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绝对值不等式（一）秒杀秘籍：绝对值不等式绝对值的几何意义：的几何意义是：数轴上表示数轴上点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数轴上两点的距离。的几何意义是：数轴上表示数轴上的两点的距离。的几何意义是：数轴上表示点到的两点的距离和，故利用图像和几何意义解或的解集。分区间讨论：的解法：I.当时，不等式解集为： II.当时，不等式解集为：空集的解法：I.当时，不等式解集为： II.当时，不等式解集为：全体实数例1：若不等式|x1|x2|a对任意xR恒成立，则a的取值范围是_解：由于|x1|x2|(1(2)|3，所以只需a3即可若本题条件变为“xR使不等式|x1|x2|a对于一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_解：由绝对值的几何意义知：|x4|x5|9，则log3(|x4|x5|)2所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立，则需a2.例3：不等式|x1|x1|1时，原不等式等价于2x3x，1x；当1x1时，原不等式等价于x1x13，此不等式恒成立，1x1；当x1时，原不等式等价于2x，x1.综上可得：x0(aR)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图像的上方，求m的取值范围解：(1)不等式f(x)a10，即|x2|a10，当a1时，解集为x2，即(，2)(2，)；当a1时，解集为全体实数R；当a|x3|m对任意实数x恒成立，即|x2|x3|m恒成立，又对任意实数x恒有|x2|x3|(x2)(x3)|5，于是得m0，即|x1|x5|a.当a2时，f(x)log2(|x1|x5|2)，设g(x)|x1|x5|，则g(x)|x1|x5|,f(x)minlog2(42)1.(2)由(1)知，g(x)|x1|x5|的最小值为4，|x1|x5|a0，a1的解集为。例9：已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解：(1)证明：f(x)|x2|x5|当2x5时，32x73.所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15，即，故解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15，即，故解集为x|5x5；当x5时，f(x)x28x15，即，故的解集为x|5x6综上，不等式f(x)x28x15的解集为x|5x61（2016烟台一模）不等式|x3|+|x+1|6的解集为（）A（，2）B（4，+）C（，2）（4，+）D（2，4）2（2016德州一模）不等式|x+1|x5|4的解集为（）A（，4）B（，4）C（4，+）D（4，+）3（2015上海模拟）不等式|2x|1的解集是（）A3，1B1，3C3，1D1，34（2014秋江西月考）若关于x的不等式|x1|+|x3|a22a1在R上的解集为，则实数a的取值范围是（）Aa1或a3Ba0或a3C1a3D1a35（2015聊城校级模拟）不等式|12x|3的解集是 （）Ax|x1Bx|1x2Cx|x2Dx|x1或x26（2015合肥校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|，若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，则实数a的取值范围是（）A3，5B（3，5）C（，35，+）D（，3）（5，+）7（2015文登市二模）不等式|x1|+|x+2|4的解集是（）ABCD8（2015德州二模）已知关于x的不等式|x1|x+a|8的解集不是空集，则a的取值范围是（）Aa9Ba7C9a7Da9或a79（2015安徽模拟）不等式|x+2a|+|xa|3对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A（，33，+）B（，11，+）C3，3D1，110（2015春恩施州期末）如果|x+1|+|x+9|a对任意实数x总成立，则a的取值范围是（）Aa|a8Ba|a8Ca|a8Da|a811（2016江西校级模拟）关于x的不等式lg（|x+3|x7|）m（）当m=1时，解此不等式；（）设函数f（x）=lg（|x+3|x7|），当m为何值时，f（x）m恒成立？12（2016白山三模）已知函数f（x）=|xa|x+3|，aR（）当a=1时，解不等式f（x）1；（）若当x0，3时，f（x）4，求a的取值范围13 （2016鹰潭一模）已知函数f（x）=|x3|xa|（1）当a=2时，解不等式f（x）；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）a成立，求实数a的取值范围14（2016陕西校级模拟）设函数f（x）=|x1|+|xa|（1）若a=1，解不等式f（x）3（2）如果xR，f（x）2，求a的取值范围15（2016葫芦岛一模）已知函数f（x）=|x3|+|x+1|（1）求使不等式f（x）6成立的x的取值范围（2）x0R，使f（x0）a，求实数a的取值范围16（2016深圳一模）已知函数f（x）=|x+a|+|x3|（aR）（）当a=1时，求不等式f（x）x+8的解集；（）若函数f（x）的最小值为5，求a的值17（2016湘西州二模）已知f（x）=|x+1|+|x1|，不等式f（x）4解集为M（1）求M；（2）若不等式f（x）+a0有解，求a的取值范围18（2016陕西模拟）已知函数f（x）=|xa|x4|（xR，aR）的值域为2，2（1）求实数a的值；（2）若存在x0R，使得f（x0）mm2，求实数m的取值范围19（2016山西校级二模）已知关于x的不等式|x|+|x1|（a0）（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围20 （2016吴忠模拟）设函数f（x）=|x4|+|xa|（a4）（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；（2）当a=1时，若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围21（2016合肥二模）已知函数f（x）=|x4|+|xa|（aR）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）522（2016延安校级二模）设函数f（x）=|x+1|+|x2|（）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值时x的取值范围；（）若不等式f（x）a（x+1）的解集为空集，求实数a的取值范围