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2022届高考数学一轮复习 第九章 9.8 曲线与方程学案

2022届高考数学一轮复习 第九章 9.8 曲线与方程学案

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第八节　曲线与方程

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是①____________.
(2)以这个方程的解为坐标的点都是②______________.那么这个方程叫做③__________________，这条曲线叫做④______________.
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的⑤________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组⑥________，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的⑦________条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
二、必明2个易误点
1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)
二、教材改编

2．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线左边一支
C．一条射线 D．双曲线右边一支
3．和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为____________________．

三、易错易混
4．方程x＝所表示的曲线是(　　)
A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分
C．圆的一部分 D．直线的一部分
5．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1

　直接法求轨迹方程[自主练透型]

1．[2021·杭州调研]已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
2．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)

悟·技法
直接法求轨迹方程的方法
在不能确定轨迹形状时，要根据题设条件，通过“建(系)、设(点)、限(条件)、代(代入坐标)、化(化简与证明)”的步骤求轨迹方程，关键是把位置关系(如垂直、平行、距离等)转化为坐标关系.
考点二　定义法求轨迹方程[互动讲练型]
[例1]　已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．

悟·技法
定义法求轨迹方程的解题策略
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．本例中圆M，N方程分别变为“圆M：(x＋4)2＋y2＝2；圆N：(x－4)2＋y2＝2”，其余条件不变，求C的方程．

2．若本例中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为________．
考点三　代入法(相关点法)求轨迹方程
[互动讲练型]
[例2]　[2017·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

悟·技法
　代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只需将点P的坐标转移到点Q的方程中，整理可得点P的轨迹方程.

[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2021·河北石家庄模拟]已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(＋)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．椭圆

第八节　曲线与方程
【知识重温】
①这个方程的解　②曲线上的点　③曲线的方程　④方程的曲线　⑤公共解　⑥无解　⑦充要
【小题热身】
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：因为|PM|－|PN|＝|MN|＝4，所以动点P的轨迹是以N(2,0)为端点向右的一条射线．
答案：C
3．解析：设点的坐标为(x，y)，
由题意知()2＋()2＝c，
即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，
即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.
答案：2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0
4．解析：x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．
答案：B
5．解析：设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，
由＝＋，得(x，y)＝(x0,0)＋(0，y0)，
则解得
由|AB|＝5，得2＋2＝25，
化简得＋＝1.
答案：A
课堂考点突破
考点一
1．解析：设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
答案：A
2．解析：解法一　设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，
∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
∵(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，
整理得x2＋y2＝4.
∵M，N，P不共线，∴x≠±2，
∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
解法二　设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，
∴PM⊥PN，∴·＝0，
∴(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝0，
整理得，x2＋y2＝4.
∵M、N、P不共线，∴x≠±2.
∴轨迹方程为x2＋y2＝4.(x≠±2)
答案：D
考点二
例1　解析：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
变式练
1．解析：设动圆P的半径为r，
∴|PM|＝r＋，|PN|＝r－.
∴|PM|－|PN|＝2，又M(－4,0)，N(4,0)，
∴|MN|＝8.
∴2＜|MN|.
由双曲线定义知，P点轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴方程为－＝1(x≥ )．
2．解析：因为圆M与圆N相内切，设其切点为A，又因为动圆P与圆M、圆N都外切，所以动圆P的圆心在MN的连线上，且经过点A，因此动点P的轨迹是射线AM的反向延长线(不含切点A)，其方程为：y＝0(x<－2)．
答案：y＝0(x<－2)
考点三
例2　解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝ 得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯 一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
变式练
3．解析：因为点P满足＝(＋)，
所以Q是线段PF1的中点．
设P(a，b)，由于F1为椭圆C：＋＝1的左焦点，
则F1(－，0)，故Q，
由点Q在椭圆C：＋＝1上，
则点P的轨迹方程为＋＝1，
故点P的轨迹为椭圆．
答案：D