资源描述
2017-2018学年山西省高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x-1，x∈A}，则A∪B=（ ）
A. {2} B. {1,2，3，4，5}
C. {1,2，3，4，5，8，11} D. {1,2，3，4}
2. 取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段其中一段的长小于1米的概率为（ ）
A. 12 B. 23 C. 13 D. 14
3. 下列给出的四个函数f（x）的图象中能使函数y=f（x+2）-1没有零点的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 袋子里装有十张纸条，分别写有1到10的十个整数．从箱子中任取一张纸条，记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张纸条，记下它的读数y，则x+y是9的倍数的概率为（ ）
A. 11100 B. 9100 C. 8100 D. 110
5. 执行如图的程序框图，如果输出的是a=85，那么判断框内应为（ ）
A. k<4？
B. k<5？
C. k<6？
D. k<7？
6. 某学校有老师100人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是（ ）
A. 183 B. 182 C. 180 D. 184
7. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
8. 已知函数f（x）=x+2(x≤-1)x2(-1＜x＜2)2x(x≥2)，若f（x）=9，则x的值是（ ）
A. 7 B. 3或-3或7 C. 1，45或±3 D. 45
9. 已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（ ）
A. f(x)=(4x+4-x)|x|
B. f(x)=(4x-4-x)log2|x|
C. f(x)=(4x+4-x)log2|x|
D. f(x)=(4x+4-x)log 12|x|
10. 设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件：y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时f（x）=-5x，则f（23），f（32），f（13）的大小关系是（ ）
A. f(13)<f(32)<f(23) B. f(32)<f(13)<f(23)
C. f(32)<f(23)<f(13) D. f(23)<f(32)<f(13)
11. 某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x（℃）
2
8
13
17
月销售量y（件）
55
40
33
24
由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b=-2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为（ ）件
A. 47 B. 46 C. 44 D. 45
12. 已知函数f(x)=(a-2)x-1，x≤1logax，x＞1，若f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. (1,2) B. (2,3) C. (2,3] D. (2,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 我校开展“爱我柳林，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是______．
14. 已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=3x2，则f（7）=______．
15. 如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=12x2与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的均匀随机数，a=RAND，b=RAND；②做变换，令x=2a，y=2b；③产生N个点（x，y），并统计满足条件y＜x22号的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=327，则据此可估计S的值为______．
16. 若f（x）=loga（2-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|m+2≤x≤2m-1}，若A∩B=B，求出实数m的取值范围．
18. 某个不透明的盒子里有5枚质地均匀、大小相等的铜币，铜币有两种颜色，一种为黄色，一种为绿色．其中黄色铜币两枚，标号分别为1，2，绿色铜币三枚，标号分别为1，2，3．
（1）从该盒子中任取2枚，试列出一次实验所有可能出现的结果；
（2）从该盒子中任取2枚，求这两枚铜币颜色不同且标号之和大于3的概率．
19. 已知函数f（x）=mx+nx2+2是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）求不等式f（2x+2）+f（-x2+1）＜0的解集．
