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2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第1节 函数及其表示教案 理 新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第1节 函数及其表示教案 理 新人教版

年级：
姓名：

函数

全国卷五年考情图解
高考命题规律把握

1.考查形式
本章在高考中一般为1～3个客观题.
2.考查内容
高考对本章内容的考查主要涉及指数、对数的运算，指数函数、对数函数的图象与性质，分段函数的求值，函数奇偶性的判断，函数奇偶性、单调性及周期性的综合应用，函数的零点等内容.
　函数及其表示
[考试要求]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合
设A，B是非空的数集
设A，B是非空的集合
A，B对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
定义
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
映射f：A→B
提醒：映射实质是一对一或多对一，函数是特殊的映射．
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

常见函数定义域的求法
类型
x满足的条件
(n∈N*)
f(x)≥0
(n∈N*)
f(x)有意义
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)(a＞0且a≠1)
f(x)＞0
af(x)(a＞0且a≠1)
f(x)有意义
tan[f(x)]
f(x)≠＋kπ，k∈Z
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B． (　　)
(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (　　)
(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数． (　　)
(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点． (　　)
(5)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)＝m3. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、教材习题衍生
1．函数y＝＋的定义域为(　　)
A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C．∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
C　[由题意知
解得x≥且x≠3.]
2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
B　[y＝＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B．]
3．函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为(　　)
A．－1 B．－ C．1 D．2
C　[由题意知解得a＝1，故选C．]
4．已知f(x)＝＋，若f(－2)＝0，则a的值为________．
1　[f(－2)＝＋＝0，即＝－1，解得a＝1.]

考点一　求函数的定义域

1．已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
　已知函数解析式求定义域
[典例1－1]　(1)函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1,3) B．(－1,3]
C．(－1,0)∪(0,3) D．(－1,0)∪(0,3]
(2)函数y＝＋(2x－5)0的定义域为________．
(1)D　(2) 　[(1)由题意知即解得－1＜x＜0或0＜x≤3，故选D．
(2)由题意知即，
解得2＜x＜3且x≠，即函数的定义域为
　求抽象函数的定义域
[典例1－2]　(1)已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　)
A．(－2,0) B．(－2,2)
C．(0,2) D．
(2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
(1)C　(2)[－1,2]　[(1)由题意得即解得0＜x＜2，
即函数g(x)的定义域为(0,2)，故选C．
(2)由题意知－≤x≤，则－1≤x2－1≤2，
即函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]
点评：函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围，如本例T(2)．

1．若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(x)的定义域为________，f(log2x)的定义域为________．
　[，4]　[由－1≤x≤1得2－1≤2x≤2，即≤2x≤2，所以f(x)的定义域为，由≤log2x≤2，即log22≤log2x≤log2 22，
得≤x≤4，所以函数f(log2x)的定义域为[，4]．]
2．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝ln(－x－x2)，则函数f(2x＋1) 的定义域为________．
　[由－x－x2＞0得－1＜x＜0，即f(x)的定义域为(－1,0)，
由－1＜2x＋1＜0得－1＜x＜－，
所以函数f(2x＋1)的定义域为.]
考点二　求函数的解析式
　求函数解析式的四种方法

[典例2]　(1)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f(1－sin x)＝cos2 x，则f(x)的解析式为________．
(3)已知f＝x2＋，则f(x)＝________.
(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
(1)f(x)＝x2－x＋3　(2)f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)　(3)x2－2(x≥2或x≤－2)　(4)＋　[(1)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以所以
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(2)(换元法)令1－sin x＝t(0≤t≤2)，则sin x＝1－t，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，∴f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．
(3)(配凑法)f＝x2＋＝－2＝－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(4)(解方程组法)在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，
由
解得f(x)＝＋.]
点评：利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．

1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
2x＋7　[(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，
所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，
所以解得
所以f(x)＝2x＋7.]
2．已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　[令＝t，则t＝1＋，t≠1，所以＝t－1，
所以f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，
即f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
3．已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝________.
　[由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝.]
考点三　分段函数及其应用
　1.分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
　分段函数的求值问题
[典例3－1]　(1)(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　)
A．－　　 　B．2　　 　C．4　　 　D．11
(2)设函数f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A．－7 B．－1 C．0 D．
(1)C　(2)D　[(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C．
(2)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故选D．]
　求参数或自变量的值
[典例3－2]　(1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.
(2)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝________.
(1)－　(2)8　[(1)当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3，无解；
当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，
解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.
(2)由题意得a＞0.
当0＜a＜1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝，解得a＝，则f＝f(4)＝8，
当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．所以f＝8.]
点评：本例T(1)可根据函数值的范围确定a＞1.本例T(2)可根据单调性确定a≥1不可能成立．
　分段函数与不等式问题
[典例3－3]　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
D　[法一：分类讨论法
①当即x≤－1时，
f(x＋1)＜f(2x)，即为2－(x＋1)＜2－2x，
即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，
f(x＋1)＜f(2x)，即1＜2－2x，解得x＜0.
因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．
法二：数形结合法

∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，
则需或∴x＜0.]
点评：本例也可分x≤－1，－1＜x≤0，x＞0三种情况求解．

