2022届高考数学一轮复习-课后限时集训平面向量的概念及线性运算北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训平面向量的概念及线性运算北师大版

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训平面向量的概念及线性运算北师大版

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课后限时集训(三十三)平面向量的概念及线性运算
建议用时：25分钟

一、选择题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
A　[①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．]
2．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B　[当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|；
当λ＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|.故选B.]
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝
(　　)
A. B.
C. D.
A　[由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.]
4．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
B　[∵＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，
∴＝2，∴A，B，D三点共线，故选B.]
5．在△ABC中，＝，P是直线BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A．－4 B．－1
C．1 D．4
B　[∵＝，∴＝5.
又＝m＋，
∴＝m＋2，
由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.]
6．(2020·南昌模拟)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　)
A.＋ B.－
C.＋ D.－
B　[由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－＝(＋)－
＝－
＝－.]
7．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
B　[如图，∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，
∴＝－，
∴O为CD的中点，
又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.]
8.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[法一：∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，∴由＝λ＋μ，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①
由＝λ＋μ，两边同乘得＝λ－，两边平方得＝λ2－λμ＋，②
①－②得＝.根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入＝λ－得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选C.
法二：建系如图：
由题意可知A(1,0)，C，B，
∵＝λ(1,0)＋μ＝.
∴∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.]
二、填空题
9．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．
－　[由于c与d共线反向，则存在实数k使
c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，
解得λ＝1或λ＝－.
又因为k＜0，
所以λ＜0，故λ＝－.]
10．在等腰梯形ABCD中， ＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________.
　　[取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.
∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，∴λ＝，μ＝.]
11．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
3　[由已知条件得＋＝－，M为△ABC的重心，∴＝(＋)，
即＋＝3，则m＝3.]
12．下列命题正确的是________．(填序号)
①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；
②在△ABC中，＋＋＝0；
③只有方向相同或相反的向量是平行向量；
④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线．
④　[易知①②③错误．
∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．
若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．]

1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
B　[作∠BAC的平分线AD.
因为＝＋λ，
所以＝λ
＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，
所以＝·，
所以∥，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选B.]
2．(2020·株江模拟)如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为_______．
　[＝＋＝＋，
＝－＝－＋，
设＝λ＝－＋λ(0≤λ≤1)，
则＝＋＝＋λ.
因为＝m＋n，
所以m＝1－，n＝λ.
所以＋＝＋＝
＝
≥＝.
当且仅当3(λ＋4)＝，
即(λ＋4)2＝时取等号．]