2021年高考数学高分秘籍-数系的扩充与复数的引入.docx

2021年高考数学高分秘籍 数系的扩充与复数的引入

2021年高考数学高分秘籍 数系的扩充与复数的引入

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数系的扩充与复数的引入
1．如果复数z=2-1+i，则（　　）
A．|z|=2 B．z的实部为1
C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i
【答案】C
【解答】：由z=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i，
所以|z|=2，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1，
z的共轭复数为﹣1+i，
故选：C．
【名师点睛】本题考查复数除法运算以及复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

复数的定义
形如a+bi（a，b∈R）的数叫作复数，其中a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部，i为虚数单位且规定i2=–1．
注意：复数的虚部是b，而不是bi．

2．复数21-i（i为虚数单位）的共轭复数是（　　）
A．1+i B．1﹣i
C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】B
【解答】：化简可得z=21-i
=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i，
∴z的共轭复数z=1﹣i
故选：B．
【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．
互为共轭复数的充要条件：a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c，b=–d（a，b，c，d∈R）．
求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．

3．若i是虚数单位，复数z的共轭复数是z，且2i﹣z=4﹣i，则复数z的模等于（　　）
A．5 B．25
C．5 D．17
【答案】A
【解答】：∵2i﹣z=4﹣i，∴z=﹣4+3i，∴z=﹣4﹣3i，∴|z|=(-4)2+(-3)2=5，
故选：A．
【名师点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

复数的模
向量的长度r叫作复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，则|z|=|a+bi|=r=（r≥0，r∈R），即复数a+bi的模表示点Z（a，b）与原点O的距离．
特别地，b=0时，z=a+bi是实数a，则|z|=|a|．
求复数的模时，直接根据复数的模的公式
|a+bi|=和性质|z2|=||2=z·，|z1·z2|=|z1|·|z2|，||=，||=|z|等进行计算．

1．己知点Z1，Z2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，若复数z对应的向量为Z1Z2，则复数z对应点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为点Z1，Z2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，所以Z1Z2=(-1,1),所以复数z对应点位于第二象限，故本题选B.
【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要.

复数的几何意义

2．已知复数a+i2-i是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（　　）
A．﹣2 B．2
C．12 D．﹣1
【答案】C
【解答】：∵a+i2-i=(a+i)(2+i)(2-i)(2+i)=2a-1+(a+2)i5=2a-15+a+25i是纯虚数，
∴&2a-1=0&a+2≠0，解得a=12．
故选：C．

复数的分类
z=a+bi
注意：
（1）一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0；
（2）两个不全是实数的复数不能比较大小；
（3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．

3．已知i为虚数单位，则=（　　）
A．﹣1+i B．﹣1
C．1﹣i D．0
【答案】A
【解答】：=i(1-i2018)1-i=i[1-(i4)504⋅i2]1-i
=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i．
故选：A．

复数的四则运算
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项，分别合并即可；复数除法运算的关键是分母实数化，注意要把i的幂化成最简形式．
2．复数运算中的常用结论：
（1）（1±i）2=±2i；（2）=i；
（3）=–i；（4）=b–ai；
（5）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=–1，i4n+3=–i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0（n∈N）．

1．下列命题中，假命题的是（　　）
A．若z为实数，则z=z B．若z=z，则z为实数
C．若z为实数，则z•z为实数 D．若z•z为实数，则z为实数
2．已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（　　）
A．2 B．1
C．0 D．﹣1
3．若纯虚数z满足z（1﹣2i）=a+i，其中a∈R，i是虚数单位，则实数a的值等于（　　）
A．﹣2 B．-12
C．2 D．12
4．设复数z满足z+i1-i=1+i，则z=（　　）
A．2﹣i B．2+i
C．3 i D．2+i
5．设z=﹣12+32i，则z2+z=（　　）
A．﹣1 B．0
C．1 D．2
6．若z1=1+2i，z2=1﹣i，则|z1z2|=（　　）
A．6 B．10
C．6 D．2
7．已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（　　）
A．12，0 B．24，26
C．12，26 D．6，8
8.复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1，z1﹣z2=2-4i2+i，则z1•z2=（　　）
A．1 B．﹣1
C．i D．﹣i
9.若复数z满足（1﹣2i）z=2﹣i，则在复平面内z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10.已知复数z=2+bi（b∈R）（i为虚数单位）的共轭复数为z，且满足z2为纯虚数，则z⋅z=（　　）
A．22 B．23
C．8 D．12
11. 复平面上矩形 ABCD 的四个顶点中，A，B，C 所对应的复数分别为 2+3i，3+2i，-2-3i，则 D 点对应的复数是   
A. -2+3i B. -3-2i C. 2-3i D. 3-2i
12.复数 z1=3a+5+10-a2i，z2=21-a+2a-5i，若 z1+z2 是实数，实数 a 的值为.

1.D【解答】：对于A、若z为实数，则z=z，正确；
对于B、设z=a+bi（a，b∈R），则z=a-bi，由z=z，可得b=﹣b，则b=0，即z为实数，故B正确；
对于C、若z为实数，则z•z=|z|2为实数，故C正确；
对于D、对于任意复数z，都有z•z=|z|2为实数，故D错误．
故选：D．
2.D【解答】：∵（a+i）2i=（a2﹣1+2ai）i=﹣2a+（a2﹣1）i为正实数，∴，解得a=﹣1．
故选：D．
3.C【解答】：设z=bi（b≠0），
由z（1﹣2i）=a+i，得bi（1﹣2i）=a+i，
即2b+bi=a+i，
∴b=1，a=2．
故选：C．
4.A【解答】：∵z+i1-i=1+i，
∴z+i=（1+i）（1﹣i）=2，
∴z=2﹣i．
故选：A．
5.A【解答】：由z=﹣12+32i，
得z2+z=z(z+1)=(-12+32i)(12+32i)=(32i)2-(12)2=-1．
故选：A．
6.B【解答】：∵z1=1+2i，z2=1﹣i，
∴|z1z2|=|1+2i|•|1﹣i|=5×2=10．
故选：B．
7.C【解答】：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，
由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i﹣3，
则q2=（﹣3+2i）（﹣3﹣2i）=13，即q=26，
﹣p2=﹣3+2i﹣3﹣2i=﹣6，即p=12
故选：C．
8.A【解答】：z1﹣z2=2-4i2+i=(2-4i)(2-i)(2+i)(2-i)=-10i5=﹣2i，
由|z1|=|z2|=1，设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，
∴cosα=cosβ，sinα﹣sinβ=﹣2，
∴cosα=cosβ=0，sinα=﹣1，sinβ=1，
∴z1=﹣i，z2=i，
则z1•z2=﹣i•i=1．
故选：A．
9.A【解答】：由（1﹣2i）z=2﹣i，得z=2-i1-2i=(2-i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=45+35i，
∴在复平面内z对应的点的坐标为（45，35），位于第一象限．
故选：A．
10.C【解答】：∵z=2+bi，
∴z2=4﹣b2+4bi，
由z2为纯虚数，得&4-b2=0&4b≠0，得b=±2．
∴z⋅z=|z|2=22+b2=8．
故选：C．
11.答案：B
12.3【解答】：
z1+z2=3a+5+a2-10i+21-a+2a-5i=3a+5+21-a+a2-10+2a-5i=a-13a+5a-1+a2+2a-15i.
因为 z1+z2 是实数，所以 a2+2a-15=0，解得 a=-5 或 a=3 .
因为 a+5≠0，所以 a≠-5，
故 a=3 .