常微分方程初等解法及其求解技巧本科论文.doc

目 录摘 要I关键词IABSTRACTIKEY WORDSI1.前 言12.常微分方程的求解方法12.1常微分方程变量可分离类型解法12.1.1直接可分离变量的微分方程22.1.2可化为变量分离方程22.2常数变易法92.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法92.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法102.3积分因子法163.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣173.1几个重要的变换技巧及实例183.1.1变为183.1.2分项组合法组合原则193.1.3积分因子选择20参考文献21致 谢22常微分方程初等解法及其求解技巧摘 要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降 阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法 常数变易法 积分因子 变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential EquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, Id would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, Id like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniquesI1.前 言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善. 微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义1 如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。12.1.1直接可分离变量的微分方程形如 (2.1)的方程称为变量分离方程.分别是的连续函数.例2.1 求解的通解. 解 将变量分离得,两边积分得,因而通解为（为任意常数）.2.1.2可化为变量分离方程而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程. （变量代换的思想）对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解.如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式.下面介绍几类这样的方程.类型1：齐次方程2形如 (2.2)的方程，称为齐次微分方程，这里是的连续函数,对方程(2.1)做变量变换 (2.3)即，于是 (2.4)将(2.3),(2.4)代入（2.2），则原方程变为，整理后，得到 (2.5)方程(2.5)是一个变量分离方程.可按前面(2.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到(2.2)的解.2注 该类型还可以推广到形如.例2.2 解方程.解 原方程化为且，即 ，于是，令，即，将代入该方程，得，整理即有，分离变量，得 ，两边积分得，将代回来，得，所以 (为任意常数),另外，即也是原方程的解,但此解包含于通解之中.故方程的通解为类型2： 形如 (2.6)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的均为常数.做变量变换，这时有，即.是变量分离方程.而当时，为其特殊形式.例2.3 求解方程.解 因为， 可以化为.于是，令 (2.7)则 , (2.8)将(2.8)代入(2.6)可以知道，这是一个分离变量方程.即 ,两边同时积分，得 (2.9)再将(2.9)代入(2.7)，得 .所以,整理得，其中C为任意常数. 类型3：形如 (2.10)的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.将(2.10)变形为 (2.11)做变量替换 (2.12) 这时有 (2.13)将(2.11)和（2.12）代入(2.13)中，得 .由此，化为变量分离方程，两边积分并代回原来的变量，可求出方程的解.类型4：形如 (2.14)的方程是变量分离方程.做变量替换 ,则 (2.15)代入原方程，得 (2.16) (2.16)就是变量分离方程.类型5：形如 (2.17)的方程是变量分离方程.做变量替换,则，有 (2.18)将（2.18）代入(2.17)中，得，所以，原方程同样是变量可替换方程.类型6：形如 (2.19) 的方程是变量分离方程.做变量替换 ,则 (2.20)代入原方程，得,是变量分离方程.类型7：形如 (2.21)其中、满足）的方程.可令，方程(2.20)化为齐次方程 ，事实上 ，由于，所以 ，即 ，再设，可化为变量分离变量.