2018-2019学年山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题(解析版).doc

2018-2019学年山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题

一、单选题
1．满足条件的集合的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】先由可知是的子集，且中必然含有元素，列举即可写出结果.
【详解】
因为，所以且，所以可能为或，共2个；
故选C
【点睛】
本题主要考查集合间的关系，依题意列举即可，属于基础题型.
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式列出不等式组，求解即可.
【详解】
由题意可得，所以且，即定义域为，
故选B
【点睛】
本题主要考查函数的定义域，由已知解析式的函数求其定义域，只需求使解析式有意义的的范围，属于基础题型.
3．已知函数f(x)=，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由内到外逐步代入,即可求出结果.
【详解】
因为，所以，所以.
故选C
【点睛】
本题主要考查求分段函数的值，由内向外逐步代入即可，属于基础题型.
4．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】结合指数函数与对数函数的性质，即可判断出结果.
【详解】
因为，，,即，故选A.
【点睛】
本题主要考查比较函数值大小的问题，可结合指数函数与对数函数的单调性确定，属于基础题型.
5．下列函数中与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】判断出奇偶性，以及其在上的单调性，即可判断出结果.
【详解】
令，则，所以为偶函数，故排除BC，又时，在上单调递增，故排除A，选D.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性，由复合函数同增异减的原则即可判断出结果,属于基础题型.
6．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由圆心位置确定，的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.
【详解】
因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.
7．设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若 ，，，则
C．若 ，，，，则
D．若，，，则
【答案】B
【解析】由空间中点线面位置关系可逐项判断.
【详解】
对于A，若，则内的直线与内的直线可能平行或异面，故A错；
对于B，若，，则或，又,所以，故B正确；
对于C，由一个平面内的两条相交直线都平行与另一个平面，则两平面平行，可判断C错；
对于D，若可得或或与相交，所以由不能推出，故D错；
选B
【点睛】
本题主要考查与空间中点线面的位置关系有关的命题真假的判断，熟记线面位置关系，线线位置关系即可，属于基础题型.
8．已知正方体的表面积为24，则四棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先由正方体的表面积求出正方体的棱长，连结交于点，易知平面，所以由棱锥的体积公式即可直接求解.
【详解】
设正方体的棱长为，因正方体的表面积为24，
所以，所以；
连结交于点，则，所以在正方体中，平面，
即平面，所以是四棱锥的高，且，
又，
所以 ；
故选C
【点睛】
本题主要考查几何体的体积，熟记棱锥的体积公式即可求解，属于基础题型.
9．已知直线，，，若，且，则的值为（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．0
【答案】D
【解析】由可得，从而可求出；由可得，可求出，从而可得出结果.
【详解】
因为，所以，即，所以；
由可得，即，解得，
所以，故选D.
【点睛】
本题主要考查由两直线平行或垂直的关系，求参数的值的问题，熟记直线垂直或平行的充要条件，即可求解，属于基础题型.
10．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由二次函数和对数函数的性质，即可判断出结果.
【详解】
当时，单调递增，开口向上，不过原点，且对称轴，可排除AB选项；
当时，单调递减，开口向下，可排除D，故选C
【点睛】
本题主要考查函数的图像问题，通过对数函数的单调性，以及二次函数的对称性和开口方向，即可判断出结果，属于基础题型.
11．《九章算术》是世界数学发展史上的一颗璀璨明珠，书中《商功》有如下问题：今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，问积及为菽各几何？其意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆是多少斛？主人欲卖掉该堆菽，已知圆周率约为3，一丈等于十尺，1斛约为2.5立方尺，1斛菽卖300钱，一两银子等于1000钱，则主人可得银子（ ）两

