《高数专升本讲义》第一至第五章.doc

第一章 函数、极限、连续
首先请允许我做一个自我介绍.我叫周世国，郑州大学数学系副教授，从事大学数学教学研究十三年，从事《高数》专升本教学五年。普通高校的专科生，最大的愿望就是希望通过“专升本”来提高自己的学历层次，弥补因高考的一次失误而不能进入本科层次深造的遗憾。由于全国各专科院校专业设置繁杂，没有统一标准，各省市设置的考试方案各不相同。河南省设置考试两门课程：一门是公共大学英语（150分）；一门是专业基础课程（150分）。《高数》是大学理工类专业的基础课程，也是河南省普通高校“专升本”理工类专业的必考课程。但该课程抽象性强，某些内容对于那些高中阶段数学基础薄弱的学生有一定难度。例如对某些概念理解不透，运算技巧掌握不好等。因此，很多同学都希望通过参加“《高数》专升本”培训班来大力提升自己的数学水平。在这里我恭喜大家明智地选择了耶鲁外语学校08《高数》专升本培训班，因为它是郑州最具实力和盛名的“《高数》专升本”培训班。耶鲁自举办《高数》专升本培训班以来，其学员高数科目100分以上的占到80%，历年来全省高数的最高分都出自耶鲁学员，达到140多分。耶鲁外语为什么能取得如此优异的成绩？我想可从以下两个方面找到原因：
（一） 耶鲁学校有一支教学经验丰富，教学态度认真负责的较为稳定的教师队
伍。这些老师对《高数》专升本考试的考试大纲、每章节重点、难点的分布，题型题量的布局，卷面分值的比例，出题思想及其动态等都了如执掌，做到知己知彼，百战不殆。
（二） 耶鲁诚实办学的品牌效应，使越来越多的同学们毫不犹豫地作出了正确的
选择，并认真地贯彻老师的要求，使自己的《高数》水平有了质的提升。可以这样说：踏进耶鲁们，美梦定成真。老师的最大成就莫过于看到自己的学生有进步。记得去年我教的一个女孩叫梅婷，架着双拐来上课，后来考上了河南中医学院，还特发短信向我报喜。
《高数》专升本考试的题型、题量及考察的知识点，分值的分布相对固定，近几年的考卷具有明显的连续性和强烈的可参考性。下面我就把《高数》专升本大致的情况跟大家做一介绍。
《高数》专升本卷面总分值150分，其中一元《微积分》部分占90分左右，多元《微积分》部分（包括微分方程）占60分左右。出题的形式分为两大块，其中客观题90分，主观题60分。客观题这90分如再细分，包括15道填空题，每空2分，共30分；还有60分，又分为两种情况，要么全出单项选择题，共30个，每个2分；要么出单项选择题25个，每个2分，总计50分，再出是非判断题5个，总计10分。
另外还有60分的主观题部分，题型及分值分布又可细分为三部分。
第一部分：计算题40分，八道小题，每小题5分。
第一道题，求一元函数的极限，基本上考察的都是洛必达法则或等价无穷小替换的计算技巧。
第二道题，一元函数求导数，考察复合函数求导，隐函数求导，对数求导法，参数方程求导等。
第三道题，不定积分，绝大部分考察的是带根式的积分，即考察第二换元法的积分技巧。
第四道题，定积分，主要考察分部积分的技巧。
第五道题，多元函数求偏导数或全微分，重点考察多元的抽象的复合函数求偏导的链式法则或二元函数求全微分。
第六道题，二重积分的计算（有两套系统，重点放在直角坐标系下）
第七道题，幂级数，有两种可能的题型。一种是求幂级数的收敛半径与区间；
另一种是将简单函数展开为幂级数。
