年全国初中数学联赛初赛试题湖南.doc

2010年全国初中数学联赛初赛试题（湖南）
及参考答案
一、 填空题（7×4=28）
1、下列计算正确的是 （ ）
A B
C D
2、估算 的运算结果应在 （ ）
A 0到1之间 B 1到2之间 C 2到3之间 D 3到4之间
3、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于 （ ）
A 50° B 30° C 25° D 20°
4、如图，已知⊙O的半径为R，D是直径AB延长线上的一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连结AC.若∠CAB=30°，则BD的长为（ ）
A 2R B C R D
5、如图，AD、BE是锐角△ABC的两条高，则△CDE与
△ABC的面积比等于 （ ）
A B C D
6、把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Y、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为
1.FRPJLQ□ 2.HIO□ 3. NS□ 4.BCKE□ 5.VATYWU□
A QXZMD B DMQZX C ZXMDQ D QXZDM
7、二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系的图像大致为（ ）

二、填空题 （8×4=32）
8、为了加快3G网络建设，电信运营企业将根据各自发展规划，今明两年预计完成3G投资2800亿元左右.请将2800亿元用科学计数法表示为 元.
9、数轴上的点A、B、C分别对应数0、-1、x，若C与A的距离大于C于B的距离，则x的取值范围是 .
10、如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则灯泡发光的概率是
11、如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,
∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+DCO的大小是 度.
12、如图，在边长为1的小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于

13、将正整数1,2,3，……从小到大按下面规律排列，若第四行第2列的数位32，则第i行第j列的是为 .（用i、j表示）

第1列
第2列
…
第n列
第1行
1
2
…
2n
第2行
n+1
n+2
…
3n
第3行
2n+1
2n+2
…

…
…
…
…
…
14、若实数a、b、c满足，代数式的最大值是
15、有一个运算程序，当a⊕b=n(n为常数)时，定义(a+1)⊕b=n+1，a⊕(b+1)=n-2，现在已知1⊕1=2，那么2010⊕2010=
三、解答题（5×12=60）
16、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，求∠E的度数.

17、在抗震救灾活动中，某厂接到一份订单，要求生产7200顶帐篷支援四川灾区，后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前4天完成生产任务，该厂迅速增派人员组织生产，实际每天必原计划每天多生产720顶，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷？
18、如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°.已知OA=100米，山坡坡度为，（即tan∠PAB=）且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.（侧倾器的高度忽略不计），

19、有一种葡萄，从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质.假设保鲜期内的个体重量基本保持不变，现有一个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克,放在冷藏室内，此时市场价格为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的价格每天可上涨0.2元，但是存放一天需各种费用20元，日平均每天还有1千克葡萄变质丢弃.
（1）、设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则P= 元；
（2）、若存放x天后将鲜葡萄一次性出售，设鲜葡萄的销售总金额为y元，写出 y关于x的函数关系式（不写出自变量x的取值范围）；
（3）、该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获最大利润Q是多少？
20、试将7个数字：3、4、5、6、7、8、9分成两组，分别排成一个三位数和一个四位数，并且使这两个数的乘积最大，试问应该如何排列？证明你的结论？
2010年全国初中数学联赛初赛试题（湖南）参考答案
一、1、D 2、D 3、C、4、C 5、B 6、D 7、D
二、8、2.8× 9、x＜ 10、 11、150 12、
13、10（i-1）+j 14、24 15、-2007
三、16、在△ABD和△ACE中，AB=AC ∠DAB=∠CAE=90° AD=AE
△ABD≌△ACE ∴∠E=∠ADB
∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°
∴∠E=56°
17、设实际需要x天完成生产任务，根据题意得：
化简得：
12（x+4）-10x=x(x+4)
解得：x1=6, x2=-8（不合题意，舍去）
7200×（1+20%）÷5=1440 （顶） 答：该厂实际每天生产帐篷1440顶
18、作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F
在RT△AOC中，AO=100，∠CAO=60°
∴CO=AO·tan60°=100（米）
设PE=x, ∵tan∠PAB= ∵AE=2x 在RT△PCF中，∠CPF=45°CF=100－x PF=OA＋AE=100＋2x ∵PF=CF
∴100＋2X=100－x 解得： x= (米)
答：电视塔OC高是100米，点P 的铅直高度是米
19、（1）、P=3
(2) y=(2+0.2x)(200+x) 即y=
(3) Q=()－200×2－20x
==
=
∴当x=45时，Q有最大值405
∴当这批葡萄存放45天后出售，可获最大利润405元.
20、解：显然，数值大的数码应放在最高位上，但下一步怎么排呢？先考虑比较简单的情形.
设a、b、c、d是自然数，且a＞b＞c＞d，用a、b、c、d组成两个两位数，并且使它们的乘积最大.如前所述，最高位必是a和b，但下一位的排法有两种：
10a+c、10b+d 或10a+d、10b+c；现比较两组数的乘积的大小：
（10a+c）(10b+d)-(10a+d)(10b+c)=100ab+10ad+10bc+cd-100ab-10ac-10bd-cd
=10ad+10bc-10ac-10bd=10(a-b)(d-c) ＜0
有此可见，在大自然数a的后面放较小的数码d，在较小自然数b后面放较大的数码c所得的乘积较大.
根据上述结论，把9、8、7、6四个数字分成两组构成两个两位数时，96×87的乘积最大.同理，考虑9、8、7、6、5、4六个数字组成两个三位数时
964×875乘积最大.剩下最后一个3应如何放？不妨先虚设一个数码0、8个数字组成两个四位数乙9640×8753乘积最大.然后去掉虚设的0，组成一个三位数与一个四位数，964和8753乘积最大.
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