2022版高考数学一轮复习-练案第八章-解析几何-第七讲-抛物线练习新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案第八章 解析几何 第七讲 抛物线练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案第八章 解析几何 第七讲 抛物线练习新人教版

年级：
姓名：

第七讲　抛物线
A组基础巩固
一、选择题
1．(2021·河北邯郸质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为(　D　)
A．y2＝2x　　 B．y2＝4x
C．y2＝8x　　 D．y2＝16x
[解析]　设抛物线的准线为l，作MM′⊥直线l于点M′，交y轴于M″，由抛物线的定义可得：MM′＝MF＝6，结合xM＝2可知：M′M″＝6－2＝4，即＝4，∴2p＝16，据此可知抛物线的方程为：y2＝16x.选D．
2．(理)(2021·安徽皖南八校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，且焦距为2，则抛物线y2＝2bx的准线方程为(　B　)
A．x＝－　　 B．x＝－
C．y＝－　　 D．y＝－
(文)(2021·山东济宁期末)抛物线y＝4x2的准线方程是(　A　)
A．y＝－　　 B．y＝
C．x＝1　　 D．x＝－1
[解析]　(理)由题意a2＝b2＝2＝3，∴b＝.
∴抛物线y2＝2bx的准线方程为x＝－.故选B．
(文)抛物线标准方程为x2＝y，∴p＝，∴准线方程为y＝－，即y＝－，故选A．
3．(2021·山西八校联考)斜率为的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，若直线l与圆M：(x－2)2＋y2＝4相切，则p＝(　A　)
A．12　　 B．8　　　
C．10　　 D．6
[解析]　抛笔线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，
直线l的方程为y＝x－，又直线l与圆M：(x－2)2＋y2＝4相切，可得＝2，解得p＝12，故选A．
4．(2020·北京)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　B　)
A．经过点O　　 B．经过点P
C．平行于直线OP　　 D．垂直于直线OP
[解析]　由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，∴FQ的垂直平分线必过P，故选B．
5．(2021·陕西西安一中调研)已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，且|MF|＝4，则M到x轴的距离为(　A　)
A．4　　 B．4　　　
C．8　　 D．16
[解析]　设M(x1，y1)，由抛物线性质得：x1＝4－2＝2，∴y＝8·2＝16⇒|y1|＝4，故M到x的距离为4，故选A．
6．(2021·河南新乡模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M(x0，y0)在抛物线C上，若|MF|＝4，则(　C　)
A．x0＝5　　 B．y0＝2
C．|OM|＝　　 D．F的坐标为(0,1)
[解析]　由题可知F(1,0)，由|MF|＝x0＋1，所以x0＝3，y＝12，|OM|＝＝＝.故选C．
7．(2021·福建龙岩质检)已知点A在圆(x－2)2＋y2＝1上，点B在抛物线y2＝8x上，则|AB|的最小值为(　A　)
A．1　　 B．2　　　
C．3　　 D．4
[解析]　由题得圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2,0)，半径为1.
抛物线y2＝8x的焦点C(2,0)，
则|BC|＝＝＝x＋2，
∴|BC|min＝2，∴|AB|min＝2－1＝1，故选A．
8．(2021·广东肇庆统测)抛物线方程为x2＝4y，动点P的坐标为(1，t)，若过P点可以作直线与抛物线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为(　A　)
A．　　 B．－　　　
C．2　　 D．－2
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得
，∴(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，
所以k＝＝，故选A．
9．(2021·江苏高邮一中检测)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(3,2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF||FM|等于(　B　)
A．12　　 B．13
C．14　　 D．1
[解析]　∵F(1,0)，∴kl＝＝，
∴l：y＝(x－1)，由解得xN＝，xM＝3，
∴＝＝.故选B．
10．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　D　)
A．　　 B．　　　
C．1　　 D．2
[解析]　如图F为抛物线的焦点，

则|FA|＋|FB|≥|AB|＝6(当且仅当A、F、B共线时取等号)，
即yA＋yB＋2≥6，∴≥2，故选D．
11．(2021·山东烟台期末改编)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则下列结论错误的是(　D　)
A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥
D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
[解析]　对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；对于选项B，设N为PQ中点，设点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得NN1＝＝＝，故B正确；对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为y＝kx＋1，联立，可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误；故选D．
二、填空题
12．(2020·海南)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝　　.
[解析]　由题意可得抛物线焦点F(1,0)，
直线l的方程为y＝(x－1)，
代入y2＝4x并化简得3x2－10x＋3＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
13．(2021·河北石家庄质检)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)，线段FA与抛物线交于点B，且＝2，则|BF|＝　　.
[解析]　由题意知F，又A(0,2)，且＝2，∴B，∴2＝2p·，解得p＝，∴|BF|＝＋＝＝.
14．(2021·广东调研改编)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则__②③④__.
①|BF|＝3
②△ABF是等边三角形
③点F到准线的距离为3
④抛物线C的方程为y2＝6x
[解析]　如图，由题意知|AB|＝2|FH|＝2p，