第八道题，微分方程，考察的重点是一阶线性非齐次微分方程。
第二部分：应用题14分，共两道小题，每小题7分。
第一道小题，求平面图形的面积或旋转体的体积。
第二道小题，二元函数求极值（绝大部分是经济方面的应用）或一元函数求最值。
第三部分：证明题6分。常见题型有三种：一是利用拉格朗日中值定理或单调性，最值证明函数不等式；第二种是利用定积分的换元积分法证明积分等式；第三种是利用零点定理证明方程有根。
下面详细介绍每章节的分值分布。
一元函数微积分
极限、连续部分，15分左右；
导数及其应用部分，15分左右；
中值定理及其应用部分，25分左右；
不定积分部分，13分左右；
定积分部分，22分左右；
向量代数及空间解析几何部分，6分左右。
多元函数微积分
多元函数微分学部分，20分左右；
二重积分部分，12分左右；
无穷级数部分，10分左右；
微分方程部分，12分左右。
下面详细介绍各章重点考核的知识点
第一章．一元函数极限、连续
1．定义域（有具体函数求定义域，也有抽象函数求定义域）；
2．求函数的表达式；
3．函数的特性（主要考察函数的奇偶性）；
4．反函数；
5．复合函数；
6．函数极限存在的充要条件（即左极限=右极限）；
7．极限的四则运算；
8．夹逼准则；
9．无穷小阶的比较；
10．有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小；
11．两个重要极限；
12．等价无穷小的替换；
13．函数的连续性；
14．函数在定点处的连续性（即既左连续，又右连续）；
15．复合函数的连续性；
16．间断点及其分类；
17．零点定理。
二章 一元函数导数（或微分）
1．导数的定义；
2．导数的几何意义；
3．导数的四则运算法则；
4．反函数求导法则；
5．复合求导法则；
6．简单函数的高阶导数；
7．隐函数求导；
8．对数求导法；
9．幂指函数求导；
10．参数方程求导；
11．一元函数一阶微分形式的不变性。
第三章 中值定理及导数的应用
1．验证罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立；
2．利用拉格朗日中值定理证明不等式（尤其是双向不等式）；
3．利用中值定理证明等式成立（或方程有根）
4．洛必达法则；
5．单调性
6．极值；
7．最值；
8．曲线的凹凸性及拐点；
9．曲线的渐进线（只考察水平渐进线和垂直渐进线，不考察斜渐进线）。
第四章 一元函数积分法
其中不定积分部分
1．原函数的概念；
2．不定积分的两个性质及一个推论；
3．分项积分法；
4．换元积分法；又可细分为凑微分法（重点）与变量代换法（主要是去根号）；
5．分部积分法。
有理函数积分、三角函数积分基本不考。即便考，用前面的方法也可解决。
定积分部分
1．定积分的七大性质；
2．积分上限函数及其导数；
3．定积分的换元法；
4．分部法；
5．对称区间上的定积分的性质；
6．无穷区间上的广义积分；
7．平面图形的面积及旋转体的体积。
第五章 向量代数与空间解析几何
1．向量的数量积与向量积；
2．向量的相交（这时要求夹角）、平行、垂直的判定方法；
3．两向量向量积的模的几何意义；
4．空间直线与平面之间的位置关系；
5．旋转曲面的方程特征；
6．简单的二次曲面（只要求掌握柱面，球面，锥面及旋转曲面，复杂的不要求）。