A．40 B．42 C．44 D．45
【答案】B
【解析】先由圆锥体积公式求出半个圆锥的体积，结合大豆的单价即可求出结果.
【详解】
因为半圆锥的底面半圆弧长为30尺，所以可得底面圆的半径为，又半圆锥的高为7尺，所以半圆锥的体积为立方尺斛，
所以主人可得银子两.
故选B
【点睛】
本题主要考查圆锥的体积公式，熟记公式即可，属于基础题型.
12．已知函数，则函数的零点的个数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】先由时，可知，是以2为周期的函数，
作出以及的图像，由图中可直观的看出两函数的交点个数，
即函数的零点的个数.
【详解】
因为时，，所以，故时，函数是以2为周期的函数；又函数的零点的个数即是函数与图像交点的个数，所以作出函数和的图像，由图像可得两函数的交点个数恰好有9个，所以函数的零点的个数是9，故选C
【点睛】
本题主要考查函数零点个数的问题，数形结合的思想是处理此类问题最常用的方法，属于常考题型.

二、填空题
13．计算____．
【答案】3
【解析】由指数幂运算以及对数运算法则，即可求出结果.
【详解】
,故答案为3
【点睛】
本题主要考查指数幂运算以及对数运算法则，属于基础题型.
14．直线和直线的距离是____．
【答案】
【解析】先将化为，再由两条平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
将直线化为，显然与直线平行，
所以两平行线间的距离为，
故答案为
【点睛】
本题主要考查两平行线间的距离公式，熟记公式即可求解，属于基础题型.
15．四面体中，，底面为等腰直角三角形，，为中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面____．（只填序号）

①平面②平面③平面④平面⑤平面
【答案】①②，①⑤，②⑤（选对一组即可）
【解析】根据题意可先证直线平面；平面，从而可得出结论.
【详解】
因为，，为中点，所以，,所以平面；
又平面，平面，所以可知①⑤垂直，②⑤垂直；
又底面为等腰直角三角形，，
所以，所以，所以平面；
又平面，所以可知①②垂直；
故答案可以是①②，①⑤，②⑤（选对一组即可）
【点睛】
本题主要考查面面垂直的判定定理，由线面垂直引出面面垂直，熟记定理即可，属于常考题型.
16．已知函数 在区间上是增函数，则实数的取值范围是___．
【答案】
【解析】由分段函数在给定区间内恒增，可得每一段都为增，并且位置要着重比较，列不等式即可求解.
【详解】
因为与在区间上都为增函数，所以为使 在区间上是增函数，只需即可，解得.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查分段函数在给定范围内单调的问题，只要同时满足每段的单调性一致以及整体单调即可，属于常考题型.

三、解答题
17．已知全集，集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）先由不等式求出集合，再将代入集合，根据集合的混合运算即可求出结果；
（2）由得出之间的包含关系，从而可求出结果.
【详解】
（1）∵，，∴，
，
.
（2）∵，∴，

须满足，
∴.
【点睛】
本题主要考查集合的混合运算，熟记相关概念即可求解，属于基础题型.
18．四边形是圆柱的轴截面，为底面圆周上的一点，，，.

（1）求证：平面；
（2）求圆柱的表面积.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明平面；
（2）先求出圆柱底面圆的半径，进而可根据圆柱的表面积公式，求出结果.
【详解】
（1）证明：∵平面是圆柱的轴截面，
∴平面，∵平面，∴，
又为底面圆周上一点，为直径，∴，
又，∴平面
（2）在中
∵，，∴，
∴底面圆的半径，又∵
∴圆柱侧面积为，
上下两底面面积为，
∴圆柱的表面积为.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，以及圆柱的表面积公式，需要考生熟记线面垂直的判定定理以及几何体的表面积公式，属于基础题型.
19．已知的顶点坐标为，，直线经过点且与直线平行，点和点关于直线对称.
（1）求直线的方程；
（2）求外接圆的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)先由题意求出直线的方程，再由点和点关于直线对称，确定直线的斜率，由点斜式写出直线的方程即可；
（2）可结合（1）的结果先求出点C的坐标，再由待定系数法设出圆的一般方程，由三点坐标代入得出方程组,求解即可；也可根据题意求出圆心坐标以及半径，得到圆的标准方程.
【详解】
(1）∵与直线平行，
∴，又∵点和点关于直线对称，
∴直线与垂直，∴，∴，又∵过，
∴直线的方程为，即.
（2）法一：∵且经过
∴的方程为，即.
∵，∴的中点，，
∴的垂直平分线方程为，即.
的外接圆圆心即为与的交点
由，得，
∴圆心坐标为，
∴
∴.
法二：设方程为，
又∵经过点，∴，∴，即的方程为，设
，即，①
又∵的中点在上
即②
由①②得，，∴
又∵，，都在圆上，
设圆的方程为

