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(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率知识点梳理（精选试题附答案）高中数学第十章概率知识点梳理 单选题 1、某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（）A124B1124C23D34 答案：D 分析：利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解 解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为=1 (1 12)(1 13)(1 14)=34，故选：D.2、若()=19，()=23，()=13，则事件与的关系是（）A事件与互斥 B事件与对立 C事件与相互独立 D事件与既互斥又相互独立 答案：C 分析：结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.()=1 ()=1 23=13，()=()()=19 0，事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C 3、10 张奖券中有 4 张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（）A35B23C34D415 答案：B 分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10 张奖券中有 4 张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有 9 张奖券，其中 3 张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率=69=23.故选：B.4、等可能地从集合1,2,3的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（）A78B34C1516D14 答案：B 分析：写出集合1,2,3的所有子集，再利用古典概率公式计算作答.集合1,2,3的所有子集有：,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3，共 8 个，它们等可能，选到非空真子集的事件A有：1,2,3,1,2,1,3,2,3，共 6 个，所以选到非空真子集的概率为()=68=34.故选：B 5、从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A至少有一个黑球与都是黑球 B至少有一个黑球与至少有一个红球 C恰有一个黑球与恰有两个黑球 D至少有一个黑球与都是红球 答案：C 分析：根据互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.对于 A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，A 不正确；对于 B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B 不正确；对于 C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，C 正确；对于 D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，D 不正确.故选：C 6、高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则=（）A320B110C115D15 答案：B 分析：利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程，联立求解即得.依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则 (1 14)+14(1 )+14(1 )=15，整理得+=45，又三个社团都进不了的概率为310，则(1 )(1 )(1 14)=310，整理得+=35，联立+=45与+=35，解得=110，所以=110.故选：B 7、打靶3次，事件表示“击中发”，其中=0、1、2、3.那么=1 2 3表示（）A全部击中 B至少击中1发 C至少击中2发 D以上均不正确 答案：B 分析：利用并事件的定义可得出结论.=1 2 3所表示的含义是1、2、3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选：B.8、某种心脏手术，成功率为 0.6，现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生 09 之间取整数值的随机数，由于成功率是 0.6，我们用 0，1，2，3 表示手术不成功，4，5，6，7，8，9 表示手术成功；再以每 3 个随机数为一组，作为 3 例手术的结果，经随机模拟产生如下 10 组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907 由此估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为（）A0.2B0.3C0.4D0.5 答案：A 分析：由题可知 10 组随机数中表示“3 例心脏手术全部成功”的有 2 组，即求.解：由题意，10 组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3 例心脏手术全部成功”的有：569,989，故 2 个，故估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.9、2021 年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过 10 分钟，如果 10 分钟内完成任务则试验成功结束任务，10 分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次已知甲、乙、丙 10 分钟内试验成功的概率分别为45，34，23，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（）A910B1920C2930D5960 答案：D 分析：把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式计算作答.试验任务成功的事件是甲成功的事件1，甲不成功乙成功的事件2，甲乙都不成功丙成立的事件3的和，事件1，2，3互斥，(1)=45，(2)=(1 45)34=320，(3)=(1 45)(1 34)23=130，所以试验任务成功的概率()=(1+2+3)=45+320+130=5960.故选：D 10、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为 0.03，丙级品的概率为0.01若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（）A0.09B0.96C0.97D0.98 答案：B 分析：根据互斥事件概率公式即得.记事件A=甲级品，B=乙级品，C=丙级品，则A与+是对立事件，所以()=1 (+)=1 0.03 0.01=0.96 故选：B.填空题 11、银行储蓄卡的密码由 6 位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后 1 位数字，如果记得密码的最后 1 位是偶数，则第 2 次按对的概率是_.答案：15#0.2 分析：利用古典概型的概率公式求概率.连续按两个不同的偶数共有5 4种不同的按法，其中第二次才按对的按法有 4 种，所以事件记得密码的最后 1位是偶数，则第 2 次按对的概率=420=15,所以答案是：15.12、已知随机事件，互斥，且(+)=0.8，()=0.3，则()=_.答案：0.5 分析：根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的两个事件的概率，相减即可得到结果.随机事件，互斥，(+)=()+(),()=0.8 0.3=0.5.所以答案是：0.5.小提示：本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题型.13、现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n则点(,)在第二象限的概率为_ 答案：16 分析：列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可 由题，点(,)所有可能的情况为(1,0)，(1,2)，(1,3)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(2,1)，(2,0)，(2,3)，(3,1)，(3,0)，(3,2)共 12 种情况，其中在第二象限的为(2,3)，(1,3)，故点(,)在第二象限的概率为212=16 所以答案是：16 14、商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40 42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40 42的皮鞋约为_双 答案：60 分析：先计算这周内某天第1，2，4组的频率，根据频率之和等于1可得第5组的频率，再由该频率乘以300即可得解.