第六章．多元函数微分法
1．二元函数极限、连续；
2．偏导数；
3．具体函数的二阶偏导数；
4．全微分（包括具体函数求全微分与抽象函数求全微分）；
5．隐函数求偏导；
6．二元函数连续、偏导、可微及偏导连续之间的关系；
7．二元函数的极值及一些条件极值。
第七章 二重积分
1．二重积分的七大性质；（重点考察的面积和比较积分大小）；
2．二重积分交换积分次序；
3．二重积分在两种坐标系下的计算方法；
4．二重积分在两种坐标系下的转换；
5．利用二重积分求平面图形的质量；
6．利用代入法计算第二型曲线积分。
第八章 无穷级数
1．无穷级数的五大性质；
2．级数收敛的必要条件；
3．正项级数的五大审敛法；
4．交错级数及其莱布尼兹判别法；
5．任意项级数的绝对收敛及条件收敛（必考）；
6．幂级数的收敛区间及收敛半径；
7．简单幂级数的和函数；
8．将函数展开成幂级数。
第九章 微分方程
1．微分方程的基本概念（解、通解、特解等）；
2．一阶微分方程（包括可分离的、齐次、一阶线性非齐次微分方程（重点））；
3．可降阶的二阶微分方程（了解即可）；
4．二阶线性微分方程的解的结构；
5．二阶线性常系数齐次微分方程的通解
6．反解微分方程（给出其通解或特解，反求方程是什么，有点难，到时举个例子就明白了）；
7．二阶线性常系数齐次微分方程的特解形式（往往不要求定出其中的系数）。
刚才我们把《高数》专升本考试的基本题型，各章节分数比例，及各章节要求掌握的知识点都作了大致的总结，希望同学们在下面学习时应严格按照我说的知识点去作题。这里我要特别强调一下，在《高数》专升本考生中有几个误区需要澄清：
第一个误区是：有些同学把《高数》专升本考试想象得过于困难，觉得只有大量作题，大搞题海战术，拿出二次高考的劲头才能取得好成绩。其实《高数》专升本考试的难度并不大，还达不到普通本科学期考试水平。况其题型题量相对固定，规律性很强，只要路子对头，真学实干，有针对性的训练，一定可以取得不错的成绩。我们郑州大学软件学院的专升本通过率甚至每年都达到了95%。我在这里说句大话，只要大家紧密团结在我的周围，严格贯彻我的要求，你们根本不用再看其他任何别的参考书，只把本书中的例题看完，课后的习题做完，再演练书后的几套模拟题，真正作到心领神会，我保守地说，考个120分不成问题，就凭这一门成绩就能专升本。每年《高数》专升本的最高分都出自咱们耶鲁的学员，有140多分。我对自己很有信心，你们对自己更要有信心。
第二个误区是：有些同学对老师有不切实际的想法，完全把升本的希望放在这次培训班上，放松个人努力。自己连课本中的基本概念、主要定理及常用公式都没记住，就来听课，还指望听哪儿会哪儿。巴不得老师讲的每道题都是考试的原题，最好把考试的原卷透露给大家。这里我强调一下，我们这个培训班只是一个催化剂和推进剂，虽然参加后提升成绩的效果确实显著，但这也离不开大家自己的努力，而且主要还得靠大家努力。因此，我希望来听课的同学能做到课前预习，课后复习，切实按我的要求来。本培训班的计划学时只有36个，而正常进度下学完《微积分》至少需130个学时；况且很多同学没学过后几章。因此，我们授课时主要是针对考点训练作题，基本概念及定理如非特别复杂，堂上一般不提。我讲课时各章节安排的顺序及所用记号与同济大学版《高数》相同。
下面我们开始正式讲解.

