根检验，验证是否为平稳序列，然后采用 ARMA 模型对该序列进行预测，以进一步确定桥墩位移的长期稳定性，流程如下。1时间序列模型1.1平稳时间序列若时间序列yt满足14：（1）对任意时间t，其均值E(xt)=为与时间t无关的常数；（2）对任意时间 t和 s，其自相关系数只与时间间隔 t-s 相关，而与 t 和 s 的起始点无关，即方差Var(xt)=s2是 与 时 间 t 无 关 的 常 数，协 方 差Cov(xt,xt+k)=gk是只与时期间隔 k有关，与时间 t无关的常数。则该时间序列就是平稳时间序列，即平稳时间序列的各观测值围绕其均值上下波动，且该均值和方差与时间 t无关。时间序列平稳性刻画的是时间序列的统计性质关于时间平移的不变性。1.2单位根检验序列自相关可以粗略判断时间序列的平稳性，单位根检验是检验时间序列平稳性的典型方法。1.2.1Dickey-Fuller（DF）检验Dickey 和 Fuller提出单位根检验方法，考虑了如下的AR（1）过程：yt=yt-1+t（1）model fitting results.The results from the project case show that the time series is stable without time trendand unit root；the auto regression and moving average models are set up，which can describe the monitoringdata well and has high reliability and good feasibility；the constant mean and variance of measured data can becalculated according to the characteristics of model of time series.Keywords：time series；unit root test；auto regressive moving average model；pier displacement陈刚，等：基于单位根检验和ARMA模型的桥墩位移稳定性时间序列分析587武汉工程大学学报第45卷式（1）中：t为白噪声，若参数|1时，序列是爆炸性的，无实际意义，所以只需检验|是否严格小于1。根据yt的性质不同，DF检验还允许序列yt有包含常数项和线性时间趋势项的形式：yt=c+yt-1+t（2）yt=c+yt-1+t+t（3）式（2）式（3）中：c为常数项，为滞后项系数，为时间趋势项系数。一般地，如果序列yt在0均值上下波动，则应选择不包含常数项和时间趋势项的检验方法，如果序列具有非 0均值，但没有时间趋势，可选择式（2），若序列随时间变化有上升或下降趋势，应选择式（3）。1.2.2Augmented Dickey-Fuller（ADF）检验在DF检验中，常常因为序列存在高阶滞后相关而破坏随机扰动项t是白噪声的假设，ADF 检验对此进行了改进，假定序列yt服从AR（p）过程，检验方程为：yt=yt-1+1yt-1+2yt-2+pyt-p+1+t（4）式（4）中：=p-1，i为待定系数。ADF检验假设与DF检验相同，ADF检验也可以包含常数项和线性时间趋势项。1.3ARMA模型ARMA15模 型 包 含 自 回 归（autoregressive，AR）模型和移动平均（moving average，MA）模型，是时间序列分析的典型模型。若时间序列yt是平稳时间序列，且其当前值为前期值及随机误差项的线性函数：yt=1yt-1+2yt-2+.+pyt-p+ut-1ut-1-2ut-2-.-qut-q（5）则称该时间序列yt是自回归移动平均序列，（p，q）阶自回归移动平均模型记为 ARMA（p，q）。实参数1,2,.,p称为自回归系数，1,2,.,q称为移动平均系数。引入滞后算子B，式（5）可简写为：(B)yt=(B)ut（6）ARMA（p，q）过程的平稳条件是滞后多项式(B)的根均在单位圆外（倒数根在单位圆内），可逆条件是(B)的根均在单位圆外。平稳解的均值为：E(yt)=01-1-p（7）时间序列可以通过自相关函数和偏自相关函数的截尾性和拖尾性初步判定 ARMA 模型的阶数。选用ARMA模型的前提条件是其自相关函数和偏自相关函数都不截尾，但这仅能限定p、q不为0，p、q的具体取值只能从低阶到高阶逐阶尝试。由于不同的时间序列模型之间其相关函数具有不同的截尾性质，可据此选择合适的模型，若时间序列自相关函数呈现拖尾性质，偏自相关函数呈现截尾性质，则可选择AR模型，若正好相反，则可选用MA模型。