《1.3.1三角函数的周期性》教学案.doc

《1.3.1三角函数的周期性》教学案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解周期现象在现实中是广泛存在的；(2)理解周期函数的概念；(3)能熟练地求正、余弦函数的周期；(4)能利用周期函数定义进行简单运用．
2．过程与方法
通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；发现并归纳出正弦函数、余弦函数的周期性及求法；根据周期性的定义，再在实践中加以应用．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，树立学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．
●重点难点
重点：求函数的周期、利用周期求函数值．
难点：对定义的理解及定义的简单应用．
教学方案设计
(教师用书独具)
●教学建议
1．教材通过对正弦线变化规律的分析以及诱导公式(一)反映的函数值关系，给出周期函数的定义，并通过具体函数——正弦函数说明周期不止一个，且给出了正弦函数、余弦函数的最小正周期；通过“探究与发现”，引导学生推导出函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期公式．
2．关于周期函数定义的导入的教学
建议教师在教学过程中多举些具有周期变化规律的实例，提高学生的学习兴趣，增强数学的应用意识．
关于周期函数定义的教学，建议教师在教学过程中，讲清：
(1)T为不为零的常数．
(2)f(x＋T)＝f(x)是关于x的恒等式．
(3)不是所有的周期函数都有最小正周期．
3．关于函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期的教学
建议教师在教学中重视公式T＝的推导过程，及时训练，加强学生对公式的理解和记忆．
●教学流程
创设问题情境，引入周期函数的定义，并探究如何用周期性定义证明一个函数是周期函数的方法.⇒ 引导学生探究正、余弦函数的周期性，理解函数y＝Asin(ωx＋φ)和函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期求法.⇒⇒⇒⇒⇒
课前自主导学

课标解读
1.理解周期函数的定义．(难点)
2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．
3．会求函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期．(重点)

周期函数的定义
【问题导思】　
　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
【提示】　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x，cos(2π＋x)＝cos x．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．
　(1)周期函数的定义
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.

正、余弦函数的周期
【问题导思】　
　4π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？
【提示】　是的．由sin(4π＋x)＝sin x恒成立，根据周期函数的定义，可知4π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．
　(1)正弦函数、余弦函数的周期
正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
课堂互动探究

求三角函数的周期
例1　求下列函数的周期：
(1)y＝3sin(x＋)；
(2)y＝2cos(－＋)；
(3)y＝|sin x|.
【思路探究】　利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期．
【自主解答】　(1)T＝＝＝4.
(2)y＝2cos(－＋)＝2cos(－)，
∴T＝＝4π.
(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的周期是π.

规律方法
　求三角函数的周期，通常有三种方法：
(1)定义法．
(2)公式法．对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝.
(3)观察法(图象法)．
变式训练
　求下列函数的周期：
(1)y＝3cos(x－)；
(2)y＝2cos(2x－)＋sin(2x＋)．
【解】　(1)y＝3cos(x－)中ω＝，故T＝4π.
(2)y1＝2cos(2x－)中，ω＝2，故周期T＝π，y2＝sin(2x＋)中，ω＝2，故周期T＝π，故y＝2cos(2x－)＋sin(2x＋)的周期为π.

函数周期性的判断
例2　设函数y＝f(x)，x∈R，若函数y＝f(x)为偶函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，求证：函数y＝f(x)为周期函数．
【思路探究】　要证函数y＝f(x)是周期函数，就是要找到一个常数T(T≠0)，使得对于任意实数x，都有f(x＋T)＝f(x)，可根据y＝f(x)的奇偶性与对称性推导证明．
【自主解答】　由y＝f(x)的图象关于x＝a对称得f(2a－x)＝f(x)，∴f(2a＋x)＝f(－x)．
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(2a＋x)＝f(x)，
∴f(x)是以2a为周期的函数．

