2022届高考数学统考一轮复习-微专题三角形的“心”的向量表示及应用学案新人教版.docx

2022届高考数学统考一轮复习 微专题三角形的“心”的向量表示及应用学案新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 微专题三角形的“心”的向量表示及应用学案新人教版

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微专题(十九)　三角形的“心”的向量表示及应用
1．三角形各心的概念介绍
重心：三角形的三条中线的交点；
垂心：三角形的三条高线的交点；
内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；
外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成21；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．
2．三角形各心的向量表示
(1)O是△ABC的重心⇔＋＋＝0；
(2)O是△ABC的垂心⇔·＝·＝·；
(3)O是△ABC的外心⇔||＝||＝||(或OA2＝2＝2)；
(4)O是△ABC的内心⇔·＝·＝·＝0.
注意　向量λ(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)
专题一　将平面向量与三角形外心结合考查
[例1]　若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的(　　)
A．内心　　B．外心 C．垂心　　D．重心
解析：由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.
答案：B
专题二　将平面向量与三角形垂心结合考查
[例2]　点P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则点P是△ABC的(　　)
A．外心　　B．内心 C．重心　　D．垂心
解析：由·＝·，得·－·＝0，即·(－)＝0，即·＝0，则PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D.
讲评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．
答案：D
专题三　将平面向量与三角形内心结合考查
[例3]　O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，
λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心　　B．内心 C．重心　　D．垂心
解析：

因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故选B.
答案：B
专题四　将平面向量与三角形重心结合考查
[例4]　点P是△ABC所在平面内任一点．G是△ABC的重心⇔＝(＋＋)．
解析：∵＝＋＝＋＝＋，
∴3＝(＋＋)＋(＋＋)．
∵点G是△ABC的重心，∴＋＋＝0.
∴＋＋＝0，即3＝＋＋.
由此得＝(＋＋)．
反之亦然(证略)．
专题五　将平面向量与三角形四心结合考查
[例5]　已知向量，，满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．
证明：由已知条件可得＋＝－，两边平方，得·＝－.
同理·＝·＝－.
∴||＝||＝||＝.
从而△P1P2P3是正三角形．