ARMA 模型通常采用赤池信息准则（Akaikeinformation criterion，AIC）、施 瓦 兹 信 息 准 则（Schwarz information criterion，SC）、德 宾-沃 森（Durbin-Watson，DW）统计量等对模型进行整体评估。2工程应用2.1监测数据大桥引桥因桥梁两侧堆土引起桥梁整体水平位移，为监测桥墩位移变化情况，在桥梁两侧桥墩顶部各安装 1套 GPS监测设备，共布设 3对 6套设备，架设1台GNSS信号接收基站，如图1所示。桥墩位移监测数据为 5 min记录 1次，经基站自动上传至服务器保存。GPS记录数据为水平位移：X偏移为南北方向（向北为+，向南为-），Y 偏移为东西方向（向东为+，向北为-），H偏移为锤子垂直方向（向上为+，向下为-），单位均为mm。桥墩位移监测 5 min 记录 1 次，记录时间为2020 年 4-10月。由于监测周期较长，关注的是桥墩长期稳定性，5 min 的数据时间窗太短，周和月度数据量偏少，因此采用以天为单位的监测数据进行时间序列建模。abc图1数据监测：（a）测点平面布置，（b）GPS位移监测设备，（c）信号接收基站Fig.1Monitoring：（a）GPS location，（b）GPS displacementmonitoring equipment，（c）signal receiving base station588第5期将桥墩水平和垂直位移单独分析，水平位移经坐标变换换算成顺桥方向和横向 2个方向。由于该桥墩垂直方向位移较小，水平方向位移主要是顺桥向位移，建模方法相同，以3#测点顺桥向水平位移为对象进行分析。2.2数据统计特征水平位移监测数据幅度最大发生在 2020年 4月 28日，为 13.58 mm（但未超过 5L，其中 L是桥梁跨度，满足规范要求，还是安全的），之后随时间振荡衰减，表现出一定波动性，如图 2所示。由图3可知，位移数据分布偏度为正，峰度接近正态分布，水平位移分布接近白噪声。1412108642水平位移/mm日期2020-042020-052020-062020-072020-082020-092020-10图2桥墩水平位移时间序列Fig.2Time series of horizontal displacement of piers2468101214水平位移/mm2520151050频率样本期 2020/4-2020/9观测值 151均值 5.968 599中值 5.645 300最大 13.577 800最小 2.257 800标准误 1.843 357偏度 0.673 394峰度 3.75 9128JB值 15.037 800P值 0.000 543图3桥墩水平位移分布图Fig.3Distribution diagram of horizontaldisplacement of piers2.3单位根检验时间序列均值不为 0，且呈现振荡衰减特征，对时间序列进行包含常数项的 ADF检验。由表 1可知，ADF统计量显著小于 3个临界标准，序列不存在单位根，即序列是平稳的。2.4ARMA建模计算时间序列滞后60 d相关关系。序列自相关表现为 1-7、10阶滞后相关，之后落入随机区间；偏自相关表现为 1、3、7阶显著，之后落入随机区间。图4展示了自相关和偏相关图。ARMA 模型可以考虑 p13、7，q17、10。经试算，ARMA（1，7）的AIC和SIC较小且更为简洁，是较为合适的模型，其模型参数估计见表2。yt=5.966 674+0.381716yt-1+0.228782t-7+tARMA 模型滞后多项式(B)的倒数根在单位圆内，即序列是平稳的。图 5给出了桥墩水平位移实测数据与模型拟合结果。对残差序列进行2检验，其自相关和偏自相关系数均落入随机区间，表明为随机序列。0102030405060滞后期/d1.00.60.2-0.2自相关系数ba0.30.1-0.1偏自相关系数0102030405060滞后期/d图4（a）自相关图，（b）偏自相关图Fig.4（a）Autocorrelation，（b）partial autocorrelation表2ARMA模型参数估计Tab.2Estimation of ARMA model parameter变量CAR（1）MA（7）2MLR2调整的R2回归标准误F统计量概率（F统计量）AR特征根MA特征根系数5.966 6740.381 7160.228 7822.679 1000.206 3010.190 1031.658 91512.736 280.00.380.73+0.35i-0.51-0.63i标准误差0.289 