第一章 函数 极限 连续
一．求函数的定义域
具体函数求定义域的例子就不举了.
例1.设求
（1）的定义域；
（2）的定义域；
（3）的定义域。
解：（1）（2）（3）
练习．设的定义域为，求的定义域.
要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则.
例2．判断下列两组函数是否是同一函数：

二．求函数的表达式
例3．设求.
解：此种题型的常规解法是设元法，即令反解得到再代入原式，得，再将的记号全换为但此法只适用于简单函数，要学会直接凑成的方法.
因为,所以，
例4．设求
解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式。至少要记住两个倍角公式和三个“1”公式。
因为
所以，
例5．设 求.
解：首先把作整体看待

三．关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别）
例6．设在上有定义，证明：
为偶；而为奇.
要记清两个知识点：（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称；如没有指明定义域，则默认为比如：就是非奇非偶函数；
（2）奇偶函数的图形特征.
结论：，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形式.
例7．设时，且在内为奇函数，求.
解：由于在内为奇函数，
所以，，
又当时，
所以，
关于周期函数，请大家记住一个结论。下面以例题的形式给出：
例8．设是定义在内的以为最小正周期的周期函数，证明：函数是以为最小正周期的周期函数.
证明：（一）首先证明是函数的周期.
事实上，设.(1)
因为
所以，是函数的周期.
（二）证明是函数的最小正周期.（反证法）
假设存在使得对于定义域中的任意有
（2）
则对于任意的实数有
这说明也是的周期，但，这与是的最小正周期相矛盾.
例9．的最小正周期为
由周期函数的定义，容易知道有下面的结论：
设分别是以为周期的函数，且为有理数，则
是以的最小公倍数为周期的函数.
例9．证明非周期函数.
证明：（反证）设是以为周期的函数.
则
即
上式中，分别令，得
，得到矛盾.
四．反函数
反函数也是个常常考察的知识点，一般是以填空题或单项选择题的形式命题.没必要举例，只提醒大家注意两点：反函数的定义域是原函数的值域；反函数的图形与原函数的图形关于直线对称.
五．复合函数
两种常见题型：一是将简单函数复合成一个复杂函数，这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空；二是将复杂函数分解简单函数（大部分是基本初等函数).要求大家下去把书中第4—6页表中简单初等函数及其特性搞熟.
例10．下列函数是否可以复合？
（1）（可以）
（2）（不可以）
例11．将函数分解.
六．函数的极限（包括数列的极限）
数列的极限部分只要求：1.给出，能观察出是否存在？（精确的数学定义不作要求）；2.数列极限的三个性质（经常出判断题）；3.数列的四则运算法则.4.夹逼准则；5.单调有界原理.
记住几个常用的公式：

例11．求.
解：从表面上看，是两数列差的极限，但不能直接用四则运算法则.为什么？请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项.
原式=
例12．求
例13．求
例14．
例15．求
解：此题宜用夹逼准则.
因为 ，且
故.
注意：夹逼准则的两大功能“夹”与“逼”,要通过放大或缩小不等式来实现.要拿捏适当很不容易.比如上题，如用
来夹逼就达不到目的了.
例16．求
解：因为 ，且
故.
注意：一般地，
下面举几个利用单调有界原理求极限的例子.
例17．证明数列有极限.
证明：记
（一）由均值不等式
对于任意的有
即，
故单增.
（二）不妨设此时，有

故，故有上界，因此数列有极限.
注意：今后记
例18．证明：数列收敛，其中

证明：（一）.，即有下界.
（二）.由
即单减.
所以，由原理知，收敛.
（三）.设，则因为
所以，两边取极限，有：
.
又由收敛数列的保号性知：.
下面讲函数的极限.第一个经常考的考点是函数极限存在的条件，即定理

例19．设求.
解：因为所以，不存在..
如把此题稍加变形，则结论变为.
注意：函数在点处有无极限，与其在点处有无定义无关.
例20．求（不存在，左极限-2，右极限2）.
例21．求（不存在，左极限0，右极限）.
请大家记住一个结论，以例题形式给出：
例22．设为常数，也可以为0），且则

证明：
例23．设求的值.
解：由于所以， （1）
故
所以，
例24．求.
例25．求.
书上有一个重要的结论要大家记住，也是一个考点，经常会以填空或选择的形式出现.

例26．设，满足
（1）求的值.
下面举几个例子说明常见的函数求极限技巧.
例27．求；（比喻：以毒攻毒法）
例28．求；
例29．求；
例30．求
函数极限也有个夹逼准则.
例31．求
例32．
证明：因为为偶函数，故只须证明：.
事实上，不妨设，则.
两边同除以得：.
又因为.
所以，由由夹逼准则知，，
所以 .
下面讲无穷小与无穷大（定义自己去看），注意：离开了具体的极限过程，就无法定义无穷小（大）.如，当时是无穷小；当时是无穷大.经常考的知识点是两个无穷小的比较（三种结果），这个知识点每年必考，下去自己看参考书.另一个需要掌握的知识点是无穷小与无穷大的关系定理.
例27．证明：
还有一个重要的结论：有界变量乘以无穷小量还是无穷小.如

