《1.3.1三角函数的周期性》教学案.doc

1.3.1三角函数的周期性教学案 (教师用书独具)三维目标1知识与技能 (1)了解周期现象在现实中是广泛存在的；(2)理解周期函数的概念；(3)能熟练地求正、余弦函数的周期；(4)能利用周期函数定义进行简单运用2过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；发现并归纳出正弦函数、余弦函数的周期性及求法；根据周期性的定义，再在实践中加以应用3情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，树立学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物重点难点重点：求函数的周期、利用周期求函数值难点：对定义的理解及定义的简单应用教学方案设计(教师用书独具)教学建议 1教材通过对正弦线变化规律的分析以及诱导公式(一)反映的函数值关系，给出周期函数的定义，并通过具体函数正弦函数说明周期不止一个，且给出了正弦函数、余弦函数的最小正周期；通过“探究与发现”，引导学生推导出函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期公式2关于周期函数定义的导入的教学建议教师在教学过程中多举些具有周期变化规律的实例，提高学生的学习兴趣，增强数学的应用意识关于周期函数定义的教学，建议教师在教学过程中，讲清：(1)T为不为零的常数(2)f(xT)f(x)是关于x的恒等式(3)不是所有的周期函数都有最小正周期3关于函数ysin(x)和ycos(x)的周期的教学建议教师在教学中重视公式T的推导过程，及时训练，加强学生对公式的理解和记忆教学流程创设问题情境，引入周期函数的定义，并探究如何用周期性定义证明一个函数是周期函数的方法. 引导学生探究正、余弦函数的周期性，理解函数yAsin(x)和函数yAcos(x)的周期求法.课前自主导学课标解读1.理解周期函数的定义(难点)2知道正弦函数、余弦函数的最小正周期3会求函数ysin(x)和ycos(x)的周期(重点)周期函数的定义【问题导思】单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由【提示】由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同即有sin(2x)sin x，cos(2x)cos x故正弦函数和余弦函数也具有周期性(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.正、余弦函数的周期【问题导思】4是正弦函数ysin x(xR)的一个周期吗？【提示】是的由sin(4x)sin x恒成立，根据周期函数的定义，可知4是正弦函数ysin x(xR)的一个周期(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2. (2)函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期一般地，函数yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T.课堂互动探究求三角函数的周期例1求下列函数的周期：(1)y3sin(x)；(2)y2cos()；(3)y|sin x|.【思路探究】利用公式法或定义法求解即可若0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期【自主解答】(1)T4.(2)y2cos()2cos()，T4.(3)由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为.验证：|sin(x)|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的周期是.规律方法求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法(2)公式法对yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)，有T. (3)观察法(图象法)变式训练求下列函数的周期：(1)y3cos(x)；(2)y2cos(2x)sin(2x)【解】(1)y3cos(x)中，故T4.(2)y12cos(2x)中，2，故周期T，y2sin(2x)中，2，故周期T，故y2cos(2x)sin(2x)的周期为.函数周期性的判断例2设函数yf(x)，xR，若函数yf(x)为偶函数并且图象关于直线xa(a0)对称，求证：函数yf(x)为周期函数【思路探究】要证函数yf(x)是周期函数，就是要找到一个常数T(T0)，使得对于任意实数x，都有f(xT)f(x)，可根据yf(x)的奇偶性与对称性推导证明【自主解答】由yf(x)的图象关于xa对称得f(2ax)f(x)，f(2ax)f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(2ax)f(x)，f(x)是以2a为周期的函数规律方法1判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T满足f(xT)f(x)对定义域中一切x都成立2若函数f(x)对定义域内的一切实数x满足f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，则f(x)都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里a为非零常数互动探究将本例中的条件改为“若函数yf(x)为奇函数并且图象关于直线xa(a0)对称”，求证：f(x)为周期函数【证明】若f(x)为奇函数，则图象关于原点对称，f(x)f(x)由图象关于直线xa(a0)对称得f(2ax)f(x)，f(2ax)f(x)f(x)，f(4ax)f (2ax)f(x)，函数f(x)是以4a为周期的函数函数周期性的综合应用例3设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x(1，0)时，f (x)2x1，求f()的值【思路探究】【自主解答】f(x)是以1为一个周期的函数，kZ(k0)也是f(x)的周期f(xk)f(x)，故f()f(4)，从而f()f()又当x(1，0)时，f(x)2x1，所以 f()f()2()10.规律方法1解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可2如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质变式训练设函数f(x)(xR)是以2为周期的函数，且x0，2时，f(x)(x1)2.(1)求f(3)；(2)当x2，4时，求f(x)的解析式. 【解】(1)函数f(x)(xR)是以2为周期的函数，且x 0，2时，f(x)(x1)2，f(3)f(32)f(1)(11)20.(2)f(x)的周期为2，当x2，4时有f(x)f(x2)，又x20，2，f(x2)(x21)2(x3)2，f(x)(x3)2.即x2，4时，f(x)(x3)2.