20. 利民奶牛场在2016年年初开始改进奶牛饲养方法，同时每月增加一定数目的产奶奶牛，2016年2到5月该奶牛场的产奶量如表所示：
月份
2
3
4
5
产奶量y（吨）
2.5
3
4
4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程；
（3）试预测该奶牛场6月份的产奶量？
（注：回归方程y∧=b∧x+a∧中，b∧=i=1n(xi-x)(yi-x)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a∧=y-b∧x）
21. 已知函数f（x）=（13）x，x∈[-1，1]，函数g（x）=[f（x）]2-2af（x）+6的最小值为h（a）．
（1）求h（a）．
（2）对于任意a∈[3，+∞）均有m≥h（a），求m的取值范围．
22. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100）
频数
2
8
14
10
6
（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x-1，x∈A}={2，5，8，11}，
则A∪B={1，2，3，4，5，8，11}．
故选：C．
由题意写出集合B，再计算A∪B．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】
解：记“两段其中一段的长小于1米”为事件A，
如图：
则断点只能取在线段AB或CD上（不含端点），
则P（A）=．
故选：B．
由题意画出图形，由测度比的长度比得答案．
本题考查概率中的几何概型，是基础题．
3.【答案】C
【解析】
解：根据题意，若函数y=f（x+2）-1没有零点，
则方程f（x+2）-1=0无解；即函数y=f（x+2）与直线y=1没有交点，
分析选项：C选项符合；
故选：C．
根据题意，由函数零点的定义可得若函数y=f（x+2）-1没有零点，则函数y=f（x+2）与直线y=1没有交点，据此分析选项，综合即可得答案．
本题考查函数零点的定义，涉及函数图象的变换，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】
解：袋子里装有十张纸条，分别写有1到10的十个整数．
从箱子中任取一张纸条，记下它的读数x，然后再放回箱子中，
第二次再从箱子中任取一张纸条，记下它的读数y，
基本事件总数n=10×10=100，
x+y是9的倍数包含的基本事件有：
（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），（7，2），（8，1），共8个，
则x+y是9的倍数的概率为p=．
故选：C．
基本事件总数n=10×10=100，利用列举法求出x+y是9的倍数包含的基本事件有8个，由此能求出x+y是9的倍数的概率．
本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】B
【解析】
解：执行如图的程序框图，输出a的值的规律是4k+4k-1+4k-2+…+4+1
因为输出的结果是85，
由于43+42+4+1=85．
即a=43+42+4+1，需执行4次，
则程序中判断框内的“条件”应为k＜5？
故选：B．
先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据a=43+42+4+1=85，得到程序中判断框内的“条件”．
本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．
6.【答案】D
【解析】
解：由分层抽样的定义得=，
即=，
得n=184，
故选：D．
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
7.【答案】C
【解析】
解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，
第三组中没有疗效的有6人，
第三组中有疗效的有12人．
故选：C．
由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；
本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．
8.【答案】D
【解析】
解：根据题意，函数f（x）=，
分3种情况讨论：
①，当x≤-1时，f（x）=x+2，
若f（x）=9，即x+2=9，解可得x=7，
又由x≤-1，x=7不符合题意，
②，当-1＜x＜2时，f（x）=x2，
若f（x）=9，即x2=9，解可得x=±3，
又由-1＜x＜2，x=±3均不符合题意；
③，当x≥2时，f（x）=2x，
若f（x）=9，即2x=9，解可得x=4.5，
又由x≥2，x=4.5符合题意；
综合可得：x=4.5；
故选：D．
根据题意，按x的取值范围分3种情况讨论，分析f（x）的解析式，求出x的值，综合三种情况即可得答案．
本题考查分段函数的性质，注意函数解析式的形式，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】
解：函数f（x）的图象如图所示，
函数是偶函数，x=1时，函数值为0．
f（x）=（4x+4-x）|x|是偶函数，但是f（1）≠0，
f（x）=（4x-4-x）log2|x|是奇函数，不满足题意．
f（x）=（4x+4-x）log2|x|是偶函数，f（0）=0满足题意；