这四个结论肯定都不能直接用商的极限法则来运算.
在所有极限结果中，有两种极限特别重要，称它们为两种重要极限，需要单独拿来讲.
第一种：
特点：（1）属于型；（2）
例：下列结论中哪些成立？
（1）（2）（3）
（4）
例28．；
例29．；
例30．；
例31．；
例32．；
例33．.
第二种：
或.
特点：（1）属于型；（2）
例33．；
例34．；
例35．设求常数（）
例36．；
例37．；
例38．.
大家注意到，刚才我们讨论两个重要极限时，大部分极限形式都是型，即求两个无穷小商的极限.事实上，微积分中值得关注的极限形式只有两种：型或
型，其他类型都可一眼看出答案。而型可以转化为型.因此，大家要高度重视这种型的求极限技巧，其中最重要的有两个：一个利用是等价无穷小的替换；另一个是利用著名的洛必达法则.我们先讲等价无穷小的替换法 .为此，先回顾以下结论.
定理：设是同一极限过程中（设为）的四个无穷小，，且有存在（或为），则也存在（或为），并且=.
今后作题时请大家记住下面八对常用的等价小)
（1）sinx~x;(sinmx~mx);（2）tanx~x;(tanmx~mx);
（3）arcsinx~x; （4）arctanx~x;
（5）; （6）;
（7）1-cosx~; （8）.
例39．求；
例40．求
例41．求
解法一：
解法二：
解法二是对的而解法一是错误的，为何？请大家自己思考：
.
练习：1.求2. 求；3.求.
4.求
七．函数的连续性
首先要记住两个重要结论：
1．一切基本初等函数在其定义域内都是连续的；
2．一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连续的.
一个最常见的考点是考察分段函数在其分段点处的连续性，这时要用到一个命题：
在点处连续在点处既左连续又，右连续.
例42．设函数在内连续，求常数
解：分析：当时，为初等函数，则当时，为连续函数；当时，为初等函数，则当时，为连续函数；当时，为初等函数，则当时，为连续函数。故要使得在内连续，只须保证在及处也连续.
因为
故只有当，即时，在处也连续.
又因为
故只有当，即时，在处也连续.
关于复合函数的连续性，有下述命题：
定理：为复合函数，其中存在，且也存在，则

上述定理为求函数极限时做变量替换提供了理论依据.
例如：
推论：为复合函数，其中且在处连续，则
，即
例43．求.
解：令。因存在。且函数在处连续，故
当点非连续点时，往往是间断点。关于间断点的分类是必考的考点.
先一块回顾一下间断点及其分类标准。
例44．求函数的间断点，并指出其类型。
解：函数的定义域是.而在上是初等函数，所以连续.故函数的间断点是（第二类的无穷型间断点）；（第一类的可去型间断点）；（第二类的无穷型间断点）.
例45．函数的连续性.
在所有连续函数类中，闭区间上的连续函数是最重要的，因为它有几个良好的性质，如：最值定理；有界性；介值定理（其推论是零点定理或根值定理）.考得最多是零点定理.
例46．证明方程至少有一个小于1的正根。
证明：设，在上连续，又
由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点，使从而方程至少有一个小于1的正根.
思考题：1.证明方程在1与2之间至少有一个实根.
2．证明方程恰好有三个实根。（提示：令.先证明在各区间内各有一个实根，说明方程至少有三个实根。；再证明方程最多有三个实根，理由是为三次代数方程，至多只能有三个实根.
第二章 一元函数微分学
一．与导数的定义有关的考点
先回顾导数的定义：
设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．
注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：
1．=；
2．；
要特别关注处的导数有特殊形式：
（更特别地，
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.
例1．已知=A，试求下列极限的值
（1）
（2）。
例2．研究函数在处的可导性.
解：因为
同理，可求得.
由于，所以在处不可导。（记住这个结论）
练习：设在处可导，求的值.
解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.
所以，即
（二）

