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简谐运动的描述
疱丁巧解牛
知识·巧学
一、描述简谐运动的物理量
1.振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离.用A表示.
（2）单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（m）.
（3）物理意义：表示振动强弱的物理量，振幅越大，表示振动越强.
联想发散 振幅的大小与振动系统的能量有关，对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的能量越大.
辨析比较 振幅是标量，它没有方向，也没有负值.振幅与最大位移有着本质的区别.它等于振子最大位移的大小，但却是不同于最大位移的物理量，因为最大位移有方向.
2.周期
（1）全振动：振动物体往返一次（以后完全重复原来的运动）的运动叫做一次全振动，例如水平方向运动的弹簧振子的运动：O→A→O→A′→O或A→O→A′→O→A为一次全振动（如图1-1-22所示，其中O为平衡位置，A、A′为最大位移处）.
图11-2-2
学法一得 一次全振动是指物体的位移和速度的大小和方向连续两次完全相同所经历的过程（振子将除最大位置处所有可能到达的位置都到达了两次）.对简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断：
一是从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值（大小、方向两方面），即物体完成了一次全振动，即物体从同一个方向回到出发点；
二是看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍.
（2）定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用T表示.
（3）单位：在国际单位制中，周期的单位是秒（s）.
（4）物理意义：表示振动的快慢，周期越长表示物体振动得越慢，周期越短表示物体振动得越快.
误区警示 做简谐运动的物体在一个周期内通过的路程等于振幅的4倍，在半个周期内通过的路程等于振幅的两倍，但在四分之一个周期内通过的路程不一定等于振幅.
3.频率
（1）定义：单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率.用f表示.
（2）单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹（Hz）.
（3）物理意义：频率是表示物体振动快慢的物理量，频率越大表示振动得越快，频率越小表示振动得越慢.
（4）周期与频率的关系：T=.
联想发散 物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关，所以其振动周期叫做固有周期，振动频率叫做固有频率.在简谐运动中，振幅跟频率或周期无关.
4.相位
物理意义：在物理学上为描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态而引入的量.
例如：两个用长度相同的悬线悬挂的小球，把它们拉起同样的角度同时放开，我们说它们的相位相同，如果两小球不同时释放，则后释放的小球相位落后于第一个的相位.
二、简谐运动的表达式
1.简谐运动的表达式：x=Asin(ωt+φ)
（1）式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间.
（2）A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅.
（3）ω称作简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω==2πf.
所以表达式也可写成：x=Asin(t+φ)或x=Asin(2πft+φ).
（4）φ表示t=0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相.ωt+φ代表了简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位.
联想发散 简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成：
x=Acos［-(ωt+φ)］，注意同一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位ωt+φ是随时间变化的一个变量.
2.相位差
是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异.
设两简谐运动A和B的振动方程分别为：
x1=A1sin(ωt+φ1)，x2=A2sin(ωt+φ2)，它们的相位差为：
Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1.
可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差.
若Δφ=φ2-φ1＞0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ=φ2-φ1＜0，则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|.
（1）同相：相位差为零，一般地为Δφ=2πn（n=0,1,2，…）
（2）反相：相位差为π，一般地为Δφ=(2k+1)π （n=0,1,2，…）
误区警示 比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程，否则就会出错.
典题·热题
知识点一 描述简谐运动的基本物理量
例1弹簧振子从距离平衡位置5 cm处由静止释放，4 s内完成5次全振动，则这个弹簧振子的振幅为_____________cm，振动周期为_____________s，频率为_____________Hz，4 s末振子的位移大小为_____________cm，4 s内振子运动的路程为_____________cm，若其他条件都不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5 cm处由静止释放，该振子的周期为_______s.
解析：根据题意，振子从距平衡位置5 cm处由静止开始释放，说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5 cm，即振幅为5 cm，由题设条件可知，振子在4 s内完成5次全振动，则完成一次全振动的时间为0.8 s,即T=0.8 s,又因为f=，可得频率为1.25 Hz.4 s内完成5次全振动,也就是说振子又回原来的初始点，因而振子的位移大小为5 cm，振子一次全振动的路程为20 cm，所以5次全振动的路程为100 cm，由于弹簧振子的周期是由弹簧的劲度系数和振子质量决定，其固有周期与振幅大小无关，所以从距平衡位置2.5 cm处由静止释放,不会改变周期的大小,周期仍为0.8 s.
答案：5 0.8 1.25 5 100 0.8
方法归纳 任何物理知识的学习，都离不开对基本概念的认识和理解，本题主要考查对描述振动的三个物理量的认识和理解以及位移和路程的区别，根据一次全振动确定周期，根据周期或单位时间内完成全振动的次数确定频率.简谐运动中的位移是相对平衡位置而言的，本题中容易把释放处当作位移起点.
