2015数学科精编练习题(体育).doc

2015年数学精编模拟题（理科）
一、选择题：
1. 复数等于
A. B. C. D.
2. 已知全集，，，则等于
A． B． C． D．
3.已知，则的值为
A. B. C. D.
4．已知命题：若是非零向量，是非零实数，则与方向相反；命题：．则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
5.从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为
A.8 B.10 C. 12 D. 16
6. 图1是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，俯视图中的
曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形．则该几何体的体积等于
A. 28 πcm3 B. 14πcm3 C. 7πcm3 D. 56πcm3
7.函数，则下列结论正确的是 图1
A.函数在其定义域内为增函数且是奇函数B. 函数在其定义域内为增函数且是偶函数
C. 函数在其定义域内为减函数且是奇函数D. 函数在其定义域内为将函数且是偶函数
8.设非空集合同时满足下列两个条件：
①；
②若，则，.则下列结论正确的是
A. 若为奇数，则集合的个数为； B. 若为奇数，则集合的个数为.
C. 若为偶数，则集合的个数为； D. 若为偶数，则集合的个数为；
二、填空题：
9. 已知点A和向量=（2,3），若，则点B的坐标为 .
10.设随机变量服从正态分布,若,则 .
11. 函数在 处取得最小值．
12. 已知方程（是常数）表示曲线C,给出下列命题：
①曲线C不可能为圆；②曲线C不可能为抛物线；
③若曲线C为双曲线，则或；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则.
其中真命题的编号为 .
13．设实数x，y 满足条件，若的最小值为0，则实数的最小值与最大值的和等于 ．
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（极坐标与参数方程选讲选做题）已知两曲线的参数方程分别为 (为参数)和（为参数），则它们的交点坐标为 ．
15. (几何证明选做题)如图2，从圆外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知
，BC=2AB，圆心O到AC的距离为，则点A与圆O上的点的最
短距离为 . 图2
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16. (本小题满分12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为已知，．
（1）求△ABC的面积；
（2）求．
变式1：
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为已知，．
（1）求； （2）求．
变式2：
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为已知向量
，且，，．
（1）求△ABC的面积； （2）求．
17.(本小题满分12分)如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．
（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；
（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为 X ，求 X 的分布列和数学望期．

18. (本小题满分14分)
已知如图1所示的四边形ABCD中，DA⊥AB，点E为
AD中点，AD=EC=2AB=BC=2，现将四边形沿CE翻折，
使得平面CDE与平面ABCE所成的二面角为（），
连结DA，DB，BE得到如图2所示的四棱锥D-ABCE．
（1）证明：平面DAE⊥平面ABCE；
（2）记四棱锥D-ABCE的体积为，当取得最大值时，求DB与平面ABCE所成角的正弦值．
变式1：已知如图1所示的四边形ABCD中，DA⊥AB，
点E为AD中点，AD=EC=2AB=BC=2，现将四
边形沿CE翻折，使得平面CDE⊥平面ABCE，连结
DA，DB，BE得到如图2所示的四棱锥D-ABCE．
（1）证明：平面BDE⊥平面BDC；
（2）已知点F为侧棱DC上的点，若，
求二面角F-BE-D的余弦值．
备选：已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面为正三角形，
为边的中点．
（1）证明：平面；
（2）当取何值时，？
（3）当时，求平面A1C与平面A1CB所成锐二面角的余弦值.
19．（本小题满分14分）已知点，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与
相外切，设动圆的圆心轨迹为曲线T．
（1）求曲线T的方程；
（2）设C、D是曲线T上位于x轴上方的两点，分别过C、D作曲线T的切线，两条切线交于点P，且分别与x轴交于点B、A，AC与BD交于点E，作EF⊥x轴于点F，试探究P、E、F三点是否共线？
变式1：
已知点，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与相外切，设动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以为焦点的椭圆．
（1）求曲线C的方程；
（2）记曲线C与曲线E在第一象限内的交点为P，且，求曲线E的标准方程；
（3）定义：连结椭圆上任意两点所成的线段叫做椭圆的弦．过椭圆E的右焦点作两条互相垂直的弦AB、GH，设AB、GH的中点分别为M、N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由.
20．（本小题满分14分）已知函数，其中为实数且．
（1）当时，根据定义证明函数在上单调递增；
（2）若为常数，函数有三个不同的零点，求的取值范围．
20.备选1：已知数列的首项，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设函数，是函数的导函数，令，试探究数列是否存在最小值项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．
21．(本小题满分14分)已知函数，数列满足， ，记．
（1）求的值；（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对，．
21．备选：已知函数
（1）当时，求函数 f (x)的最小值；
（2）当时，讨论函数 f (x)的零点个数．
参考答案
一、选择题：BCAC BBAD.
解析：8.取n=4验证易得.
二、填空题：9.(5，14)；10. 2；11.；12. ②③④ ；13. ；14.；15.
13. 的最小值为0，等价为与约束区域有交点，
作出不等式组对应的平面区域，如图易得：，
14．两曲线的普通方程分别为，，
由得或（其中不合舍去）由得，
即两曲线的交点为.
三、解答题：
16.解：（1）解法1：由sinA=2sinB，根据正弦定理得，
又∵ ∴ ，
由余弦定理得，
，
∴S△ABC=．
解法2：由sinA=2sinB，根据正弦定理得，
又∵ ∴ ，
∵，∴△ABC为等腰三角形，作底边AC的高BD,D为垂足，则D也是AC的中点，
∴，
∴S△ABC=.
(2) ∵,∴,
∴，∵，∴,∴,
∴,
∴,,
∴．
变式1：（1）∵，由，
（2）∵，∴,∴,
由sinA=2sinB，得，且∵，∴A>B，∴,
∴，
∵sin2A=2sinAcosA=，
cos2A=2cos2A-1=，
∴=...
变式2：（1）由得sinA=2sinB，根据正弦定理得，-----------------①
又得 ------------------------②
∵ ∴，-------------③
由②③联立消去解得，代入②得，----------------④
①④联立解得 ，
由余弦定理得，
∴，
∴S△ABC=．
(2) ∵,∴,
∴，∵，∴,∴,
∴,
∴=.
17.解：（1）由茎叶图知分数在的人数为4，人数为8，人数为10，
故总人数为，
∴分数在[80，100]的人数为：，
∴频率为；
（2）∵分数在的人数为6，分数在的人数为4，
∴X的可能取值为：0,1,2,3
∵,,
,,
∴的分布列为：