规律方法
1．判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T满足f(x＋T)＝f(x)对定义域中一切x都成立．
2．若函数f(x)对定义域内的一切实数x满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，则f(x)都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里a为非零常数．
互动探究
　将本例中的条件改为“若函数y＝f(x)为奇函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称”，求证：f(x)为周期函数．
【证明】　若f(x)为奇函数，则图象关于原点对称，
∴f(－x)＝－f(x)．
由图象关于直线x＝a(a≠0)对称得
f(2a－x)＝f(x)，
∴f(2a＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(4a＋x)＝－f (2a＋x)＝f(x)，
∴函数f(x)是以4a为周期的函数．

函数周期性的综合应用
例3　设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1，0)时，f (x)＝2x＋1，求f()的值．
【思路探究】　→
→
→
【自主解答】　f(x)是以1为一个周期的函数，
∴k∈Z(k≠0)也是f(x)的周期．
∴f(x－k)＝f(x)，故f()＝f(－4)，
从而f()＝f(－)．
又当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，
所以 f()＝f(－)＝2×(－)＋1＝0.

规律方法
1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．
2．如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．
变式训练
　设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2.
(1)求f(3)；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
【解】　(1)∵函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[ 0，2]时，f(x)＝(x－1)2，
∴f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝(1－1)2＝0.
(2)∵f(x)的周期为2，
∴当x∈[2，4]时有f(x)＝f(x－2)，
又∵x－2∈[0，2]，
∴f(x－2)＝(x－2－1)2＝(x－3)2，
∴f(x)＝(x－3)2.
即x∈[2，4]时，f(x)＝(x－3)2.
易错易误辨析
函数周期性概念理解不透彻致误
典例　判断函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是否为最小正周期为的周期函数，若不是，请说明理由．
【错解】　记f(x)＝cos 4x，设T为f(x)的周期，则f(x＋T)＝f(x)，即cos 4x＝cos 4(x＋T)对任意实数x都成立，也就是cos(μ＋4T)＝cos μ对任意实数μ都成立，其中μ＝4x，由于y＝cos μ的最小正周期为2π，
令4T＝2π，得T＝，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是最小正周期为的周期函数．
【错因分析】　导致错误的原因在于没有注意条件x∈[－π，π]的限制，∵x＝π时，x＋T∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，即忽略了f(x)＝f(x＋T)对任意x都成立．
【防范措施】　要判断一个函数是否为周期函数，①要看定义域I，对任意x∈I，有x＋T∈I；②对任意x∈I，有f(x)＝f(x＋T)．要说明一个函数不是周期函数或者不是以T为周期的周期函数，只需要举一反例即可．
【正解】　由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x值，有f(x＋T)＝f(x)，故x＋T也应在定义域内，但是当x＝π时，x＋＝∉[－π，π]，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]不是周期函数．

1．函数周期性的理解：
(1)对于“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，x＋T仍在定义域内且等式成立．
(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数的周期．
(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f(x)＝C没有最小正周期．
2．求三角函数的周期，通常有三种方法．
(1)定义法；
(2)公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝；
(3)观察法(图象法)．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.
当堂双基达标
1．下列说法中，正确的是________
①因为sin(π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期；
②因为tan(2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期；
③因为当x＝时，等式sin(＋x)＝sin x成立，所以是函数y＝sin x的一个周期；
④因为cos(x＋)≠cos x，所以不是函数y＝cos x的一个周期．
【解析】　根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y＝tan x的一个周期，但不是最小正周期．
【答案】　④
2．函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的周期为，则ω＝________.
【解析】　由＝，得ω＝8.
【答案】　8
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当2＜x≤6时，f(x)＝3－x，则f(1)＝________.
【解析】　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(1)＝f(1＋4)＝f(5)，又当2＜x≤6时，f(x)＝3－x，∴f(5)＝3－5＝－2，∴f(1)＝－2.
【答案】　－2
4．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝－2cos(－x－1)；
(2)y＝sin(＋3x)；
(3)y＝4sin(ax＋)(a≠0)．
【解】　(1)原函数可化为y＝－2cos(x＋1)．
∵ω＝，∴T＝＝4π.
(2)∵ω＝3，∴T＝.
(3)当a>0时，T＝，
当a<0时，y＝－4sin(－ax－)，T＝.
综上可知T＝.
课后知能检测
一、填空题
1．函数y＝3sin(－x)的周期是________．
【解析】　T＝＝.
【答案】　
2．下列各图形是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的有________．(填序号)