知识点二 全振动、振幅和路程的关系
例2 如图11-2-3所示是物体做简谐运动的振动图象.请根据图象回答下列问题：
图11-2-3
（1）在图中t1时刻和t2时刻，物体的位移各是多少？
（2）这个物体的振幅是多大？
（3）这个振动的周期是多少？频率是多大？
（4）判断t1、t2时刻的物体运动方向.
解析：（1）从图中直接读出t1时刻的位移为-3 cm；t2时刻的位移为2 cm.
（2）振幅指振动物体偏离平衡位置的最大位移.从图中读出位移最大值为5 cm，因此振幅为5 cm.
（3）振动是一个周期性往复运动，图中ａ和ｂ表示物体完成了一次全振动又回到原来的状态，经历的时间即周期.可见，这个振动的周期为2 s，频率为0.5 Hz.
（4）由图象可以看出，t1时刻的下一时刻点的位移变大且远离平衡位置指向负方向，所以可以判断t1时刻物体正沿着负方向远离平衡位置.同理可以判断t2时刻物体的运动方向为沿着正方向远离平衡位置.
答案：（1）t1时刻的位移为-3cm；t2时刻的位移为2 cm；
（2）振幅为5 cm；
（3）周期为2 s，频率为0.5 Hz；
（4）t1时刻沿负方向远离平衡位置，t2时刻沿正方向远离平衡位置.
巧解提示 也可以通过图象在某点的斜率来表示速度.其中斜率的绝对值表示速度的大小，正负号表示运动的方向.由图可以看出t1时刻的图象斜率为负值，表示物体向负方向运动；t2时刻的图象斜率为正值，表示物体向正方向运动.
知识点三 振动的对称性
例3如图11-2-4所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s，过B点后再经过t=0.5 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则质点振动的周期是（ ）
图11-2-4
A.0.5 s B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s
解析：根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧；质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB=×0.5 s=0.25 s质点从B向右到达右方极端位置（设为D）的时间tBD=×0.5 s=0.25 s所以，质点从O到D的时间tOD=T=0.25 s+0.25 s=0.5 s,所以T=2 s.
答案：C
巧解提示 本题的关键是认识振动的对称性，如图1125所示，设C、D为质点振动中左方和右方的极端位置，则由对称性可知：质点从B→D→B的时间一定等于质点从A→C→A的时间，即tBDB=tACA=0.5 s.所以，质点振动周期T=tAB+tBDB+tBA+tACA=2 s.
图11-2-5
知识点四 周期性带来的多解性问题
例4弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从O点开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s时间，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是（ ）
A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s
解析：如图11-2-6所示，t1=0.3 s,t2=0.2 s，第一种可能：
图11-2-6
=t1+=(0.3+) s=0.4 s
即T=1.6 s
第三次通过M还要经过的时间
t3=+2t1=(0.8+2×0.3) s=1.4 s.
第二种可能：由图可知：
t1-+=，即T= s
第三次通过M点还要经过的时间
t3=t1+（t1-）=(2×0.3-) s= s.
答案：AC
方法归纳 本题考查简谐运动的周期的概念，明确题目中的O点与M点间的位置关系及简谐运动的特点，便可找出结果.
问题·探究
思想方法探究
问题 怎样求振动物体在一段时间内通过的路程？
探究过程:
1.求振动物体在一段时间内通过路程的基本依据：
（1）振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅，则在n个周期内路程必为n·4A.
（2）振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅.
（3）振动物体在T/4内的路程可能等于一个振幅，还可能小于一个振幅，只有当T/4的初时刻，振动物体在平衡位置或最大位移处，T/4的路程才等于一个振幅.
2.计算路程的方法是：先判断所求的时间内有几个周期，再依据上述规律求路程.
探究结论:先判断所求的时间内有几个周期，再依据上述规律求路程.
思维发散探究
问题 利用简谐运动的对称性和周期性可作出哪些判断？
探究思路：做简谐运动的物体，运动过程中各物理量关于平衡位置对称，以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，加速度、速度大小相等，动能相等，势能相等，对称性还表现在过程量的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再回到该点所需要的时间相等，质点从某点向平衡位置运动时到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等.
探究结论:观点一：若t1-t2=nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同.
观点二：若t2-t1=nT+T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量（x、F、a、v）均大小相等，方向相反.
观点三：若t2-t1=nT+T或t2-t1=nT+T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻到达最大位移处；若t1时刻，物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定.
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