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2022届高考数学一轮复习 第九章 9.7 抛物线学案

2022届高考数学一轮复习 第九章 9.7 抛物线学案

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第七节　抛物线

【知识重温】
一、必记2个知识点
1．抛物线定义、标准方程及几何性质

定义(几
何条件)
平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离①________的点的轨迹叫做抛物线
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
②________
________
③________
________
④________
________
图形

对称轴
x轴
⑤________
y轴
⑥________
顶点坐标
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
焦点坐标
F(，0)
⑦________
⑧________
⑨________
离心率e
e＝1
e＝1
⑩________
e＝1
准线方程
⑪________
x＝
y＝
⑫________
焦半径
公式
|PF|＝
x0＋
|PF|＝
－x0＋
⑬|PF|＝
________
⑭|PF|＝
________
范围
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
⑮________
x∈R
⑯________
x∈R
2.抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.
二、必明2个易误点
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
二、教材改编

2．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
3．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　)
A．0个　B．1个
C．2个 D．4个

三、易错易混
4．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．

四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9

　抛物线的定义和标准方程
[自主练透型]
1．[2020·北京卷]设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若|AF|＝4，则p＝(　　)
A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　　D．4
3．[2021·成都高三摸底考试]已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此抛物线的标准方程为________．
4．[2021·郑州一中高三摸底考试]从抛物线y＝x2上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5.设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．

　悟·技法
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
考点二　抛物线的几何性质[互动讲练型]
[例1]　(1)[2021·合肥市第二次质量检测]已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为(　　)
A．± B．±1
C．± D．±
(2)[2021·福州市高三毕业班适应性练习卷]抛物线C：y2＝2x的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其周长为(　　)
A. B．2 C．3 D．6

悟·技法
1.求抛物线的标准方程的方法
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
2．确定及应用抛物线性质的技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·山西晋城一模]已知P是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点．若|PF|＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝6x B．y2＝2x
C．y2＝x D．y2＝4x
2．[2021·东北四市模拟]若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为________．

考点三　直线与抛物线的位置关系
[互动讲练型]
[例2]　[2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.

悟·技法
解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.

[变式练]——(着眼于举一反三)
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

第七节　抛物线
【知识重温】
①相等　②y2＝－2px(p＞0)　③x2＝－2py(p＞0)　④x2＝2py(p＞0)　⑤x轴　⑥y轴
⑦F(－，0)　⑧F(0，－)　⑨F(0，)
⑩e＝1　⑪x＝－　⑫y＝－　⑬－y0＋　⑭y0＋　⑮y≤0　⑯y≥0
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝.∴y2＝－x或x2＝y.
答案：A
3．解析：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则抛物线顶点到准线的距离为2，因为抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根据抛物线的对称性可知抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点有2个．
答案：C
4．解析：由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x，故选D.
答案：D
5．解析：Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.
答案：[－1,1]
6．解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，
由抛物线定义得|AF|＝x0＋，
∵点A到y轴距离为9，∴x0＝9，
∴9＋＝12，
∴p＝6.故选C.
答案：C
课堂考点突破
考点一
1．解析：解法一　不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，P(x0，y0)(x0>0)，则Q，F，直线FQ的斜率为，从而线段FQ的垂直平分线的斜率为，又线段FQ的中点为，所以线段FQ的垂直平分线的方程为y－＝(x－0)，即2px－2y0y＋y＝0，将点P的横坐标代入，得2px0－2y0y＋y＝0，又2px0＝y，所以y＝y0，所以点P在线段FQ的垂直平分线上，故选B.
解法二　连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
答案：B
2．解析：过点A作AB垂直x轴于点B，则在Rt△ABF中，∠AFB＝，|AF|＝4，∴|BF|＝|AF|＝2，则xA＝2＋，∴|AF|＝xA＋＝2＋p＝4，得p＝2，故选A.
答案：A
3．解析：依题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为焦点坐标为(0，－2)，所以－＝－2，解得p＝4.故所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
4．解析：由题意，得x2＝4y，则抛物线的准线方程为y＝－1.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|＝y0＋1，所以y0＝4，所以|x0|＝4，所以S△MPF＝×|PM|×|x0|＝×5×4＝10.
答案：10
考点二
例1　解析：(1)设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入抛物线方程可得yM＝±p，则直线MF的斜率为＝＝±，选项A正确．
(2)

解法一　作出图形如图所示，因为△FPM为等边三角形，所以PM垂直C的准线于M，易知|PM|＝4|OF|，因为|OF|＝，所以|PM|＝2，所以△FPM的周长为3×2＝6，故选D.
解法二　因为△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|，所以PM垂直C的准线于M，设P，则M，所以|PM|＝＋，又F，且|PM|＝|MF|，所以＋＝，解得m2＝3，所以|PM|＝2，所以△FPM的周长为3×2＝6，故选D.
答案：(1)A　(2)D
变式练
1．解析：

过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q.∵∠PFO＝，|PF|＝2，∴|PQ|＝，|QF|＝1，不妨令点P坐标为，将点P的坐标代入y2＝2px，得3＝2p，解得p＝3(负值舍去)，故抛物线C的方程为y2＝6x.故选A.
答案：A
2．解析：由题意知x2＝y，则F，
设P(x0,2x)，
则|PF|＝
＝＝2x＋，
所以当x＝0时，|PF|min＝.
答案：
考点三
例2　解析：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.
变式练
3．解析：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，所以p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又因为F(1,0)，所以kFA＝.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点N的坐标为.