f（x）=（4x+4-x）log|x|是偶函数，f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）＞0，不满足题意．
则函数f（x）的解析式可能是f（x）=（4x+4-x）log2|x|．
故选：C．
通过函数的图象，判断函数的奇偶性，利用特殊点判断函数的解析式即可．
本题考查函数的图象判断函数的解析式，判断函数的奇偶性、单调性以及特殊点是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】
解：根据题意，f（x）满足y=f（x+1）是偶函数，则y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
则f（）=f（），f（）=f（）
当x≥1时f（x）=-5x，则函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，又由＜＜，
则f（）＜f（）＜f（），
即f（）＜f（）＜f（）；
故选：A．
根据题意，分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则有f（）=f（），f（）=f（），结合函数的解析式可得f（x）在[1，+∞）上为减函数，据此分析可得答案．
本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意分析函数关于直线x=1对称．
11.【答案】B
【解析】
解：由图表求得，，
∵=-2，∴，可得．
∴线性回归方程为y=-2x+58，
取x=6，可得y=46．
∴该商场下个月毛衣的销售量约为46件，
故选：B．
由图表求得坐标中心点的坐标，代入线性回归方程求得，得到线性回归方程，取x为6求得商场下个月毛衣的销售量．
本题考查了求线性回归方程的应用问题，是基础题．
12.【答案】C
【解析】
解：对数函数在x＞1时是增函数，所以a＞1，又f（x）=（a-2）x-1，x≤1是增函数，
∴a＞2，并且x=1时（a-2）x-1≤0，即a-3≤0，所以2＜a≤3
故选：C．
函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，a＞1，并且f（x）=（a-2）x-1，x≤1是增函数，
可得a的范围，而且x=1时（a-2）x-1≤0，求得结果．
本题考查函数的单调性，分段函数等知识，是基础题．
13.【答案】3
【解析】
解：去掉一个最高分94和一个最低分86，计算平均分为
×（89+89+91+91+92+92+90+x）=91，
解得x=3．
故答案为：3．
根据题意，利用平均数公式列方程求出x的值．
本题考查了利用茎叶图计算平均数的应用问题，是基础题．
14.【答案】-3
【解析】
解：∵f（x+4）=f（x）；
∴f（x）的周期为4；
又f（x）是R上的奇函数，x∈（0，3）时，f（x）=3x2；
∴f（7）=f（-1+4×2）=f（-1）=-f（1）=-3．
故答案为：-3．
根据f（x+4）=f（x）即可得出f（x）的周期为4，再根据f（x）是奇函数，且x∈（0，3）时，f（x）=3x2，即可得出f（7）=-f（1）=-3．
考查奇函数的定义，周期函数的定义，已知函数求值的方法．
15.【答案】1.308
【解析】
解：根据题意，设阴影部分的面积为s，满足条件y＜号点（x，y）的概率P===，
又由矩形的面积为4，
则S==1.308；
故答案为：1.308．
根据题意，先由计算器做模拟试验结果试验估计，满足条件y＜号点（x，y）的概率，再结合几何概型计算公式计算可得答案．
本题主要考查模拟方法估计概率涉及几何概型的计算，属于基础题．
16.【答案】1＜a＜2
【解析】
解：因为f（x）在[0，1]上是x的减函数，所以f（0）＞f（1），
即loga2＞loga（2-a）．
∴⇔1＜a＜2
故答案为：1＜a＜2．
本题必须保证：①使loga（2-ax）有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logau，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=loga（2-ax）定义域的子集．
本题综合了多个知识点，需要概念清楚，推理正确．（1）复合函数的单调性；（2）真数大于零．
17.【答案】解：∵集合A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}，
B={x|m+2≤x≤2m-1}，A∩B=B，
∴B⊆A，
当B=∅时，m+2＞2m-1，解得m＜3，
当B≠∅时，m+2≤2m-1m+2≥-22m-1≤5，
解得m=3．
综上，实数m的取值范围是（-∞，3]．
【解析】
推导出B⊆A，当B=∅时，m+2＞2m-1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围．
本题考查实数m的取值范围的求法，考查子集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：（1）一次试验的所有可能结果为：
（黄1，黄2），（黄1，绿1），（黄1，绿2），（黄1，绿3），（黄2，绿1），
（黄2，绿2），（黄2，绿3），（绿1，绿2），（绿1，绿3），（绿2，绿3），
共有10种．
（2）从该盒子中任取2枚，这两枚铜币颜色不同且标号之和大于3包含的基本事件有：
（黄2，绿2），（黄2，绿3），（黄1，绿3），共3种，