由得.
例3． 已知，试求在处的导数.
解：因为，所以，
由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.
如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.
二．导数的几何意义
关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。一种题型是选择题或判断题。比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；
反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.
另一种题型是根据几何意义找切线.
例4．求曲线与直线垂直的切线.
解：设切点.
切线斜率 由题意，即
故切线方程为
下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.
例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。（08年研究生考试题）
解：由于，且
故（前面已讲过理由）
而，
所以，切线方程为
三．导数的四则运算
四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。下面举几个小例子.
例6．求的导数.
注意：部分同学可能会犯下面的错误：.
例7．设求
此题应先化简再求导：
注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.
例8．求的导数.
解：
.
四．反函数求导法则
若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且
.
例9．求的导数.
解：设原函数，则其反函数为.
根据反函数求导法则.有
.
五．复合求导法则
大家可能还有印象，复合函数的导数是
.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）
如 果记，则
，
故此题恰好满足等式：
（*）
这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.
定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且
或 （或.
注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：
对函数，如记，
则各变量间的关系是：
有
上式可通过连续使用两次链式法则得到。大家不难将上式的结果再推广可得复合四次以上的情形下的链式法则.不过，一般只会遇到复合三次以下的情形.
例10．求的导数
解：记，则.由链式法则，有
.
注意：（1）上述解法的结果无疑是对的，因为它与前面我们用四则求导法则得到的结果完全一致；但上述解法中有个别地方记号不对，谁能指出来？
（2）正确写法是：
.
（3）大家注意到倒数第二步还有一个将中间变量的记号用x的函数进行回代的过程，也就是说，最后的结果中不再含有中间变量的记号u，请大家作题时不要忘记回代;
(4) 显然中间变量的记号可以任意，比如：例1中，将u的记号换记为v，不会改变最后的结果。
例11．求的导数.
解：记，则.

例12．求的导数.
解：先将分解为基本初等函数，即
.
注意：既然最后的结果与中间变量的记号并无关系，聪明的同学肯定会提出一个想法：能不能不明确地写出中间变量的记号，这样，可省去烦琐的中间变量的回代过程.
例13．（重做例3）
解：
注意：（1）这种写法的核心是：无论再复杂的函数，每次都将它视为只复合了一
次，这样可去掉第一层，然后依次去掉第二层，…只至去掉最后一层。打个形
象的比喻，就相当于一个人穿了好几件衣服，我既可以一次全脱下；也可以一件
一件地脱.一次脱完就相当于原始写法；一件一件地脱则相当于新写法.
（2）这种写法还有一个好处，即不易犯记号错误.
（3）暂时我允许同学们在做作业时，两种写法任选一种；下周以后，只允
许用第二种写法.
（4）有一种比较难的题，复合与四则运算交错在一起，写的过程中易犯错误。
例14．求的导数.
解：对付这种题我有一句口诀：逢山修路，遇水搭桥，即每次只解决当前的问题类型.
=.
例15．求的导数.
解：

练习：1.求的导数.:
2．求.
3 求的导数.
例16．设在处可导，试确定常数的值.
解：因为在处可导，从而在处也连续.但
故.
再由于在处可导，则
又所以，.
例17．设求
解：
例18．设求（考研题）.
解：由于
所以，
故
注意；关于反函数的几个求导公式，个别同学容易搞错.
在复合函数求导中要特别注意抽象的复合函数求导，容易犯记号错误.
例19．设，其中可导），求
解：

请注意：记号的区别.
例20．设其中可导，求
解：

有些同学最容易漏掉小尾巴.
例21．设求
解：

所以，
六．简单函数的高阶导数
由高阶导数的定义可知，计算具体函数的n阶导数就是按求导法则和导数公
式逐阶求下去，最后归纳出n阶导数的一般形式.没有捷径可走.
例22．，求.
例23．，求.
例24．，求。特别地，.
例25．，求.
类似，，求.
例26．，求.
例27．，求.
例28.（1），求.
注意：做题的过程中不要整理，合并，以便于归纳出一般规律.
练习：（1）.，
求
（2），
求
注意：此法称拆项法，请同学们试做，求下面再讲一个稍微再提高点的题.
例29.设其中在的某个邻域内具有一阶连续导
数，且求
解：（一）估计大部分同学都能作出第一步
（1）
（二）估计接下来有些同学会继续求导，得到然后代入求得
但此法是错误的，因为题目未能保证在的某个邻域内也存在。正确解法是：

