立体几何(小题)专题历年高考真题模拟题汇总(解析版).doc

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立体几何
一、年考试大纲
二、新课标全国卷命题分析
三、典型高考试题讲评
2011—年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——11．立体几何

一、考试大纲
1．空间几何体
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).
(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
2．点、直线、平面之间的位置关系
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.
公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理.
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理,并能够证明.
如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
4．空间直角坐标系
(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.
(2)会推导空间两点间的距离公式.

二、新课标全国卷命题分析
立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、线面角以及面面角，要重视常见几何体的三视图、三视图还原几何体的常用方法、面积和体积的计算式以及点线面的位置关系等，也要注意提高空间想象能力与数学计算能力．
立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理，空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、计算能力要求较高．在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，体现了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查.本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查.
1. （2016·新课标Ⅱ，14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.  
（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.)
【答案】②③④ 解析：略.

2. （2018·新课标Ⅱ，9）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解析：法一：由几何关系可知：，，，由余弦定理可知：

解法二：坐标法：由几何关系可知：，点A的坐标为，点的坐标为
，

立体几何(小题）（解析版）
3.(2018·新课标全国Ⅰ卷理7) 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B解析：当路径为线段MN时，长度最短，故最短路径的长度为.

4.(2018·新课标Ⅰ，理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A解析：（直接法）平面符合题意，如图（1）所示，例题中的平面可得面平移

平移后的图象如图（1）所示，六边形为该截面

设，则有
根据对称性可知，延长相交于点
延长相交于点，易证
所以为等边三角形，同理为等边三角形，
所以

当时，．
【解法2】（特殊位置法）由题可知，截面应与正方体体对角线垂直，当平面平移至截面为六边形时，此时六边形的周长恒定不变，所以当截面为正六边形时，面积最大．

5.（2018·新课标Ⅱ，9）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解析：法一：由几何关系可知：，，，由余弦定理可知：

解法二：坐标法：由几何关系可知：，点A的坐标为，点的坐标为
，

解法三：补型法（以右补为例）：由几何关系可知：，，，由余弦定理可得：.

6.（2017·新课标Ⅱ，10）已知直三棱柱中，，，
，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B 解析：解法一：在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑﹑﹑，并相互连接.
由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线和所成的夹角为或其补角，
通过几何关系求得，，，利用余弦定理可求得异面直线
和所成的夹角余弦值为.

解法二：补形通过补形之后可知：或其补角为异面直线和所成的角，通过几何关系可知：
，，，由勾股定理或余弦定理可得异面直线和所成的夹角余弦值为.
解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，，，，，
∴ ，，∴
7.（2016·新课标Ⅰ，11）平面过正方体的顶点，平面，平面 ，平面，则所成角的正弦值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】 A 解析：如图所示：

∵，∴若设平面平面，则
又∵平面∥平面，结合平面平面
∴，故，同理可得：
故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对交线），因此，即．
故选A．

8.（2015·新课标Ⅰ，6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
【答案】 B 解析：，圆锥底面半径，米堆体积，堆放的米约有，选（B）.

9.（2014·新课标Ⅱ，11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90º，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．

【答案】 C 解析：取BC的中点P，连结NP、AP， ∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，∴四边形NMBP为平行四边形，∴BM//PN，∴所求角的余弦值等于∠ANP的余弦值，不妨令BC=CA=CC1=2，则AN=AP=，NP=MB=，
∴ .
【另解】如图建立坐标系，令AC=BC=C1C=2，则A(0, 2, 2)，B(2, 0, 2)，M(1, 1, 0)，N(0, 1, 0)，

10.（2013·新课标Ⅱ，4）已知为异面直线，平面，平面.直线满足，，，，则（ ）
A.α // β且l // α B.且
C.与相交，且交线垂直于 D.与相交，且交线平行于
【答案】 D 解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α. 同理可得l∥β. 又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.
11.（2018·新课标Ⅱ，理16）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的侧面积为_________．
【答案】解析：由面积的关系可知：，由几何关系可知：
侧面积，，侧面积

12.（2017·新课标Ⅲ，）16.，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，
都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所称角的最小值为；
④直线与所称角的最小值为；
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

【答案】② ③ 解析：由题意知，，，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，故，，
边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，
为轴正方向建立空间直角坐标系．则，，
直线的方向单位向量，．点起始坐标为，
直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标，
其中为与的夹角，．
那么在运动过程中的向量，．
设与所成夹角为，则．
故，所以③正确，④错误．
设与所成夹角为，
.
当与夹角为时，即，
．
因为，所以．所以．
因为．所以，此时与夹角为．所以②正确，①错误．故填② ③.

13.（2016·新课标Ⅱ，14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.  
（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.)
【答案】②③④ 解析：略.

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