2022高考数学一轮复习-课时规范练31-等比数列及其前n项和北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练31 等比数列及其前n项和北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练31 等比数列及其前n项和北师大版

年级：
姓名：

课时规范练31　等比数列及其前n项和
基础巩固组
1.(2020安徽安庆二模,理5)等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3a6=2a52,S4=152,则a2+a4=(　　)
A.32 B.52 C.32 D.40
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N+),a1a2a3=-27,则a5=(　　)
A.81 B.24 C.-81 D.-24
3.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且7S2=4S4,则公比q的值为(　　)
A.1 B.1或12 C.32 D.±32
4.(2020湖南郴州一模)在数列{an}中,a1=2,an2=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为(　　)
A.126 B.256 C.255 D.254
5.(2020广东惠州联考)已知数列{an}为等差数列,且2a1,2,2a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)
A.15 B.212 C.6 D.3
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=(　　)
A.63 B.62 C.61 D.60
7.(2020辽宁大连24中一模,4)在公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1,a2,a5成等比数列,则数列{an}的公差等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2019全国1,理14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=　　　　　. 
9.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=　　　　　. 
10.(2020四川绵阳三模,理17)若数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=23Sn.
(1)求Sn;
(2)设bn=1Sn,求证:b1+b2+b3+…+bn<52.

综合提升组
11.(2020全国2,理6)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(2020湖南常德一模,文7)等比数列{an}的各项均为正数,已知向量n=(a5,a4),m=(a7,a8),且m·n=4,则log2a1+log2a2+…+log2a11=(　　)
A.5 B.112 C.132 D.2+log25
13.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为):“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,那么,此人第4天和第5天共走路程是(　　)
A.24里 B.36里 C.48里 D.60里
14.(2020湖南常德一模,文17)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.

创新应用组
15.(2020河南驻马店二模,文16)在数列{an}中,a1=1,an≠0,曲线y=x3在点(an,an3)处的切线经过点(an+1,0),下列四个结论:①a2=23;②a3=13;③∑i=14ai=6527;④数列{an}是等比数列,其中所有正确结论的编号是　　　　　. 
16.(2020广东广州一模,理17)记Sn为数列{an}的前n项和,2Sn-an=12n-1(n∈N+).
(1)求an+an+1;
(2)令bn=an+2-an,证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.

参考答案

课时规范练31　等比数列
及其前n项和
1.B　设等比数列{an}的公比为q,因为a3a6=2a52,所以a4a5=2a52,所以q=a5a4=12.因为S4=152,所以a1(1-q4)1-q=152,解得a1=4,所以a2=2,a4=12,a2+a4=52.故选B.
2.C　设等比数列{an}的公比为q,已知S2n=4(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),令n=1,则S2=4a1,可得a2=3a1,q=3.
∵a1a2a3=-27,∴a23=-27,解得a2=-3,∴a1=-1,则a5=-34=-81.
3.C　因为7S2=4S4,
所以3(a1+a2)=4(S4-S2)=4(a3+a4),故q2=34,因为数列{an}为正项的等比数列,故q>0,所以q=32,故选C.
4.D　在数列{an}中,满足an2=an-1an+1(n≥2),则数列{an}为等比数列.设其公比为q,由a1=2,a6=64,得q5=a6a1=32,则q=2,则S7=2×(1-27)1-2=28-2=254.
5.C　由2a1,2,2a6成等比数列,可得4=2a1·2a6=2a1+a6,即a1+a6=2,又数列{an}为等差数列,所以{an}前6项的和为12×6(a1+a6)=6.
6.A　由等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,
即3,12,S6-15成等比数列,
所以S6-15=12×4,解得S6=63.
7.B　设数列{an}的公差为d,且d≠0.
∵a1+a2+a5=13,∴3a1+5d=13.①
∵a1,a2,a5成等比数列,
∴(a1+d)2=a1(a1+4d),②解①②组成的方程组,可得d=2.故选B.
8.1213　设等比数列{an}的公比为q,
则a4=a1q3=13q3,a6=a1q5=13q5.
∵a42=a6,∴19q6=13q5.
∵q≠0,∴q=3.
∴S5=a1(1-q5)1-q=13(1-35)1-3=1213.
9.32　设该等比数列的公比为q,则S6-S3=634-74=14,即a4+a5+a6=14.①
∵S3=74,∴a1+a2+a3=74.
由①得(a1+a2+a3)q3=14,
∴q3=1474=8,即q=2.
∴a1+2a1+4a1=74,a1=14,
∴a8=a1·q7=14×27=32.
10.(1)解由an+1=23Sn,可得Sn+1-Sn=23Sn,即Sn+1=53Sn,由a1=1,可得S1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公比为53的等比数列,则Sn=53n-1;
(2)证明因为bn=1Sn=35n-1,所以b1+b2+b3+…+bn=1-(35) n1-35=52-52×35n<52.
11.C　∵am+n=am·an,令m=1,又a1=2,
∴an+1=a1·an=2an,
∴an+1an=2,∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2n.
∴ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1+2k+2+…+2k+10=2k+1·1-2101-2=2k+11-2k+1=215-25.
∴k+11=15,k+1=5,解得k=4.
12.B　因为向量n=(a5,a4),m=(a7,a8),m·n=4,所以m·n=a5a7+a4a8=4,
因为{an}是等比数列,所以a5·a7=a4·a8=2,所以a1·a11=2,
所以log2a1+log2a2+…+log2a11=log2(a1·a11)112=log22112=112.故选B.
13.B　记每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比q=12的等比数列,
由S6=378,得S6=a11-1261-12=378,解得a1=192,
∴a4+a5=192×123+192×124=24+12=36.所以此人第4天和第5天共走了36里,故选B.
14.(1)证明∵an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
又a1+1=2,∴数列an+1是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)解由(1)得an+1=2n,
∴an=2n-1,
∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2×(1-2n)1-2-n
=2n+1-n-2.故Sn=2n+1-n-2.
15.①③④　∵y'=3x2,∴曲线y=x3在点(an,an3)处的切线方程为y-an3=3an2(x-an),
∵该切线经过点(an+1,0),
∴-an3=3an2(an+1-an).
∵an≠0,
∴an+1=23an,又a1=1,
∴{an}是首项为1,公比为23的等比数列.∴a2=23,a3=49,∑i=14ai=1-2341-23=6527.
故所有正确结论的编号是①③④.
16.解(1)由2Sn-an=12n-1,①则2Sn+1-an+1=12n,②
②-①,可得2an+1-an+1+an=12n-12n-1=-12n,所以an+an+1=-12n.
(2)由(1)可知an+an+1=-12n,③
则an+1+an+2=-12n+1,④
④-③,可得an+2-an=-12n+1--12n=12n+1,
则bn=12n+1,且bn+1=12n+2.令n=1,则b1=14.又因为bn+1bn=12n+212n+1=12,
所以数列{bn}是首项为14,公比为12的等比数列.所以Tn=14(1-12n)1-12=121-12n=12-12n+1.