高考数学线性规划直线与圆怎么考(高考二轮复习专题).doc

高考数学线性规划直线与圆怎么考
主干知识整合：
本节以直线方程的确定和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系为重点考查内容.新高考还增加了线性规划知识点的考查.2008年几乎每省份都有一道线性规划的客观试题.但作为2009年的高考,除上述仍为热点外,还须重视线性规划在解决生产、生活中应用题中的工具性.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
主要考点为：
1. 直线的倾斜角与斜率，直线方程的点斜式和两点式及一般式。两直线平行与垂直的条件。两直线的夹角。点到直线的距离。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
2. 简单的线性规划问题。
3. 曲线与方程的概念。由已知条件列出曲线方程。
4. 圆的标准方程和一般方程。圆的参数方程。
经典真题感悟：
1.（全国一10）若直线通过点，则（ D ）
A． B．C． D．
2.（山东卷12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是C残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
3.（湖北卷9）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有C
A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
热点考点探究：
考点一：直线的斜率与倾斜角，直线方程的探求
例1.已知点A(1,2x)、B(2,x2-3),试讨论：实数x为何值时，过A、B两点的直线的倾斜角为0°、锐角、钝角？酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
解：过A、B两点的直线的斜率为k==x2-2x-3.
倾斜角为0°时，k=x2-2x-3=0，解得x=3或-1；倾斜角为锐角时，k=x2-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1；倾斜角为钝角时，k=x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
综上，x=3或-1时，过A、B两点的直线的倾斜角为0°；x＞3或x＜-1时，过A、B两点的直线的倾斜角为锐角；-1＜x＜3时，过A、B两点的直线的倾斜角为钝角.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。

例2 已知两圆⊙和⊙都经过点A(2,－1),则同时经过点(D1,E1)和点(D2,E2)的直线方程为( )厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
A. B.
C. D.
解析】选A.
将点A(2,－1)代入方程得,即直线过点(D1,E1)和点(D2,E2).
【点评】上述求直线方程运用了”设而不求”,这是解析几何中一种十分重要的解法.

考点二：直线与圆的位置关系
例3. 将圆按向量平移后得⊙O,直线与⊙O相交于A、B两点,若⊙O在上存在一点C,使,求直线的方程及对应的点C的坐标.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
【解析】将圆化为标准方程为
按向量平移后得⊙O方程为.
∵,且,

,设直线的方程为
由
将(1)代入(2),整理得,设,则
因为点C在圆上,故
,解之得,此时(*)式.
所求的直线的方程为,对应C点坐标为(－1,2),或直线方程为,相应C点坐标为(1,－2).
【点评】本题解答的关键是对条件的解读,即由与,可推理出,而,近两年新高考中把解析几何与向量综合起来,解答时准确读向量的条件往往是破题的关键.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。

考点三：线性规划
例4. (1)在平面直角坐标系中,对于点(),满足: ,目标函数,那么满足的解 ()有 ( )籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
A. 0个 B. 1个 C.2个 D. 无数个
(2)已知实数系数方程的两个实根分别为,且,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】(1)选B
据已知可得关于的约束条件为
或,故可行域如图:
由于
故使得即为使得
即使得可行域内的点与点连线的斜率为－2,易知过且斜率为－2的直线与可行域只有一个交点,故解的个数也只有1个.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
(2)选A.
设,由已知有

∵表示如图中区域点与原点连线的斜率,故可求得.