∴，，，
∴.
【点睛】
本题主要考查直线的方程以及圆的方程，求直线方程，通常用到点斜式；求圆的方程，常用待定系数法求解，属于基础题型.
20．直三棱柱中，，，分别为，的中点，.

求证：（1）平面；
（2）.
【答案】(1)见证明；(2)见证明
【解析】（1）由线面平行的判定定理即可证明平面；
（2）可先由线面垂直的判定定理证明平面，进而可得.
【详解】
（1）取中点，连结，，
∵、分别为，的中点，且，
又为中点，∴，
∵直三棱柱中，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，
∴平面.
（2）设，
∵直三棱柱中，平面，
∴在矩形中，连结，

∵，∴，
同理，，∴，∴，
又，，
∴平面，平面
∴.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，需要考生熟记定理即可求解，属于常考题型.
21．当今社会，以信息化、网络化，智能化为主要特征的信息技术浪潮正在形成一场人工智能革命，智能化时代的到来，为经济发展注入了新的活力，人工智能技术的进步和智能装备制造业的发展，从根本上减少了制造领域对劳动力的需求.
某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元，该工厂打算购进一批智能机器人（每购进一台机器人，需要有一名职工下岗）.据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工（机器人视为机器，不作为职工看待）在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机器人数量超过100台，则工厂的年利润万元（为机器人台数且）.
（1）写出工厂的年利润与购进智能机器人台数的函数关系；
（2）为使工厂获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？（参考数据：）
【答案】(1) (2)
【解析】（1）时，工厂的利润=总创利-成本，依题意可列出对应的等量关系；时，；
（2）根据二次函数以及对数函数的单调性分别求出每种情况下的利润，比较大小即可得出结果.
【详解】
（1）当购进智能机器人台数时，
工厂的利润 ，
∴.
（2）由（1）知，时，，
时，，
当时，为增函数，
，
综上可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大效益，最大利润为8205万元.
【点睛】
本题主要考查函数模型的应用，根据题意找出等量关系，得出对应函数解析式，再对函数研究即可，属于基础题型.
22．已知函数过点.
（1）求实数的值；
（2）设集合为函数定义域的一个非空子集，若存在，使，则称为函数在集合上的不动点.已知函数.
（ⅰ）若函数在上有两个不同的不动点，求实数的取值范围；
（ⅱ）若函数在区间上存在不动点，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）
【解析】（1）将点代入函数解析式，即可求出实数的值；
（2）（ⅰ）先对函数的解析式进行化简，再由在上有两个不同的不动点，可得方程在上有两个不同实数解，构造函数，根据一元二次方程根的分布，列出不等式组，即可求出结果;
（ⅱ）根据（ⅰ）可知，函数在区间上存在不动点，即是在区间上存在零点，用分类讨论的思想讨论的范围，即可求出结果.
【详解】
（1）∵函数过点
∴，解得，
∴函数；
（2）（ⅰ）函数

，
由题意知函数在上有两个不同的不动点，
即在上有两个不同实数解，
令，
则函数在上有两个不同实数解，
又，∴必有，
∴得
∴实数的取值范围是.
（ⅱ）由（ⅰ）知，在区间上存在不动点，即函数在区间上存在零点
①若，，零点为，符合题意；
②若，∵，如果满足题意，必有成立
即，得，
∴时符合题意；
③，则或
即或
解得
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查函数与方程的综合，对于方程有实根的问题，有时需要转化为对应的函数有零点的问题来处理，常用分类讨论的思想，解题过程比较繁琐，难度较大.

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