易错易误辨析函数周期性概念理解不透彻致误典例判断函数ycos 4x，x，是否为最小正周期为的周期函数，若不是，请说明理由【错解】记f(x)cos 4x，设T为f(x)的周期，则f(xT)f(x)，即cos 4xcos 4(xT)对任意实数x都成立，也就是cos(4T)cos 对任意实数都成立，其中4x，由于ycos 的最小正周期为2，令4T2，得T，故函数ycos 4x，x，是最小正周期为的周期函数【错因分析】导致错误的原因在于没有注意条件x，的限制，x时，xT，不符合周期函数的定义，即忽略了f(x)f(xT)对任意x都成立【防范措施】要判断一个函数是否为周期函数，要看定义域I，对任意xI，有xTI；对任意xI，有f(x)f(xT)要说明一个函数不是周期函数或者不是以T为周期的周期函数，只需要举一反例即可【正解】由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x值，有f(xT)f(x)，故xT也应在定义域内，但是当x时，x，故函数ycos 4x，x，不是周期函数1函数周期性的理解：(1)对于“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，xT仍在定义域内且等式成立(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(kZ，k0)也一定是函数的周期(3)并不是所有周期函数都有最小正周期如常数函数f(x)C没有最小正周期2求三角函数的周期，通常有三种方法(1)定义法；(2)公式法，对yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)，T；(3)观察法(图象法)三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.当堂双基达标1下列说法中，正确的是_因为sin(x)sin x，所以是函数ysin x的一个周期；因为tan(2x)tan x，所以2是函数ytan x的最小正周期；因为当x时，等式sin(x)sin x成立，所以是函数ysin x的一个周期；因为cos(x)cos x，所以不是函数ycos x的一个周期【解析】根据周期函数的定义容易知道均是错误的，同时是正确的；对于，我们只能得出2是函数ytan x的一个周期，但不是最小正周期【答案】2函数f(x)sin(x)(0)的周期为，则_.【解析】由，得8.【答案】83定义在R上的函数f(x)满足f(x4)f(x)，且当2x6时，f(x)3x，则f(1)_.【解析】f(x4)f(x)，f(1)f(14)f(5)，又当2x6时，f(x)3x，f(5)352，f(1)2.【答案】24求下列函数的最小正周期：(1)y2cos(x1)；(2)ysin(3x)；(3)y4sin(ax)(a0)【解】(1)原函数可化为y2cos(x1)，T4.(2)3，T.(3)当a0时，T，当a0时，y4sin(ax)，T.综上可知T.课后知能检测一、填空题1函数y3sin(x)的周期是_【解析】T.【答案】2下列各图形是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的有_(填序号)图131【解析】根据周期函数图象特征可知图都是周期函数；图为一个偶函数图象，不是周期函数【答案】3函数y2cos(x)(0)的最小正周期为4，则_.【解析】由周期公式可知4|，由0，可知.【答案】4定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x0，时，f(x)sin x，则f()的值为_【解析】f()f()f()sin .【答案】5已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)0在2，2上至少有_个实数根【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，又函数f(x)以2为周期，f(2)f(2)f(0)0，且，解得f(1)f(1)0，故方程f(x)0在2，2上至少有5个实数根【答案】56设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x2)，当0x1时，f(x)2x，则f(7.5)_.【解析】f(x4)f(x2)2f(x)，T4，f(7.5)f(420.5)f(0.5)f(0.5)1.【答案】17已知函数f(x)2sin(kx)的最小正周期T(1，3)，则正整数k的取值集合是_【解析】由题意得13即k2.kN*，k3，4，5，6.【答案】3，4，5，68设函数f(x)(xR)是以为最小正周期的周期函数，且当x0，时，f(x)sin x；当x，)时，f(x)cos x，则f()_.【解析】T，x，)时， f(x)cos x.f()f(3)f()cos cos()cos .【答案】二、解答题9已知函数y5sin(x)(1)若函数的周期为3，求k的值；(2)若函数的周期不大于1，求自然数k的最小值【解】(1)函数y5sin(x)的周期T3，|k|2，k2.(2)T1，1，即|k|618.85，又k为自然数，k的最小值为19.10已知f(x)是周期为T(T0)的周期函数，则f(2x1)是否为周期函数，若是，请求出其周期【解】f(x)f(xT)，f(2x1)f(2x1T)f2(x)1周期为，f(2x1)是周期为的周期函数11设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在0，3内单调递增，且yf(x)的图象关于直线x3对称，试比较f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小【解】如图，f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(6.5)f(0.5)，又yf(x)的图象关于直线x3对称，f(3.5)f(2.5)，利用f(x)在0，3内单调递增可知，f(0.5)f(1.5)f(2.5)，即f(6.5)f(1.5)f(3.5)教师备课资源(教师用书独具)备选例题若函数f(n)sin (nZ)，求f(97)f(98)f(99)f(102)的值【思路探究】直接求和较难，可以判断f(n)的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解【自主解答】由题意得sin sin(2)sin(nZ)，f(n)f(n12)，971281，981282，1021286，f(97)f(98)f(99)f(102)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)sin sin sin sin sin sin 102.规律方法当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值备选变式已知f(n)sin ，nN*，则f(1)f(2)f(100)的值为_【解析】f(n)sin ，nN*，T8，又f(1)f(2)f(8)sin sin sin 20，且1001284，f(1)f(2)f(100)12f(1)f(2)f(8)f(1)f(2)f(3)f(4)sin sin sin sin 1.【答案】1