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平面向量的概念及线性运算
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一、选择题
1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A. B.
C. D.
A [由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.]
2．(2019·兰州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝( )
A.－ B.＋
C.－ D.＋
B [法一：设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，
即－－3＝－4x－4y，则解得
即＝＋，故选B.]
3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
B [由于c与d共线反向，则存在实数k使
c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，
解得λ＝1或λ＝－.
又因为k＜0，
所以λ＜0，故λ＝－.]
4．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝( )
A.a＋b B．－a－b
C．－a＋b D.a－b
C [由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点得＝＝，则＝＝(＋)
＝＝－a＋b，故选C.]
5．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A．1 B.
C. D.
D [∵＝＋＝＋，
∴2＝＋，即＝＋.
故λ＋μ＝＋＝.]
6．(2019·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且＝＋，则实数m的值为( )
A．1 B. C. D.
D [＝＋＝＋(－)＝m＋，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，因为 ＝，所以＝(1－λ)＋λ，则解得故选D.]
7．(2019·西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝，＝，AC，MN交于点P.若＝λ，则λ的值为( )
A. B.
C. D.
D [∵＝，＝，
∴＝λ＝λ(＋)＝λ
＝λ＋λ.
∵点M，N，P三点共线，
∴λ＋λ＝1，则λ＝.故选D.]
二、填空题
8．若＝，＝(λ＋1)，则λ＝ .
－ [如图，由＝，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，结合题意可得λ＋1＝－，所以λ＝－.
]
9．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为 ．
3 [因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，因为在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形ANDM为菱形，因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3.]
10．下列命题正确的是 ．(填序号)
①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；
②在△ABC中，＋＋＝0；
③只有方向相同或相反的向量是平行向量；
④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线．
④ [易知①②③错误．
∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．
若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．]
1.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [法一：∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，∴由＝λ＋μ，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①
由＝λ＋μ，两边同乘得＝λ－，两边平方得＝λ2－λμ＋，②
①－②得＝.根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入＝λ－得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选C.
法二：建系如图：
由题意可知A(1,0)，C，B，
∵＝λ(1,0)＋μ＝.
∵∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.]
2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B [如图，∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，
∴＝－，∴O为CD的中点，
又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.]
3．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，则实数m的值为 ．
[由N是OD的中点，得＝＋
＝＋(＋)＝＋，
又因为A，N，E三点共线，
故＝λ，
即m＋＝λ，
又与不共线，
所以解得故实数m＝.]
4．已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为 ．
[由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.∴＝，＝＝.]
1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
B [作∠BAC的平分线AD.
因为＝＋λ，
所以＝λ
＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，
所以＝·，
所以∥，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选B.]
2．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为 ．
[＝＋＝＋，
＝－＝－＋，
设＝λ＝－＋λ(0≤λ≤1)，
则＝＋＝＋λ.
因为＝m＋n，
所以m＝1－，n＝λ.
所以＋＝＋＝
＝
≥＝.
当且仅当3(λ＋4)＝，
即(λ＋4)2＝时取等号．]
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