变量分离求解方程是一种相当简洁的解法，也是最基本的解法，求解变量可分离的微分方程，关键是在正确的分离变量与计算不定积分，要理解隐式解存在的根据是隐函数的求导法则，并应该注意不要遗漏可能存在的常数解.对于比较复杂的方程，需经过变量替换或等价变形使之转换成变量分离方程，最后利用变量分离求解，变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法，在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用.2.2常数变易法常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法，即将常数变易为待定函数，通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解，常数变易法实际上也是一种变量变换方法，通过变换可将方程化为变量分离方程.2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法对于一阶线性齐次方程，它的通解为.从此出发，将通解中的任意常数换成待定函数，假设 （2.22）为一阶线性非齐次方程 （2.23） 的解，为了确定，将（2.22）代入（2.23）的左边，得到. 从而得到，即，积分后得到 ，其中为任意常数.把代入（2.22）中，得到方程（2.23）的通解为. 这种将常数变易为待定函数的方法，通常被称为常数变易法. 例2.4 解方程. 解 方程变形为 ，令，则，代入变形方程为，利用常数变易法，其中，则它的通解为，代回原来的变量，得到 ,即原方程的通解为.此外，方程还有解.2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法个别的一阶非线性微分方程，可用常数变易法求解，下面介绍四种形式非线性微分方程的常数变易法，包括齐次方程、贝努力方程和黎卡提方程等的常数变易法.1.齐次方程 （2.24）对这种方程的解法，在一般教科书中都是首先把它化为可分离变量方程，然后根据可分离变量方程的解法去解，在这里我们可以直接用常数变易法求解.根据常数变易法，先求出原方程“对应”的齐次方程的通解为,再令 （2.25）则有 ，即 ，即 .两边积分就可以求出,然后再代入（2.25），便得原方程的通解.例2.5 求方程的通解.解 将方程改写为 ，可以求得它“对应”的齐次线性方程的通解为，再令，代入原方程可得,即 ，两边积分得（其中是任意常数），代回变量，得原方程的通解为 （其中是任意常数）.2 伯努利微分 （2.26）其中,为的连续函数, .对于伯努利方程，在一般的教科书上都是先把它化为线性方程，然后根据线性方程的求解方法去解，在这里我们直接用常数变易法去求解.根据常数变易法，先求它“对应”的齐次线性方程的通解.令,代入（2.25）得，即 ，所以，解得，所以（2.26）的通解为.利用此公式可求出任一伯努利方程的通解.例2.6 求方程的通解.解 可以判断此方程为伯努力方程，这里，,原方程“对应”的齐次方程为，其通解为，令，代入原方程化简得,即，即.则 ，所以原方程的通解为（其中c为任意常数）.3黎卡提方程 （2.27） 一般来说，这一类方程一般来说没有初等解法，不过，若知道其一特解，经变换后，方程就变为伯努力方程，因而可解.这里直接用常数变易法求一类特殊的黎卡提方程的解，（a、 b、c是实常数，且） 根据常数变易法先求它“对应”的齐次线性方程的解 , 再令 （2.28）代入原方程，有，分离变量得到 ，两边积分，求出，然后代入（2.28）可以得原方程的通解.例2.7 求方程的通解.解 在这里由于，得.故原方程属于上述黎卡提方程，其中，.原方程“对应”的齐次线性方程通解为，令，代入原方程有 ，即，即，两边积分得 （其中是任意常数）,所以得到，所以原方程的通解为（其中为任意常数）.4形如 (2.29)的微分方程. 先求得(2.29)“对应”的方程的通解为，再令，代入原方程化简后得，便得(2.29)的通解为，利用此公式可以求得的通解.例2.8 求的通解.解 先解方程，它的解是或.可令原方程的解为，代入方程得，即 ,则 , , .所以原方程的通解为 ,（其中为任意常数）.总结：常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,且常应用于一阶线性微分方程的求解.将常数换成就可以得到非齐次线性方程的通解；线性非齐次方程的通解等于它所对应的的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.2.3积分因子法把一阶线性微分方程 (2.30)改写为如下的对称形式 (2.31)一般而言，(2.31)不是恰当方程，但以因子 乘(2.31)两侧，得到方程 ，即 .它是恰当方程，由此可直接积分，得到，这样就求出了方程的通解 （2.32） 为任意常数，其中为积分因子，一般情况下，积分因子是很难寻求的，只有在很特殊的情况下才很容易求得.例2.9求方程的积分因子解 原方程改写为，显然，为使，只需取，于是求的原方程的一个积分因子例2.10 求解. 