全等辅助线秘籍(全等加强版).doc

(完整版)全等辅助线秘籍(全等加强版)
第一部分:知识梳理
一、 全等三角形定义：
1、经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形；
2、形状一样、大小一样的两个三角形称为全等三角形.
二、全等三角形的基本图形：

三、 全等三角形性质:
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等;
2、全等三角形的对应边上的高、中线、角平分线对应相等;
3、全等三角形周长、面积相等。
四、两点注意事项：
1、使用判定定理时,是否为夹边，夹角要看清，没有边边角（SSA）这个判定定理。
2、书写三角形、线段和角的名称的时候注意对应点应在对应的位置上。
五、常见辅助线写法：
1、过点A作BC的平行线AF交ED于F;
2、过点A作BC的垂线，垂足为D；
3、延长AB至C，使BC=AC；
4、在AB上截取AC，使AC=DE；
5、作的平分线，交AC于D；
6、取AB中点C，连接CD交EF于G点
第二部分：全等辅助线秘籍一：平移变换
秘籍一：平移变换:
例1:如图，AB=CD=1, 求证:
总结:几何里证明不等式常用的方法:1、三角形三边关系；2、两点之间线段最短；3、直角三角形中，斜边大于直角边。

例2、如图，已知(1)请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外)，连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明：AB+AC〉AD+AE

例3、已知：线段OA、OB、OC、OD、OE、OF,
=,且AD=BE=CF=2。
求证：

例4、如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD,如果,那么。仔细阅读以上材料，完成下面的问题.（4点共圆）
问题：如图，设P为平行四边形ABCD内一点,求证：

总结:
（1）集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线,将图形中分散的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径；
（2)平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将。
全等辅助线秘籍二：旋转
例1：如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且H为垂足，求证：AH=AB。

例2:在，，AC=BC,P是内的一点,且AP=3，CP=2，BP=1.
求度数。

例3:已知在AB=AC，P为形内一点，且求证：PB〈PC.

总结：有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候,可以用旋转:
（1） 边相等时常见图形如正方形、等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形等等；
（2） 角度能拼成的特殊角指的是180度、90度等等.
翻折：
例4：已知：，，AB=2AC，AD=BD 求证：

例5:为等腰直角三角形，，AB=AE，，求证：BE=CE

例6：在中,E、F为BC边上的点,已知CE=BF, 求证：AC=AB

总结：出现抽对称的时候可以考虑翻折,尤其注意有角平分线、有角相等或者出现特殊角的一半的时候，翻折是常用的添加辅助线的方法。
全等辅助线秘籍三 中点的妙用
一、 倍长中线法
例1、AD是AC=4，则AD的取值范围是 。
（总结：公式）

例2、已知在中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF。求证：AC=BE(尝试用两种方法）

例3、（1）如图,与均为等腰三角形,，点D在AB边上.连接EC，取EC中点F，连接AF、DF，猜测AF、DF的数量关系和位置关系,并加以证明.（类倍长中线）

（2） 如图，将旋转至如图位置，使E在AB延长线上，D在CB延长线上，其它条件不变，则（1）中AF、DF的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。

二、 中位线：
例4、已知:四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
求证：四边形EFGH为平行四边形.

例5、如图，已知四边形ABCD中,AB=CD，M、N分别为BC、AD中点，延长MN与AB、CD延长线交于E、F。求证:

例6、已知都是直角三角形,且,连接DE，设M为DE的中点。
（1）求证：MB=MC;
图（1）
图（2）
（2)设,固定，让移至图示位置,此时MB=MC是否成立?请证明你的结论。

总结：出现中点的时候一般有以下做辅助线的方法:
（1） 倍长中线法；
（2） 构造中位线;
（3） 如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线。

例7：如图，已知都是等腰直角三角形，点M为EC中点，求证：BMD为等腰直角三角形。（两种方法)

全等辅助线秘籍四:
一、 截长补短(割补法）
例1、在中，的平分线AD交BC于D，求证：AB+BD=AC
(多种方法)

例2、四边形ABCD是正方形,P为BC上任意一点，
求证：

例3、已知：，以AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACFG，延长BA交EG于H，则BC=2AH。(3种方法证明)

例4、AD是的角平分线，交AD的延长线于E，EF//AC交AB于F，求证：AF=BF（补形法)

例5、如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，已知BC+CD=11，，求DC+EF的值。(割补）（多种证法）（数形结合)

例6、如图所示,BC〉AD,AD=CD，BD平分,求证:

总结：(1）当题目的图形不规则或者比较复杂时,经常将图形补成规则图形或者简单的图形在做；
（2）有时会将题目补成全等基本图形再处理。
全等三角形秘籍五：巧构等边
例1、在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,,求的度数。(多种方法)

例2、如图，中，AB=AC,AD=BC，,求：的度数。

例3、任意，试在内找一点P，使得PA+PB+PC的值最小.（费马点）

例4、在等腰三角形ABC中,延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE。 求证：

例5、如图所示,在中,,，E为AC的中点，，D是BC边上的点，BC=1，求的面积与的面积的两倍的和.

例6、如图所示，在中,P为三角形内一点，AP=AC,PB=PC，求证：

总结:常用辅助线添加技巧
1、 平移、旋转、翻折；
2、 倍长中线法；
3、 构造中位线；
4、 截长补短法；
5、 补形法；
6、 构造等边三角形