1．已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)
A．－2 B．4 C．2 D．－4
B　[由题意得f＝2×＝，
f＝f＝f＝2×＝，
所以f＋f＝4.]
2．设f(x)＝，若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
C　[当0＜a＜1时，a＋1＞1，则f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，解得a＝，从而f＝f(4)＝2×(4－1)＝6，当a≥1时，a＋1＞1，又函数f(x)＝2(x－1)，x≥1为增函数．因此f(a)＝f(a＋1)不成立，故选C．]
3．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是________．
　[①当x≤0时，x－＜0，则f(x)＝x＋1，f＝x－＋1＝x＋，
由f(x)＋f＞1得(x＋1)＋＞1，解得x＞－.
又x≤0，所以－＜x≤0.
②当0＜x≤时，x－≤0，则f(x)＝2x，f＝x－＋1＝x＋，从而f(x)＋f＝2x＋＞1恒成立．
③当x＞时，x－＞0，则f(x)＝2x，f＝2，
从而f(x)＋f＝2x＋2＞1恒成立．
综上知x的取值范围是.]
核心素养1　用数学眼光观察世界——与高等数学接轨的三类函数
高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养.

欧拉公式

(2020·郑州模拟)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0，欧拉公式被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B　[由题意得e2i＝cos 2＋isin 2，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点为(cos 2，sin 2)．因为2∈，所以cos 2＜0，sin 2＞0，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B．]
[评析]　此类以欧拉公式为背景考查复数几何意义的试题，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解此类题的关键：一是会揭开数学文化的面纱，读懂题意；二是会进行三角运算，如本题，在读懂题意的基础上，需利用弧度制，判断角的范围，从而判断角的三角函数值的符号，即可得出复数在复平面中对应的点的位置．

已知欧拉公式为eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)，若α∈(0,2π)，且e－iα表示的复数在复平面中对应的点位于第三象限内，则sin α＋cos α的取值范围是(　　)
A．(1，] B．[－，]
C．(－1,1) D．[－，－1)
C　[因为e－iα＝cos(－α)＋isin(－α)＝cos α－isin α，所以结合题意可知点(cos α，－sin α)位于复平面的第三象限内，所以cos α＜0且－sin α＜0，又α∈(0,2π)，所以α∈，所以α＋∈，所以sin∈.
故sin α＋cos α＝sin∈(－1,1)．故选C．]

高斯函数

(2020·长沙长郡中学模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域是(　　)
A．{0,1} B．(0,2)
C．(0,1) D．{－1,0,1}
A　[法一：因为f(x)＝＝＝2－∈(0,2)，
所以当f(x)∈(0,1)时，y＝[f(x)]＝0；当f(x)∈[1,2)时，y＝[f(x)]＝1.
所以函数y＝[f(x)]的值域是{0,1}．故选A．
法二：因为y＝[f(x)]不可能为小数，所以排除B，C；
又2x＞0，所以f(x)＝＞0，所以y＝[f(x)]≠－1，排除D．选A．]
[评析]　求解此类题的关键是理解高斯函数的含义，若是以选择题的形式考查，可用取特值法达到秒解，如本题的方法二，对特殊值的敏感和对已知选项的挖掘，常常可从中提取有效的信息，而对它们的视而不见，则会导致与简便解法“擦肩而过”．注意对特值的选定，一要典型，能定性说明问题，二要简单，便于计算．

(2020·淄博一模)高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x≤3；④当－1≤x＜1时，[x＋1]＋[－x＋1]的值为1,2.其中正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号)
①④　[①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正确；
②[x]＋[－x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3,2＋(－3)≠0；
③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，故错误；
④当－1≤x＜1时，0≤x＋1＜2,0＜－x＋1≤2，
∴[x＋1]＝0或1，[－x＋1]＝0或1或2，
当[x＋1]＝0时，[－x＋1]＝1或2；
当[x＋1]＝1时，[－x＋1]＝1或0；
所以[x＋1]＋[－x＋1]的值为1,2，故正确．]

狄利克雷函数

(2020·上海徐汇区模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f(x)＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，关于函数f(x)有如下四个命题：
①f(f(x))＝0；
②函数f(x)是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C　[对于①，当x为有理数时，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1，故①是假命题．
对于②，若x∈Q，则－x∈Q；若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，所以，无论x是有理数还是无理数，都有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故②是真命题．
对于③，当x为有理数时，x＋T为有理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝1；当x为无理数时，x＋T为无理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝0，故③是真命题．
对于④，当A，B，C三点满足A，B(0,1)，C时，△ABC为等边三角形，故④是真命题．
综上所述，真命题的个数是3.故选C．]
[评析]　破解本题的关键如下：一是明晰狄利克雷函数的实质是分段函数，注意理解集合∁RQ表示无理数集；二是会活用函数的奇偶性、周期性的定义判断函数的奇偶性、周期性；三是判断含有存在量词命题真假的关键是找到一个满足题意的条件．

(2020·陕西长安一中3月质检)已知著名的狄利克雷函数f(x)＝其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈R，则f(f(f(m)))的值为(　　)
A．0 B．1 C．0或1 D．无法求
B　[若m∈Q，则f(m)＝1，所以f(f(f(m)))＝f(f(1))＝f(1)＝1.
若m∈∁RQ，则f(m)＝0，所以f(f(f(m)))＝f(f(0))＝f(1)＝1.故选B．]