0
1
2
3

数学期望.
备选1：解：（1）记表示事件：“取出的2件产品中无次品”，
表示事件：“取出的2件产品中恰有1件是次品”．
则互斥，且，故：
--------4分
即．∵
∴．------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）的可能取值为0，1，2．------------------------------------------------------------7分
若该批产品共100件，则由（1）知其中次品有件，---------------8分
故，-----------------------------------------------------------------9分
，------------------------------------------------------------------10分
．------------------------------------------------------------------11分
所以的分布列为

0
1
2

------12分
18.解：（1）证明：在图1中连结BE，∵AB=AE=1，DA⊥AB，
∴△EAB为等腰直角三角形，
∴BE=，又BC=，CE=2，∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BC⊥BE，∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°，
∴CE⊥AD，
在图2中，∵CE⊥DE，CE⊥AE，DE∩AE=E，
∴EC⊥平面ADE，又EC平面ABCD，
∴平面DAE⊥平面ABCE.
（2）由（1）知∠DEA为平面CDE与平面ABCE
所成的二面角的平面角，即∠DEA=，在平面ADE内过点D作
DO⊥AE于O，∵平面DAE⊥平面ABCE，且平面DAE∩平面ABCE=AE,
∴DO⊥平面ABCE，连结BO，在∠OBD为DB与平面ABCE所成的角，
在Rt△DOE中，DO=sin，，
∴，∵，且在上单调递增，
∴当时，取得最大值，这时△ADE为等边三角形，
∴O为AE的中点，∴DO=,
由（1）易知AB⊥AD，∴DB=, ∴.
变式1：解：（1）证明：在图1中连结BE，∵AB=AE=1，DA⊥AB，
∴△EAB为等腰直角三角形，∴BE=，
又BC=，CE=2，∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BC⊥BE，∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°，
∴CE⊥AD，
在图2中，∵平面CDE⊥平面ABCE，平面CDE∩平面ABCE=CE，
∴DE⊥平面ABCE，∵BC平面ABCE，∴DE⊥BC，
又DE∩BE=E，∴BC⊥平面BDE，又BC平面BCD，
∴平面BDE⊥平面BDC.
(2)由（1）知，图2中AE，EC，DE两两互相垂直，故以点E为
坐标原点，AE所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如右图示，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，1)，
∴,,又得，
∴,设平面BEF的一个法向量为，
由令得，即，
由（1）知为平面BDE的一个法向量，设所求的二面角的大小为，
则.
即二面角F-BE-D的余弦值为.
备选：解：（1）证明：取A1C1的中点D1，连结AD1，D1B1，
∵,∴四边形ADC1D1为平行四边形
∴AD1//DC1
∵AD1平面，DC1平面，
∴AD1//平面BDC1
同理B1D1//平面BDC1 又AD1∩B1D1=D1，
∴平面AB1D1//平面BDC1
∵AB1平面AB1D1，
∴平面.
(2)解法1：设AB=1，AA1=，以点D为坐标原点，AC所
在的直线为x轴，DB所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如
图示，则，，
，，
∴，，
若，则，解得，
即当时，.
