广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题.doc

广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

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17

广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. “”是“复数为纯虚数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设，则在处的导数
A. B. C. 0 D.
4. 将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是
A. B. 120 C. 240 D. 720
5. 函数的极值点为
A. 0，1， B. C. D. ，
6. 满足a，且关于x的方程有实数解的有序
数对的个数为
A. 14 B. 13 C. 12 D. 10
7. 已知函数的图象如图所示，
是函数的导函数，则下列
数值排序正确的是
A.
B.
C.
D.
8. 一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，
为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为
A. B.
C. D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 若m为实数，则复数在复平面内所对应的点
可能在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 若复数，则     
A. B. z的实部与虚部之差为3
C. D. z在复平面内对应的点位于第四象限
11. 下列求导正确的是
A. B.
C. D.
12. 已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中
各项系数和为1024，则下列说法正确的是   
A.
B. 展开式中偶数项的二项式系数和为512
C. 展开式中第6项的系数最大
D. 展开式中的常数项为45
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图所示，函数的图象在点P处的
切线方程为，则_____．

14. 函数在区间上的平均变化率是_________．

15. 已知函数，其导数的图象
如图所示，则函数的极小值是________．

16. 如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划
裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB
是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，
则所裁剪出的等腰梯形面积最大为________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 求下列函数的导数：
(2)

18. 现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的分法．
分成3组，一组4本，一组3本，一组2本．
分给3人，一人4本，一人3本，一人2本．
平均分成3组．

19. 用1，2，3，4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列．
这个数列共有多少项
若，求m的值．

20. 如图，在半径为的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，
其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成
一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的
边长ABx m，圆柱的体积为V ．
写出体积V关于x的函数关系式,并
指出定义域；
当x为何值时，才能使做出的圆柱形
罐子的体积V最大最大体积是多少?

21. 已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是．
求展开式中的所有有理项；
求展开式中系数绝对值最大的项；
求的值．

22. 已知函数．
若时，讨论函数的单调性；
设，若函数在上有两个零点，求实数
a的取值范围．

答案和解析
1.【答案】B
解：若，则复数为实数，故充分性不成立，
若复数为纯虚数，则，，故必要性成立，
故是复数为纯虚数必要不充分条件．
故选B．
2.【答案】C
解：，
，在复平面内对应点为，在第三象限．
故选：C．
3.【答案】A
解：因为，
所以  ．
故选A．
4.【答案】D
解：相当于3个元素排10个位置，有种不同的分法．
故选D．
5.【答案】B
解：由已知，得的定义域为，
，
令，得舍去．
当时，；
当时，，
所以当时，取得极小值．
从而的极小值点为，无极大值点，
故选B．

6.【答案】B
解：当时，易知满足题意的有4个
当时，需0，即ab1，
当时，b的取值有4个，
当时，b的取值有3个，
当时，b的取值有2个，所以满足题意的有9个．
综上，满足题意的有序数对的个数为，
故选B．

7.【答案】A
解：由函数的图像可知：当时，单调递增，
 ，，，
而，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，
由图可知．
即．
故选A．

8.【答案】C
解：设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x，矩形高为h，则，，
窗户的周长，
，由，得，
时，，时，，
当时，L取最小值，
故选C．

9.【答案】ABD
解：若m为实数，
则复数的实部为，虚部为．
因为实部与虚部相加为，
所以该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，
即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除
取，则，
所以该复数在复平面内对应的点在第二象限，可选B
取，则，
所以该复数在复平面内对应的点在第一象限，可选A
取，则，
所以该复数在复平面内对应的点在第四象限，可选D．
故选ABD．

10.【答案】ACD
解：因为，所以z的实部与虚部分别为4，，
所以，z的实部与虚部之差为5，，
z在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故ACD正确，B错误．
故选ACD．

11.【答案】BCD
解：选项A，因为，所以错误；
选项B，因为，所以正确；
选项C，，所以正确；
选项D，，所以正确．故选BCD．

12.【答案】BCD
解：由题意，，所以负值舍去，
又展开式中各项系数之和为1024，所以，所以，故A错误；
偶数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的二项式系数与对应项的系数相同，
所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；
的展开式的通项，
令，解得，所以常数项为，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
解：函数的图象在点处的切线方程是，
，，
．
故答案为．
14.【答案】
【解答】解：函数的平均变化率是．
故答案为．
15.【答案】6
解：依题意．
由题图象可知，当或时，，
当时，，
函数在，单调递减，在单调递增，
故时函数取极小值．
故答案为6．
16.【答案】
解：连接OD，过C，D分别作，，垂足分别为E，F．

设．
，．
可得，
梯形ABCD的面积
，

令．
则．
则．
，，则单调递增；
，，则单调递减；
可知：当且仅当时，取得最大值：
．
因此S的最大值为：．
故答案为．
17.【答案】解：，
．
解：．

18.【答案】解：分三步完成： 
第一步：从9本不同的书中，任取4本有 种方法； 
第二步：从余下的5本书中，任取3本有 种方法； 
第三步：剩下的书有 种方法，
共有不同的分法有 种 
分两步完成： 
第一步：将4本、3本、2本分成三组有 种方法； 
第二步：将分成的三组书分给三个人，有 种方法，
共有 种 
用与相同的方法求解，得种 

19.【答案】解：由题意，知这个数列的项数就是由1，2，3，4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．
由于每个数位上的数都有4种取法，
由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数有个，
即数列共有64项．
比341小的数分为两类：
第一类，百位上的数是1或2，有个
第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1，2，3中的任一个，个位上的数可以是1，2，3，4中的任一个，有个．
所以比341小的数共有个，
因出341是这个数列的第45项即

20.【答案】解：连接OB，在中，
，，
设圆柱底面半径为r，则，即，
，其中．
由及，得，列表如下： 
x

0

V

极大值

所以当时，V有极大值，也是最大值为．
答：当x为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是．
21.【答案】解：由，解得，        
因为通项
，，1，2，，                
当为整数时，r可取0，6，
于是有理项为和；                      
设第项系数的绝对值最大，则
，解得，
又因为2，3，，，所以，当时，，
又因为当时，，
当时，，
所以系数的绝对值最大的项为；
原式

22.【答案】解：当时，，定义域为，
则，
令，解得，或舍去，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
设，
函数在上有两个零点等价于在上有两解，
令，，
则，
令，，
显然，在区间上单调递增，
又，
所以当时，有，即，
当时，有，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，，，
由方程在上有两解及，
可得实数a的取值范围是．