当遇到两函数的积函数求高阶导时，有一个著名的莱布尼兹公式：

例30．，求.
例31．，求.
解：。-------------（1）
由莱布尼兹公式，得（ （1）式两边同时求n-1阶导数）
------------------（2）
将代入（2）式，得

-------------------------------（3）
又.
故由（3）式递推可得：
例32．已知具有任意阶导数，且，求
证明：因为，
所以 ，
，
归纳可得：.
我们说，最难求的还是抽象的复合函数的高阶导数.
例33．，求.
解：

注意：请同学们注意记号与的区别.
七．隐函数求导
隐函数其实利用的是复合函数的求导法则。求导技巧就是一句话：方程两边同时求导.
例34.设确定了一个隐函数，求.
解：（一）方程两边对自变量求导，有
------------（1）
所以，---------------------------------------------（2）
由（1）式，有
------------------------------------（3）
（3）式两边对再求导，得：
----------（4）
将（2）式代入（4）式，有：

注意：（1）欲求，必要用到的结果；
（2）也可通过对（1）式两边再求导的方法得到；
（3）请大家考虑以下：从上题如何求？
练习：.设确定了一个隐函数，求.
例35．设曲线由方程 （1）所确定，求该曲线在的切线方程.
解：当时，代入（1），得：
（1）式两边对求导，得：
（2）
这里告诉大家一个小技巧，一般同学做到这里，往往又（2）式整理出的表达式，再求其实不如直接把，代入（2），得：
再多讲也没有什么意思，主要是要掌握方法.下面介绍对数求导法.请大家先回忆一下此法主要是解决什么求导问题，一类是幂函数；二类。多因子连乘积的乘方，开方运算.
例36.求的导数.
解：
对上式两边关于求导，得：

例37.求的导数。（
解：.
对上式两边关于求导，得：
.
八.参数方程求导
参数方程求导利用的也是复合函数的求导法则：
一般地，设，如果在可导，且，则.

例38.求摆线在处的切线方程.
解：，所以，，
又，时，，
所以，切点为，因此，
切线方程为：.
例39.设求
解：参数方程求导，考试时一定是求到二阶导。因为一阶导太简单.

一般同学求一阶导都不会犯错误，但在求二阶导时，可能会犯错误.
例40.设由方程所确定，求该曲线在处的切线方程.
解：当时，即，所以，或（舍）。此时，
又
故 所以，切线为：

九．一元函数的微分
先简单回顾一下微分的概念：若函数在处的增量可表示为，其中是与无关的常数，则称函数在处可微分，并称为在处的微分，记作，或者.
要清楚可微与可导及连续这三个重要概念间间的关系，即
函数在可微函数在可导，且；
如果在区间I上每一点处都可微，则称为区间I上的可微函数，在区间I上的微分记作：--------（2）
例41．，计算在时的。
解：，
。
所以，

注意：此例中，若用，则由此产生的误差是：
例42．，求
解：.
注意：（1）由例2可见，自变量的微分等于自变量的增量，即。（之所以如此，是因为本身就是线性函数.）
（2）故.
（3）由上式，两边同除以由可得到：，因此导数就是微分之商，这其实也正是计算函数导数的一种常用方法。一会儿举一个这方面的例子.
（4）今后，在计算函数的微分时，为美观起见，建议大家用来表示.
微分的四则运算法则与求导的四则运算法则类似，这里就不回顾了.
例43．求的微分
解一：
解二：.
但关于复合函数的求微分，却有不同于复合求导的表现，有一个重要结论，即
一元复合函数一阶微分形式的不变性.
定理：设都可微，则（其中）
注意：定理说明，无论是普通函数，还是复合函数，都有.
例44.求的微分
解一：.