解法2：设AB=1，AA1=，若，则，
∴,
即,
∵
∴,解得，
即当时，.
（3）设AB=1，由（2）知，当时，，
∵,
设平面A1BC的一个法向量为，
由，令，得，
即，∵是平面A1AC的法向量，
设平面A1C与平面A1CB所成锐二面角大小为，则.
19.解：（1）设动圆圆心为，
∵在y轴右侧与y轴相切，同时与相外切，
∴，从而，
整理得曲线T的方程为：.
(2)设,
由得当时，，
∴，
∴切线CB的方程为：，即，----------①
切线DA的方程为：,即，---------②
∴B点的坐标为，A点的坐标为，
∴直线AC的方程为：，----------------③
直线BD的方程为：，------------------④
∵点P为切线BC、AD的交点，∴点P的坐标满足方程①、②，
即，，-----⑤
又③④联立消去y得，由⑤得，
∴，即点E的横坐标为，与点P、F的横坐标相同，
∴P、E、F三点共线.
变式1：解：（1）设动圆圆心为，∵在y轴右侧与y轴相切，同时与相外切，
∴，从而，整理得曲线C的方程为：.
（2）由曲线E为椭圆知，，设,依题意得：
解得 于是,
由椭圆的定义得,∴，，
∴曲线E的标准方程为.
(3)由题意知，
①当AB、GH的斜率存在时，设AB的斜率为，则GH的斜率为，
则代入椭圆方程得，
故，，于是，
∵AB⊥GH，∴将点M坐标中的换成，即得点N的坐标为.
当时，，此时，
整理得：，可知直线MN过定点.
当时，易得直线MN的方程为，也过点
②当弦AB或GH的斜率不存在时，易知直线MN为x轴，也过点，
综上得直线MN过定点.
20.解：（1）证明：当时，
设，则

∵∴，，又，
∴，即，∴当时，函数在上单调递增．
（2）函数有三个不同的零点，即方程（）有三个不同的实根．
方程（）等价于：或
记，，
①当时，函数的图象均是开口向上的抛物线，由知在有唯一零点， 故为满足函数有三个零点，函数在应有两个不同零点．
函数在有两个不同零点须满足：．
②当时，函数的图象均是开口向下的抛物线，
由知在有唯一零点，故为满足函数有三个零点，函数在应有两个不同零点．
函数在有两个不同零点须满足：
，
综合①②可得函数有三个不同的零点，．
备选1：解：（1）由得当时，
，两式相减得

∴，即数列是以为首项，公比为3的等比数列
∴，（）
(2)由，得
，
令,
则，作差得，
，故，
即.
则，从而
以下证明对有，即
①当时，该不等式显然成立，
②假设当时，不等式成立，即，
则，即当时，该不等式成立.
即对有，∴对有，即数列是递增数列，
∴数列存在最小值项，该项为数列的首项.
21.解：（1）由，得，．
（2）∵=，

即，所以数列是首项，公比为3的等比数列，
∴．
（3）证明：由（2）知，则，
令
当时，，
当时，，
由此猜想：（）
下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想成立上面已证；
②假设当时，猜想成立，即，则当时，，
这就是说当时，成立，综①②得对，成立．
∵ ∴，成立．
21.备选：解：（1）当时，，则，
当时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
∴当时，函数有最小值，.
(2)∵
①若时，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴，
当时，，函数零点个数为0；
当时，函数零点个数为1.
当时，，且，
又对于任意的,，取自然数，使，即使，则，
∴此时函数零点个数为2.
当时，∵，∴此时函数零点个数为1.
②若，则当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴函数当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，
，；
，
∴此时函数零点个数为1.
③若，则对都有，即函数在上单调递增，
又，，
∴此时函数零点个数为1.
综上所述：当时，函数零点个数为0；
当时，函数零点个数为1；
当时，函数零点个数为2；
当时，函数零点个数为1．
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