6560.062 6520.077 4100.251 622因变量均值AIC准则Schwarz统计量D-W统计量0.73-0.35i-0.51+0.63iT统计量20.599 1606.092 6122.955 44510.647 3300.18+0.79i-0.81P值0.00.00.003 60.05.968 63.879 93.959 82.038 80.18-0.79i-0.81表1ADF单位根检验Tab.1Unit root test by ADF检验项ADF检验统计临界值1%置信水平5%置信水平10%置信水平T统计量-7.946 281-3.474 265-2.880 722-2.577 077P值0.0陈刚，等：基于单位根检验和ARMA模型的桥墩位移稳定性时间序列分析589武汉工程大学学报第45卷含常数项的ADF单位根检验表明该监测数据序列没有时间趋势，不存在单位根，是平稳的，ARMA（1，7）模型能够较好地刻画该序列，且滞后多项式的倒数根在单位圆内，也表明序列是有常均值（5.966 67 mm）常方差的平稳序列，即水平位移幅度不会随时间扩散。1412108642水平位移/mm日期2020-042020-052020-062020-072020-082020-092020-10420-2-4残差/mm残差实测ARMA图5桥墩水平位移实测数据与模型拟合结果Fig.5Measured data of horizontal displacement ofpiers and fitting results of model利用该模型对此后 3个月的水平位移进行预测，并与实测数据进行比较，也表明趋于稳定，如图6所示。121086420水平位移/mm日期2020-102020-112020-122020-01实测ARMA图6桥墩水平位移预测效果Fig.6Forecast effects of horizontal displacement of piers3结论桥梁运营期间健康状况的监测和评估是保障桥梁运营期内结构安全的重要手段。通过将时间序列方法应用于桥墩 GPS 监测数据的处理，对桥墩位移的稳定性进行分析。工程实例表明，单位根检验表明序列没有时间趋势，不存在单位根，数据序列为平稳序列，具有常均值和方差；ARMA 模型能够较好地刻画监测数据，且具有较高的可靠性和可行性；根据平稳时间序列模型的特征，可以计算监测数据序列的均值和方差。时间序列方法可作为桥梁健康监测工程数据的处理、分析、预测的有效方法，为桥梁健康评估提供依据，以保证桥梁的安全运营。参考文献1 王守越，刘成龙，张怀阳.运营期跨海大桥桥墩水平位移监测方法研究 J.地理空间信息，2020，18（4）：96-99，117.2 王利宏，章祥，郑永卫.山区高低墩梁式桥墩顶水平位移分析 J.浙江交通职业技术学院学报，2020，21（1）：5-10.3 谷任国，梁建勋.沉管基槽开挖对桥墩侧向位移影响的模型试验 J.科学技术与工程，2020，20（1）：340-347.4 唐浩，孟利波，宋刚，等.基于ARMA 的桥梁监测信息预测技术研究 J.世界桥梁，2015，43（3）：44-48.5 赵炜，屈兵，肖汝诚.基于季节 ARIMA模型的桥梁退化预测分析 J.上海公路，2015（3）：31-35.6 孙树礼，周四思，杜宝军，等.桥墩墩顶横向水平位移限值的研究 J.铁道标准设计，2005（6）：60-62.7 张迅.常用跨度连续梁桥墩顶纵向水平线刚度限值研究 D.成都：西南交通大学，2008.8 蔡邦国，陈伟敏.桥梁墩顶位移限值研究综述及个例分析 J.湖南交通科技，2016，42（2）：182-187.9 韩晓冬，黄磊，于海东，等.ARMA模型在变形监测中的应用 J.北京测绘，2016（2）：113-115，98.10 李修云，黄硕，杨文伟，等.面向桥梁结构状态预测的ARMA-GM组合时序模型研究 J.重庆交通大学学报（自然科学版），2016，35（4）：6-9，24.11 陆萍，王涛，韦跃，等.时间序列模型在桥梁健康监测数据预测中的应用 J.重庆科技学院学报（自然科学版），2018，20（6）：75-79.12 宋福春，段继鹏.基于时序分析的桥梁健康监测数据预测研究 J.北方交通，2019（4）：5-7.13 余加学，张景志.GPS 坐标序列 ARMA 模型在桥梁索塔形变监测中的应用研究 J.甘肃科学学报，2020，32（3）：22-28.14 易丹辉.数据分析与 Eviews应用 M.北京：中国统计出版社，2002.15 TSAY R S.金融时间序列分析 M.潘家柱，译.北京：机械工业出版社，2006.本文编辑：苗变590