2022届高考数学统考一轮复习-微专题数列中的函数性质学案新人教版.docx

2022届高考数学统考一轮复习 微专题数列中的函数性质学案新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 微专题数列中的函数性质学案新人教版

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微专题(二十)　数列中的函数性质

[例]　数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.
∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.
∵an＝n2－5n＋4＝2－，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.
名师点评　
1．本例给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．
2．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．
3．易错分析：本例易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．
[变式练1]　已知an＝，那么数列{an}是(　　)
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列

[变式练2]　[2021·大庆模拟]已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)n，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.

[变式练3]　[2021·大兴一中月考]数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2019项为________．

微专题(二十)
变式练1
解析：an＝＝＝1＋，因为函数y＝1＋在(0.99，＋∞)上是减函数，所以数列{an}是递减数列．
答案：A
变式练2
解析：因为an＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)·n＝n＝n·.
当n＜4时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝4时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞4时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
所以该数列中最大项为第4项和第5项．
答案：4或5
变式练3
解析：∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝.
∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝.
∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，….
∴该数列的周期为4.∴a2019＝a3＝.
答案：