考点四：求圆的方程
例5.（江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为.
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

规律总结
1. 出现含参数的直线或圆的方程为条件时,要从方程形式的代数特征入手,挖掘参数的几何特征,尤其对讨论位置关系问题,把握好参数几何特征,结合几何图形的背景可大大简化计算.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
2. 圆的方程呈现多种形式,一般方程、参数方程及标准方程,它们分别显现不同的代数特征和三角特征.我们运用圆方程时,恰当选择,可以方便求方程或讨论圆的性质.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
3.线性规划是概念性极强的内容:可行域实质上是约束条件的交集;可行解是可行域内的点的坐标;而最优解是可行域内的极限点,最后还要优中选优(尤其对与线性规划相关的应用问题求解更应注意这一点).贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。

专题能力训练：
一． 选择题：
1、若是直线的倾斜角，则sin(45º-)的值属于 D
A B[-,] C(-1, ) D[-1, ]
2、两条直线ax+y-4=与x-y-2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是 （ A ）坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
A -1<a<2 B a>-1 C a<2 D　a<-1或a>2
3、曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是 C
A、y2=8－4x B、y2=4x－8 C、y2=16－4x D、y2=4x －16
4、是的__C____条件
A、充分不必要条件 B、充要条件
C 必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
5、方程所表示的曲线是 D
A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆

二． 填空题：
6．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围

成图形面积的取值范围是 ．

7．设有一组圆．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交
Ｄ．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 BD ．（写出所有真命题的代号）

三． 解答题：
8．设有半径为3的圆形村落，、两人同时从村落中心出发，向北直行，先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与相遇.设、两人速度一定，其速度比为，问两人在何处相遇？蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。

9．已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两个圆都外切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点的直线与（1）中所求轨迹有两个交点、，求的取值范围.

10．在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定、两点，在轴正半轴上求一点，使取得最大值．

A
M
P
N
B
O
y
x
11．如图，已知：射线为，射线为，动点在的内部，于，于，四边形的面积恰为.
（1） 当为定值时，动点的纵坐标是横坐
标的函数，求这个函数的解析式；
（2）根据的取值范围，确定的定义域.

O
P
Q
R
x
y
8. 解：如图建立平面直角坐标系，由题意
可设A、B两人速度分别为3v千米/小时 ，
v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变
方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.
则P、Q两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.
由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，………………3分
（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,
即.
……①………………6分
将①代入……………8分
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置.
设直线相切，
则有……………………11分
答：A、B相遇点在离村中心正北千米处………………12分
9解：（1）∵|PM1|-5=|PM2|-1，∴|PM1| - |PM2|=4
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支。
c=4，a=2，b2=12，
故所求轨迹方程为－=1（x≥2）。 …………4分
（2）当过M2的直线倾斜角不等于时，设其斜率为k，
直线方程为 y=k(x-4)
与双曲线 3x2-y2-12=0联立，消去y化简得
(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 …………6分
又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0
由解得 k2>3。…………8分
由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有|AM1|·|BM1|=e|x1+1|·e|x2+1|=4[x1x2+(x1+x2)+1]買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
=4(++1)=100+ …………10分
∵k2-3>0，∴|AM1|×|BM1|>100
又当直线倾斜角等于时，A(4，y1)，B(4，y2)，|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10
|AM1|·|BM1|=100 故 |AM1|·|BM1|≥100。…………12分
10．解：设，再设、B（0，b）、C（x，0）．
y
x
O
M
N

图2
A
B
O
C
y
x

图1
则 ． …………3分綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。

．…………10分
当且仅当∵∴有最大值,最大值为，
∴ 在内为增函数．
∴ 角α的最大值为．此时C点的做标为…………12分
11. 解：（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。
则|OM|=a，|ON|=b。
由动点P在∠AOx的内部，得0<y<kx。
∴|PM|==，|PN |==
∴S四边形ONPM=S△ONP+S△OPM=（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k ①
又由kPM= -=， kPN==，
分别解得，，代入①式消a、b，并化简得x2-y2=k2+1。
∵y>0，∴
（2）由0<y<kx，得 0<<kx
(*)
当k=1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)x>。
当0<k<1时，由不等式②得，，∴(*)。
当k>1时，由不等式②得，且，∴(*)
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：，将它代入函数解析式，得驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
解得 (k>1)，或x∈k（0<k≤1）.
综上：当k=1时，定义域为{x|x>}；
当0<k<1时，定义域为{x|};
当k>1时，定义域为{x|}.

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