极坐标与参数方程基本题型-2019年高考一轮复习资料：四种基本题型.doc

(完整word版)极坐标与参数方程基本题型-2019年高考一轮复习资料：四种基本题型
极坐标与参数方程高考高频题型
除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及
（一） 有关圆的题型
题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离，算出d，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）
思路1：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离
第二步：判断直线与圆的位置关系
第三步：相离：代入公式：，
相切、相交：
思路2：用参数方程来做
题型三：直线与圆的弦长问题
弦长公式，d是圆心到直线的距离

延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题
（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）
弦长公式,解法参考“直线参数方程的几何意义”
（二）距离的最值： ---用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”：设点---套公式--三角辅助角
①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设
②套公式：利用点到线的距离公式
③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一
例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标

Ⅰ）的普通方程为，
的直角坐标方程为.
（解说：C1：
这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为
（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）
因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）
当即当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

（三）直线参数方程的几何意义
1.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0=；
(2)|PM|=|t0|=；
(3)|AB|=|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|
（5）
（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）
【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.
直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；
2. 解题思路
第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程
第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：
第三步：韦达定理：
第四步：选择公式代入计算。
例如：已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
解　(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①
将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②
(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
变式训练：
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知倾斜角为且过点的直线与曲线交于两点，求的值.
答案：(1) (2)

（四） 一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离
思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。
例如：（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．
解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），
∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．
∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，
∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，
得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，
化简，得ρ=2cosθ．
（Ⅱ）依题意设A（），B（），
∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，
将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，
解得ρ1=3，
同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．
（五） 面积的最值问题
面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题
例题2016•包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．

解：（1）由，化简得：，
消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，
∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．
由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，
即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，
则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；
（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），
∴|AB|==2，
设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），
∴P点到直线l的距离为d==，
∴dmin==2，
则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．