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2022届高考数学一轮复习 第九章 9.7 抛物线学案2022届高考数学一轮复习 第九章 9.7 抛物线学案年级：姓名：第七节抛物线【知识重温】一、必记2个知识点1抛物线定义、标准方程及几何性质定义(几何条件)平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离_的点的轨迹叫做抛物线标准方程y22px(p0)_图形对称轴x轴_y轴_顶点坐标O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)焦点坐标F(，0)_离心率ee1e1_e1准线方程_xy_焦半径公式|PF|x0|PF|x0|PF|_|PF|_范围x0yRx0yR_xR_xR2.抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()二、教材改编2过点P(2,3)的抛物线的标准方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y3抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点P有()A0个B1个C2个 D4个三、易错易混4已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x5设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_四、走进高考62020全国卷已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2 B3C6 D9抛物线的定义和标准方程自主练透型12020北京卷设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q.则线段FQ的垂直平分线()A经过点O B经过点PC平行于直线OP D垂直于直线OP22021湖北鄂州调研过抛物线y22px(p0)的焦点F作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若|AF|4，则p()A2B1C.D432021成都高三摸底考试已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，2)，则此抛物线的标准方程为_42021郑州一中高三摸底考试从抛物线yx2上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5.设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为_悟技法应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|.考点二抛物线的几何性质互动讲练型例1(1)2021合肥市第二次质量检测已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A B1C D(2)2021福州市高三毕业班适应性练习卷抛物线C：y22x的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其周长为()A. B2 C3 D6悟技法1.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.变式练(着眼于举一反三)12021山西晋城一模已知P是抛物线C：y22px(p0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点若|PF|2，PFO，则抛物线C的方程为()Ay26x By22xCy2x Dy24x22021东北四市模拟若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为_考点三直线与抛物线的位置关系互动讲练型例22019全国卷已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.悟技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.变式练(着眼于举一反三)3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标第七节抛物线【知识重温】相等y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)x轴y轴F(，0)F(0，)F(0，)e1xyy0y0y0y0【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2,3)，解得k，m.y2x或x2y.答案：A3解析：抛物线y28x的准线方程为x2，则抛物线顶点到准线的距离为2，因为抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根据抛物线的对称性可知抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点有2个答案：C4解析：由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x，故选D.答案：D5解析：Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.答案：1,16解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，由抛物线定义得|AF|x0，点A到y轴距离为9，x09，912，p6.故选C.答案：C课堂考点突破考点一1解析：解法一不妨设抛物线的方程为y22px(p0)，P(x0，y0)(x00)，则Q，F，直线FQ的斜率为，从而线段FQ的垂直平分线的斜率为，又线段FQ的中点为，所以线段FQ的垂直平分线的方程为y(x0)，即2px2y0yy0，将点P的横坐标代入，得2px02y0yy0，又2px0y，所以yy0，所以点P在线段FQ的垂直平分线上，故选B.解法二连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|FP|，则QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.答案：B2解析：过点A作AB垂直x轴于点B，则在RtABF中，AFB，|AF|4，|BF|AF|2，则xA2，|AF|xA2p4，得p2，故选A.答案：A3解析：依题意可设抛物线的方程为x22py(p0)，因为焦点坐标为(0，2)，所以2，解得p4.故所求抛物线的标准方程为x28y.答案：x28y4解析：由题意，得x24y，则抛物线的准线方程为y1.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|y01，所以y04，所以|x0|4，所以SMPF|PM|x0|5410.答案：10考点二例1解析：(1)设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xM2p，解得xM，代入抛物线方程可得yMp，则直线MF的斜率为，选项A正确(2)解法一作出图形如图所示，因为FPM为等边三角形，所以PM垂直C的准线于M，易知|PM|4|OF|，因为|OF|，所以|PM|2，所以FPM的周长为326，故选D.解法二因为FPM为等边三角形，|PF|PM|，所以PM垂直C的准线于M，设P，则M，所以|PM|，又F，且|PM|MF|，所以，解得m23，所以|PM|2，所以FPM的周长为326，故选D.答案：(1)A(2)D变式练1解析：过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q.PFO，|PF|2，|PQ|，|QF|1，不妨令点P坐标为，将点P的坐标代入y22px，得32p，解得p3(负值舍去)，故抛物线C的方程为y26x.故选A.答案：A2解析：由题意知x2y，则F，设P(x0,2x)，则|PF|2x，所以当x0时，|PF|min.答案：考点三例2解析：设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.变式练3解析：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又因为F(1,0)，所以kFA.因为MNFA，所以kMN.又FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，所以点N的坐标为.