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2022版高考数学一轮复习 考案1 第一章 集合与常用逻辑用语新人教版

2022版高考数学一轮复习 考案1 第一章 集合与常用逻辑用语新人教版

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第一章　集合与常用逻辑用语
(时间：45分钟　满分100分)
一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2020·课标Ⅲ，1)已知集合A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为(　B　)
A．2　　 B．3　　
C．4　　 D．5
[解析]　∵A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3<x<15}，
∴A∩B＝{5,7,11}，∴A∩B中元素的个数为3，故选B.
2．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2＋x－2<0，x∈Z}，则A∪B＝(　C　)
A．{－1}　　 B．{－1,1}
C．{－1,0,1}　　 D．{－1,0,1,2}
[解析]　由题意知B＝{x|－2<x<1，x∈Z}，所以B＝{－1,0}，所以A∪B＝{－1,0,1}，故选C.
3．(2020·成都市二诊)设全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤－2或x≥1}，则A∩(∁UB)＝(　A　)
A．{x|－1<x<1}　　 B．{x|－2<x<3}
C．{x|－2≤x<3}　　 D．{x|x≤－2或x>－1}
[解析]　由题意知∁UB＝{x|－2<x<1}，则A∩(∁UB)＝{x|－1<x<3}∩{x|－2<x<1}＝{x|－1<x<1}．
4．(2020·宁夏中卫模拟)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　D　)
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
[解析]　命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
5．已知a∈R，则“－1<a<0”是“ax2＋2ax－1<0对∀x∈R恒成立”的(　A　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　因为ax2＋2ax－1<0对∀x∈R恒成立，所以a＝0或，即－1<a≤0，由于“－1<a<0”是“－1<a≤0”的充分不必要条件，故选A.
6．下列命题中，真命题是(　D　)
A．命题“若a>b，则ac2>bc2”
B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题
[解析]　命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题，如a>b且c＝0时，ac2＝bc2；命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题，故选D.
7．(2020·广东汕头模拟)已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q：∀x>0，均有2x－a>0.若“¬p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－∞，－2)　　 B．(－2,1]
C．(1,2)　　 D．(1，＋∞)
[解析]　若方程x2＋ax＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a2－4<0，即－2<a<2，即p：－2<a<2.
∀x>0,2x－a>0则a<2x，
当x>0时，2x>1，则a≤1，即q：a≤1.
∵¬p是假命题，∴p是真命题．
∵p∧q是假命题，
∴q是假命题，即得1<a<2.故选C.
二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
8．已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2－x<0}，则(　AD　)
A．M∩N＝{x|0<x<1}　　 B．M∪N＝{x|x>0}
C．M⊆N　　 D．N⊆M
[解析]　本题考查集合的交、并集运算，集合间的关系．由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<1}．故M∩N＝{x|0<x<1}，选项A正确；M∪N＝{x|x<1}，选项B错误；N⊆M，选项C错误，选项D正确．
9．下列说法正确的是(　BC　)
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6 ＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
D．命题“∃x0∈R，使得x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1<0”
[解析]　本题考查否命题，充分、必要条件的判断，逆否命题及特称命题的否定．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A不正确；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B正确；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，其逆否命题为真命题，C正确；命题“∃x0∈R，使得x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0”，D不正确．故选BC.
10．(2021·凤城市第一中学高一月考改编)不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为(　AB　)
A．[－4，－1]　　 B．[1,4]
C．[－4，－1]∪[1,4]　　 D．[－4,4]
[解析]　由不等式1≤|x|≤4，解得：－4≤x≤－1或1≤x≤4，
对于A，B选项中的集合是不等式解集的真子集，
∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选AB.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．(2018·湖南卷)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝ {1,2,3} .
[解析]　∵∁UB＝{2}，∴A∪(∁UB)＝{1,2,3}．
12．(2020·江西上饶模拟)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是　∃x0∈R，|x0|＋x<0　.
[解析]　因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x0∈R，|x0|＋x<0”．
13．(2021·湖南常德一中模拟)条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 (－∞，1) .
[解析]　p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q但qp，也就是说，p对应的集合是q对应的集合的真子集，所以a<1.
14．(2020·衡水金卷A信息卷(五)，14)命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则m<sin x(x∈R)恒成立．若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是 [0,1) .
[解析]　命题p的逆命题是若x>a，则x>0，故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<－1，解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1)．
四、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}，a∈R.
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
[解析]　A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，
B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．
(1)当a＝0时，B＝∅，不符合题意，
当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要满足题设条件，
则解得≤a≤2.
当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，要满足题设条件，
则无解．
综上可知：实数a的取值范围为.
(2)要满足A∩B＝∅.
当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，则a≥4或3a≤2，
即0<a≤或a≥4，
当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，则a≤2或3a≥4，
即a<0，
当a＝0时，B＝∅，满足题意．
综上可知：实数a的取值范围为.
16．(本小题满分15分)设命题p：方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：函数f(x)＝x3＋x2＋9x无极值．
(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)由得4<a<6，
∴实数a的取值范围为(4,6)．
(2)由题意知p，q一真一假，q为真时，
则f′(x)＝x2＋3(3－a)x＋9≥0恒成立，
∴Δ＝9(3－a)2－36≤0得1≤a≤5，
若p真q假，5<a<6；若q真p假，1≤a≤4.
综上，实数a的取值范围是[1,4]∪(5,6)．