解二：，
例45.求由方程所确定的隐函数的导数.
解一：对方程两边取微分：
.
解二：对方程两边求导：
2。
例46.求所确定的.
解：
十．相关变化率（不讲）
设，即与都是第三变量的函数，因此它们的变化率
与间也存在一定的联系，这两种互相联系的变化率称为相关变化率.常需要从已知的一个变化率去求另一个相关变化率.
例37.溶液自水深18厘米，顶直径12厘米的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10厘米的圆柱形筒中.开始时漏斗中盛满溶液。已知当溶液在漏斗中深为12厘米时，其表面下降的速率为每分钟1厘米，问：此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？
解：设时刻漏斗中水深，液面半径，筒中水深.（作图）
则
设盛满溶液时漏斗体积为
则
上式两边同时关于求导，得：
，
所以，，代入
所以，.

第三章 中值定理及导数的应用
一．验证罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立
要牢记三个中值定理成立的条件及其结论。关于这个知识点，往往会出验证题
例1．验证：在上满足拉氏定理的条件，并求出定理结论中的点.
解：（一）1.由，知在处连续，从而在
上连续；
2.按左、右导数的定义不难求出从而在内
可导，且
因此，在上满足拉氏定理的条件.
（二）由拉氏定理的结论：，使
.不难算得：或.
注意：中值定理中结论只保证中间值的存在性，至于是否唯一，不唯一时有几个，如何求？定理本身并未指出.
二．利用拉格朗日中值定理证明不等式（尤其是双向不等式）
利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般方法是；先根据所要证明的不等式的特点作一辅助函数，并恰当选择相应的闭区间；然后利用拉格朗日中值定理，得到一个含中值的等式，最后适当放大或缩小不等式即可.
例2.证明：对.
证明：设，则.在上由拉氏定理知，

即：. ()
例3.证明：对.
例4．证明：对.
大家自己证明，这两个结论要记住.
三．利用中值定理证明等式成立（或方程有无根）
例5．设在上连续，在内可导，且证明：使
证明：（分析 寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析。命题只须证，使
，或者.
故令。显然，且在上连续，在内可导，从而由罗尔定理知，，使
例6．设，证明方程有三个实根，并且它们分别位于区间（见书第105页）
例7．证明方程只有一个正根.(反证).
拉氏定理有两个重要的的推论，也要会记会用.
推论1：若对任意，则
例8.证明：.
证明：设，
则， ，
所以，由推论1，
推论2:若对于，则.
四．洛必达法则
我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是型，要么是。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则——洛必达法则，可用一招统一解决大部分的或的极限问题。
现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论：
第一种：型的洛必达法则
设函数满足：
（1）；
（2）在的某个去心邻域内，都存在；
（3）存在（或为）.
则，存在（或为）.
第二种．型的洛必达法则
设函数满足：
（1）；
（2）在的某个去心邻域内，都存在，；
（3）存在（或为）.
例1． 求
例2． 求
越来越麻烦，说明洛必达法则虽在大多数情况下可简化运算，但有时它可能并不是最简单的做法。如能采用其他方法先行简化欲求极限的函数，再使用洛必达法则，则效果可能会更好！
例3.的另一种作法：；
例4．求；
例5．求；
例6．；
例7．求；
例8．求；
例9．求.
对于不直接表现为型或型的不定型，要首先合理转化，使其成为型或型，然后在利用洛必达法则来算.
例10．（型）求.
例11．（型）求.
例12．（型）求.
例13．(型)求.
注意：（1）若不存在（并且也不是），则不能说也不存在.比如：存在；但不存在.
（2）法则不是万能的，也有失效的时候.比如：
形成循环，永远也得不到结果.
用洛必达法则时最好作一步，就及时检查一步，看是否划得来.另外，如果在用洛必达法则时，还可以同时再结合其他的求极限方法，效果可能会更好.总之，我们的方针是：“百花齐放、百家争鸣”.
例14．讨论函数在处的连续性.
解：；
令，则.

所以，.
因为，，所以，在处