解 因为， 则方程不是全微分方程，若把原方程改写，可以看出积分因子，因为上式两端同乘以，有 ，即 ，从而得到方程的通积分 .总结：总之, 研究微分方程积分因子的实质是把求解微分方程问题转换为寻求积分因子的方法，这种方法体现了一种以退为进的创新思维，这种思维方式的转变还是值得我们学习的.3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣以上总结了常微分方程的几种解法，熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而按照所介绍的方法进行求解，这是最基本的要求.但是我们所遇到的方程未必都恰好是所介绍过的方程类型，因此要注意学习解题的技巧，善于根据方程的特点，引进恰当的变换，将方程化为能求解的新类型，从而求解.下面是几类方程之间的关系图：齐次方程可分离变量方程方程伯努利方程全微分方程一阶线性方程这样从不同角度，用不同方法解决了同一问题，更能深刻的体会到常微分方程几种解法之间的联系及其巧妙之处.3.1几个重要的变换技巧及实例常微分方程的求解有众多方法，技巧性很强，有时能用不同方法解决同一问题，因此我们也要熟悉常微分方程几类初等解法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最优解法.下面以例题来介绍“变换”的技巧和规律.3.1.1变为若微分方程为（或可转换为）,当较简单时，可变变为，此时方程变为,经此变换后方程可能是前面所介绍的某类方程.例3.1求方程的通解解 令，因此原方程不属于前面所介绍的各类方程，但 ，所以，方程属于伯努利方程. 令，方程变为.解之得.3.1.2分项组合法组合原则分项组合法的关键在于组合，组合的原则为：(1) 分项后，若存在只与和相关的项，或只与和相关的项，应为独立项，不与其它项组合.(2) 所有微分相关项组合成一项.例3.2 求方程的通解.解 求解过程如下(1) 拆项 .(2) 组合 与相关，应单独为一项，和为全微分相关项，应组合成新的一项.(3)将方程转换成分组全微分方程因为，所以原方程转化为,通解为.3.1.3积分因子选择总所周知，当微分方程为非恰当的时需借组积分因子将其转化为恰当的，全微分方程的标准格式为 ,其中，.通常称为积分因子，一般常微分方程需经过恒等变化才能转化成上式.有上式可直接得到方程的解为.解常微分方程时，积分因子是重新组合后各项的公因子，解题关键仍在于组合.例3.3 求方程的通解.解 ， (1) 分项重新组合：因为独立微分项，应为单独一项；(2) 找积分因子: 不是全微分方程.由于微分方程中前的函数是幂函数，但符号为负，前的函数是幂函数符号为正，故一定要使函数之一为负.因为 ，所以积分因子为.由此有,所以通解为.归纳起来，在我们求解已解出导数的常微分方程时，常常根据所给方程的结构特点，设法做出适当变换，将其化为可分离变量的方程或其他易于求解的类型.在求解以微分形式出现的常微分方程是，应先考虑分项组合法.因此在解题过程中注重应用上述技巧将使得方程的解答相对比较简练快捷.参考文献1 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松等常微分方程（第三版）M北京：高等教育出版社，2006：30-60.2 许敏伟，吴炳华. 变量代换法在求解微分方程问题中的应用J. 徐州教育学院学报，2008.9 71-72.3 焦洪田.一阶非线性微分方程的常数变易法J.雁北师范学院学报, 1999（6）：44-45. 4 龚雅玲.求解微分方程的积分因子法J.南昌教育学院学报, 2007, 22(1)：31-35.5 伍军.求解积分因子的几种方法J.新疆师范大学学报(自然科学版) ,2006, 25(1)：103-109.6孙清华，李金兰，孙昊.常微分方程内容方法与技巧M 武汉：华中大学科技出版社.2006：8-10.7 潘鹤鸣几种特殊类型积分因子的求法及在解微分方程中的应用J巢湖学院学报，2003（3）：18-228 邓小青.一类常微分方程初的等解法浅析J.湖南商学院学报, 2008, 22(1)：73-74.9 吴淼生关于非恰当方程积分因子的求法J宜春师专学报，1994（2）：15-2310 徐胜林.常微分方程例题分析J.高等函授学报（自然科学版）,2005,18(02):22-23.致 谢本次毕业论文是在老师的精心指导下完成的，在论文的构思和写作过程中，首先要感谢杨洁老师对我的细心指导从杨老师身上，我不仅学到了治学的严谨精神，而且也学到了做人的态度，这让我受益匪浅.所以，在此我要向杨老师表示最衷心得感谢和最深厚的敬意然后也要感谢张芳老师、申进老师以及大学期间的所有任课老师，感谢他们的教导与帮助同时，我想感谢我的父母，感谢他们对我多年的养育之恩他们给了我温暖的家和无私的爱，没有他们二十多年来的关心和支持，我无法想象自己能够顺利地完成学业由于这次撰写毕业论文的时间较短，加上本人的水平有限，所以论文还有许多的不足之处在此也恳请各位专家和教授给予批评与指导最后向所有关心和帮助过我的老师和同学表示由衷的感谢19