图1－3－1
【解析】　根据周期函数图象特征可知图①②③都是周期函数；图④为一个偶函数图象，不是周期函数．
【答案】　①②③
3．函数y＝2cos(－ωx)(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.
【解析】　由周期公式可知4π＝⇒|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.
【答案】　－
4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f()的值为________．
【解析】　f()＝f(－)＝f()＝sin ＝.
【答案】　
5．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．
【解析】　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又∵函数f(x)以2为周期，
∴f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，
且，
解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．
【答案】　5
6．设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则f(7.5)＝________.
【解析】　∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)，
∴T＝4，∴f(7.5)＝f(4×2－0.5)
＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1.
【答案】　1
7．已知函数f(x)＝2sin(kx＋)的最小正周期T∈(1，3)，则正整数k的取值集合是________．
【解析】　由题意得1＜＜3⇒⇒即＜k＜2π.
∵k∈N*，∴k＝3，4，5，6.
【答案】　{3，4，5，6}
8．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x；当x∈[，π)时，f(x)＝cos x，则f(π)＝________.
【解析】　∵T＝π，x∈[，π)时， f(x)＝cos x.
∴f(π)＝f(3π＋)＝f()＝cos ＝cos(π－)＝－cos ＝－.
【答案】　－
二、解答题
9．已知函数y＝5sin(x＋)．
(1)若函数的周期为3π，求k的值；
(2)若函数的周期不大于1，求自然数k的最小值．
【解】　(1)∵函数y＝5sin(x＋)的周期T＝＝3π，∴|k|＝2，∴k＝±2.
(2)∵T≤1，∴≤1，
即|k|≥6π≈18.85，
又k为自然数，
∴k的最小值为19.
10．已知f(x)是周期为T(T＞0)的周期函数，则f(2x＋1)是否为周期函数，若是，请求出其周期．
【解】　∵f(x)＝f(x＋T)，
∴f(2x＋1)＝f(2x＋1＋T)＝f[2(x＋)＋1]．
∴周期为，
∴f(2x＋1)是周期为的周期函数．
11．设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在[0，3]内单调递增，且y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，试比较f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小．

【解】　如图，∵f(x)是定义在R上以6为周期的函数，
∴f(6.5)＝f(0.5)，又∵y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，∴f(3.5)＝f(2.5)，利用f(x)在[0，3]内单调递增可知，
f(0.5)＜f(1.5)＜f(2.5)，
即f(6.5)＜f(1.5)＜f(3.5)．
教师备课资源
(教师用书独具)

备选例题
　若函数f(n)＝sin (n∈Z)，求f(97)＋f(98)＋f(99)＋…＋f(102)的值．
【思路探究】　直接求和较难，可以判断f(n)的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解．
【自主解答】　由题意得sin ＝sin(＋2π)
＝sin[](n∈Z)，
∴f(n)＝f(n＋12)，
∵97＝12×8＋1，98＝12×8＋2，…，102＝12×8＋6，
∴f(97)＋f(98)＋f(99)＋…＋f(102)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin
＝＋＋1＋＋＋0＝2＋.

规律方法
　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．
备选变式
　已知f(n)＝sin ，n∈N*，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值为________．
【解析】　∵f(n)＝sin ，n∈N*，∴T＝＝8，
又f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝sin ＋sin ＋…＋sin 2π＝0，且100＝12×8＋4，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝12[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝sin ＋sin ＋sin ＋sin π＝＋1.
【答案】　＋1