∴xA＝，从而yA＝p，
又S△ABF＝|AB|·yA＝p2＝9，∴p＝3，
∴C的方程为y2＝6x，④正确，③正确，
∴|BF|＝|AF|＝＋＝2p＝6，①错，
又|AB|＝2p＝6，∴△ABF为等边三角形，
∴②正确，故答案为②③④.
三、解答题
15．(2021·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
[解析]　(1)设抛物线解析式为y2＝2px，
把(1,2)的坐标代入得p＝2，
∴抛物线解析式为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
(2)∵直线PA和PB的倾斜角互补，
∴kPA＋kPB＝0，
∴＋＝＋＝0，
∴＋＝0，∴y1＋y2＝－4，
kAB＝＝＝＝－1.
16．已知动点P到定直线l：x＝－2的距离比到定点F的距离大.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(3)过点D(2,0)的直线交轨迹C于A，B两点，直线OA，OB分别交直线l于点M，N，证明以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值，并求出此定值．
[解析]　(1)解法一：设点P的坐标为(x，y)，因为定点F在定直线l：x＝－2的右侧，且动点P到定直线l：x＝－2的距离比到定点F的距离大，
所以x>－2且＝|x＋2|－，
化简得＝x＋，即y2＝2x，
∴轨迹C的方程为y2＝2x.
解法二：由题意可知动点P到直线l′：x＝－的距离与到定点F的距离相等，∴轨迹C是以F为焦点l′为准线的抛物线，显然＝，即p＝1，∴轨迹C的方程为y2＝2x.
(2)证明：设A(2t，2t1)，B(2t，2t2)(t·t2≠0)，
则＝(2t－2,2t1)，＝(2t－2,2t2)．
∵A，D，B三点共线，
∴2t2(2t－2)＝2t1(2t－2)，
∴(t1－t2)(t1t2＋1)＝0，
又t1≠t2，∴t1t2＝－1，
直线OA的方程为y＝x，令x＝－2，得M(－2，－)．
同理，可得N.
所以以MN为直径的圆的方程为(x＋2)(x＋2)＋＝0，
即(x＋2)2＋y2＋2×＋＝0.
将t1t2＝－1代入上式，可得(x＋2)2＋y2－2(t1＋t2)y－4＝0，
令y＝0，得x＝0或x＝－4，
故以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值4.
B组能力提升
1．(2021·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　D　)

A． m　　 B． m　　　
C． m　　 D． m
[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系．

设抛物线的解析式为x2＝－2py(p>0)，
∵抛物线过点(6，－5)，∴36＝10p，可得p＝，
则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m，故选D．
2．(2021·云南适应性考试)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　A　)
A．(1，－1)　　 B．(2,0)
C．　　 D．(1,1)
[解析]　因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，
所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
则，则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称．
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，∴＝－1，
又∵PQ的中点一定在直线l上，
∴＝＋2＝1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．故选：A．
3．(2021·云南师大附中月考)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是(　C　)

A．(2,6)　　 B．(6,8)
C．(8,12)　　 D．(10,14)
[解析]　抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴三角形FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，则xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)，故选C．
4．(2021·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　C　)

A．5　　 B．6　　　
C．　　 D．
[解析]　如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.故选C．

另解：因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.故选C．
5．(2021·山东省临沂市期末)如图，已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16.

(1)求抛物线C的方程；
(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)当直线l的倾斜角为45°，则l的斜率为1，
∵F，∴l的方程为y＝x－.
由得x2－3px＋＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
∴|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝16, p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)假设满足条件的点P存在，
设P(a,0)，由(1)知F(2,0)，
①当直线l不与x轴垂直时，
设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
Δ＝(4k2＋8)2－4·k2·4k2＝64k2＋64>0，
x1＋x2＝，x1x2＝4.
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴kPM＋kPN＝0，kPM＝，kPN＝.
∴k(x1－2)(x2－a)＋k(x2－2)(x1－a)＝k[2x1x2－(a＋2)(x1＋x2)＋4a]＝－＝0，
∴a＝－2时，此时P(－2,0)．
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可．
综上，存在唯一的点P(－2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称．