∴这两枚铜币颜色不同且标号之和大于3的概率P=310．
【解析】
（1）利用列举法能列出一次实验所有可能出现的结果．
（2）从该盒子中任取2枚，列举法这两枚铜币颜色不同且标号之和大于3包含的基本事件，由此能求出这两枚铜币颜色不同且标号之和大于3的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
19.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=mx+nx2+2是定义在[-1，1]上的奇函数，
则f（0）=n2=0，即n=0，则f（x）=mxx2+2，
又由f（1）=1，则f（1）=m3=1，解可得m=3，
则f（x）=3xx2+2，
（2）证明：设-1＜x1＜x2＜1，
f（x1）-f（x2）=3x1x12+2-3x2x22+2=3×(x2-x1)(x1x2-2)(x12+2)(x22+2)，
又由-1＜x1＜x2＜1，则（x2-x1）＞0，（x1x2-2）＜0，
则f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）根据题意，f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，且在（-1，1）上是增函数，
f（2x+2）+f（-x2+1）＜0⇔f（2x+2）＜-f（-x2+1）⇔f（2x+2）＜f（x2-1）⇔-1≤2x+2≤1-1≤x2-1≤12x+2≤x2-1，
解可得：-2≤x≤-1，即x的取值范围为[-2，-1]；
即不等式f（2x+2）+f（-x2+1）＜0的解集为[-2，-1]．
【解析】
（1）根据题意，由函数f（x）=是定义在[-1，1]上的奇函数，分析可得f（0）=0，又由f（1）=1，解可得m、n的值，综合可得答案；
（2）设-1＜x1＜x2＜1，由作差法分析可得f（x1）-f（x2）＜0，结合函数单调性的定义即可得结论，
（3）根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式可以转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性证明以及应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．
20.【答案】解：（1）散点图如图所示；
（2）x=3.5，y=3.5，i=14xiyi=52.5，i=14xi2=54，
∴b∧=0.7，a∧=y-b∧x=1.05，
∴y∧=b∧x+0.7x+1.05；
（3）x=6，y∧=0.7×6+1.05=5.25吨．
【解析】
（1）由数据表可得四个点的坐标，在坐标系中描点作图；
（2）利用最小二乘法求得回归直线方程的系数b，再求系数a，得回归直线方程；
（3）把x=6代入回归直线方程，求得预报变量y的值．
本题考查了线性回归方程的求法及应用，熟练掌握最小二乘法求回归直线方程的系数是关键．
21.【答案】解：（1）函数f（x）=（13）x，x∈[-1，1]，
可得f（x）的值域为[13，3]，
令t=f（x），可得g（t）=t2-2at+6=（t-a）2+6-a2，t∈[13，3]，
当a≥3时，g（t）在[13，3]递减，可得最小值h（a）=15-6a；
当13＜a＜3时，最小值h（a）=6-a2；
当a≤13时，g（t）在[13，3]递增，可得最小值h（a）=559-23a．
综上可得h（a）=559-23a，a≤136-a2，13＜a＜315-6a，a≥3；
（2）对于任意a∈[3，+∞）均有m≥h（a），
可得m≥h（a）max，
当a≥3时，h（a）=15-6a≤-3，
即h（a）的最大值为-3，
则m≥-3．
【解析】
（1）运用指数函数的单调性可得f（x）的值域，由换元法可得二次函数，讨论对称轴和区间的关系，可得所求最小值；
（2）由题意可得m≥h（a）max，由一次函数的单调性可得最大值，进而得到m的范围．
本题考查函数的最值求法，注意运用指数函数的单调性和二次函数的最值求法，考查不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）
通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，
B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．
（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，
由直方图得P（CA）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6
得P（CB）=（0.005+0.02）×10=0.25
∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
【解析】
（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．
（II）计算得出CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，
P（CA），P（CB），即可判断不满意的情况．
本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．
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