因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为640=0.15，740=0.175，940=0.225，又因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率为1 0.25 0.15 0.175 0.225=0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40 42的皮鞋约为300 0.2=60双，所以答案是：60.15、从长度为 3，4，5，7，9 的五条线段中任取三条，则取出的三条线段能构成一个三角形的样本空间是_.答案：(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)分析：根据三角形三边的关系用列举法即可求解 从长度为 3，4，5，7，9 的五条线段中任取三条，则取出的三条线段能构成一个三角形的样本空间是(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)所以答案是：(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)解答题 16、某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了 100 位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在6,11)，21,26两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了 8 位学生进行跟踪调查.（1）求图中的值并估算这 100 位学生学习的平均时长；（2）若从上述 8 位学生中随机抽取 2 位家访，求这 2 位学生来自不同组别的概率.答案：（1）=0.03，平均时长为 13.5 小时；（2）1528.分析：（1）由频率分布直方图概率的性质，可求得的值，再结合平均数的计算公式，即可求解；（2）由频率分布直方图，得到落在6,11)内数据个数为25，落在21,26内数据个数为15，按分层抽样，得到在6,11)内抽取 5 人，在21,26内抽取 3 人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.（1）由频率分布直方图的数据，可得(0.020+0.50+0.070+)5=1，解得=0.03，又由平均数的计算公式，可得=0.1 3.5+0.25 8.5+0.35 13.5+0.15 18.5+0.15 23.5=13.5.即估算这 100 位学生学习的平均时长为 13.5 小时.（2）由频率分布直方图，可得落在6,11)内数据个数为5 0.05 100=25，落在21,26内数据个数为5 0.03 100=15.按照分层抽样方法抽取 8 人，则6,11)内抽取 5 人，记为1，2，3，4，5，在21,26内抽取 3 人，记为1，2，3，从这 8 位学生中每次抽取 2 人，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,1)，(1,2)，(1,3)；(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)；(3,4)，(3,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)；(4,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)；(5,1)，(5,2)，(5,3)；(1,2)，(1,3)；(2,3)，共有 28 种结果，且各结果等可能，其中 2 位学生来自不同组别的取法有 15 种，所以抽取的 2 位学生来自不同组别的概率为=1528.17、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求（1）“星队”在两轮活动中猜对 2 个成语的概率;（2）“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率;（3）“星队”在两轮活动至少中猜对 1 个成语的概率;答案：（1）37144；（2）512；（3）143144.分析：令M0，M1，M2、N0，N1，N2表示第一轮、第二轮猜对 0 个、1 个、2 个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对 0 个、1 个、2 个、3 个、4 个成语的事件，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式求P(M0)=P(N0)、P(M1)=P(N1)、P(M2)=P(N2).（1）（2）应用独立事件乘法、互斥事件加法求两轮活动中猜对 2 个成语的概率;（3）对立事件的概率求法求两轮活动至少中猜对 1 个成语的概率.设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对 0 个、1 个、2 个成语的事件，N0，N1，N2表示第二轮甲乙猜对 0 个、1 个、2 个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对 0 个、1 个、2 个、3个、4 个成语的事件.P(A)=34，P()=1-34=14，P(B)=23，P()=1-23=13，根据独立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()=P()P()=14 13=112，P(M1)=P(N1)=P(+)=P()+P()=34 13+1423=512，P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)=34 23=612=12，（1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)=P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=12.112+512.512+112.12=37144.（2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)=P(M1N2)+P(M2N1)=512.12+12.512=512.（3）P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-1144=143144.18、今年中国共产党迎来了建党 100 周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为34，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是12，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是14.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于 2 所学校回答正确这道题的概率.答案：(1)()=23,()=38(2)2132 分析：（1）根据独立事件的概率公式计算；（2）结合互斥事件、独立事件的概率公式计算（1）设事件=“甲学校回答正确这道题”，事件=“乙学校回答正确这道题”，事件=“丙学校回答正确这道题”，则()=34，()=12，()=14，各学校回答这道题是否正确是互不影响的.事件A，B，C相互独立.()=()()=12,()=()()=14，()=23,()=38；（2）设事件=“甲、乙、丙三所学校中不少于 2 所学校回答正确这道题”=且,两两互斥，()=()=()+()+()+()；由于事件A，B，C相互独立.所以()=()()()=343813=332()=()()()=345823=516，()=()()()=143823=116，()=()()()=343823=316，()=332+516+116+316=2132 19、某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了 100 人作为样本，得到以下数据表格（单位：人次）满意度 老年人 中年人 青年人 自助餐 点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10 分（满意）12 1 20 2 20 1 5 分（一般）2 2 6 3 4 12 0 分（不满意）1 1 6 2 3 2（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取 2 人进行交流，求两人都是中年人的概率；（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式?答案：（1）中年人更倾向于选择自助餐；（2）=110；（3）建议其选择自助餐 解析：(1)分别求出三种年龄层次的人群中，选择自助餐的概率，进行比较从而得出结论.(2)点餐不满意的人群中，老年人 1 人（设为），中年人 2 人（设为，），青年人 2 人（设为，），列出选 2 人的基本事件，得出基本事件数和两人都是中年人所包含的事件数，由古典概率公式可得答案.(3)分别求出自助餐和点餐满意的均值，建议选择满意度平均值大.（1）由题知，老年人选择自助餐的频率1=1519，中年人选择自助餐的频率2=3239，青年人选择自助餐的频率3=2742，则2 1 3，即中年人更倾向于选择自助餐（2）点餐不满意的人群中，老年人 1 人（设为），中年人 2 人（设为，），青年人 2 人（设为，）从中选取 2 人，其基本事件有(,)，(,)，(,)，(,)，(,)，(,)，(,)，(,)，(,)，(,)，共 10 个 基本事件，其中 2 人都是中年人仅有一个(,)符合题意；故两人都是中年人的概率为=110（3）由表可知，自助餐满意的均值为：1=5210+125+10052+12+10=58074 点餐满意的均值为：2=410+175+504+17+5=12526 1 2，故建议其选择自助餐