MS绝对值不等式(高考版).doc

绝对值不等式（一）
秒杀秘籍：绝对值不等式
绝对值的几何意义：的几何意义是：数轴上表示数轴上点到原点的距离；
的几何意义是：数轴上表示数轴上两点的距离。
的几何意义是：数轴上表示数轴上的两点的距离。
的几何意义是：数轴上表示点到的两点的距离和，故
利用图像和几何意义解或的解集。
分区间讨论：
的解法：I.当时，不等式解集为： II.当时，不等式解集为：空集
的解法：I.当时，不等式解集为： II.当时，不等式解集为：全体实数
例1：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a≤3即可．
若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．
解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，
又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.
例2：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
例3：不等式|x＋1|＋|x－1|<3的实数解为________．
解：当x>1时，原不等式等价于2x<3⇒x<，∴1<x<；当－1≤x≤1时，原不等式等价于x＋1－x＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x≤1；当x<－1时，原不等式等价于－2x<3⇒x>－，∴－<x<－1.综上可得：－<x<。
例4：已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图像的上方，求m的取值范围．
解：(1)不等式f(x)＋a－1>0，即|x－2|＋a－1>0，当a＝1时，解集为x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；
当a>1时，解集为全体实数R；当a<1时，解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．
(2)f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立，又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．
例5：设对于任意实数x，不等式|x＋7|＋|x－1|≥m恒成立．(1)求m的取值范围；(2)当m取最大值时，解关于x的不等式|x－3|－2x≤2m－12.
解：(1)设函数f(x)＝|x＋7|＋|x－1|，所以m≤8.
(2)由(1)知m的最大值为8，故原不等式即为|x－3|≤2x＋4.即－2x－4≤x－3≤2x＋4.解得x≥－.
例6：已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．
解：函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|>a.当a＝2时，f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－2)，设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，则g(x)＝|x－1|＋|x－5|,f(x)min＝log2(4－2)＝1.
(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4，|x－1|＋|x－5|－a>0，∴a<4.∴a的取值范围是(－∞，4)．
秒杀秘籍：绝对值不等式
的几何意义是：数轴上表示点到的距离与到的距离之差，
故
利用图像和几何意义解或的解集。
分区间讨论：
的几何意义是：数轴上表示点到的距离与到的距离之差，
故
利用图像和几何意义解或的解集。
分区间讨论：
关键：零点分区间，越近越小。
例7：（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5）
解：由于，故时，根据图像和分析口诀可得：，故，选A。
例8：已知函数f(x)＝|x－4|－|x－2|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)解不等式|x－4|－|x－2|＞1.
解：(1)f(x)＝则函数y＝f(x)的图像如图所示．
(2)由函数y＝f(x)的图像容易求得不等式|x－4|－|x－2|>1的解集为。
例9：已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝当2<x<5时，－3<2x－7<3.所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15，即，故解集为空集；
当2<x<5时，f(x)≥x2－8x＋15，即，故解集为{x|5－≤x<5}；
当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15，即，故的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．
1．（2016•烟台一模）不等式|x﹣3|+|x+1|＞6的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） D．（﹣2，4）
2．（2016•德州一模）不等式|x+1|﹣|x﹣5|＜4的解集为（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，﹣4） C．（4，+∞） D．（﹣4，+∞）
3．（2015•上海模拟）不等式|2﹣x|≤1的解集是（　　）
A．[﹣3，﹣1] B．[1，3] C．[﹣3，1] D．[﹣1，3]
4．（2014秋•江西月考）若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1或a＞3 B．a＜0或a＞3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3
5．（2015•聊城校级模拟）不等式|1﹣2x|＜3的解集是 （　　）
A．{x|x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＜﹣1或x＞2}
6．（2015•合肥校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣3，5] B．（﹣3，5） C．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）
7．（2015•文登市二模）不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．（2015•德州二模）已知关于x的不等式|x﹣1|﹣|x+a|≥8的解集不是空集，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣9 B．a≥7 C．﹣9≤a≤7 D．a≤﹣9或a≥7
9．（2015•安徽模拟）不等式|x+2a|+|x﹣a|≥3对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．[﹣3，3] D．[﹣1，1]
10．（2015春•恩施州期末）如果|x+1|+|x+9|＞a对任意实数x总成立，则a的取值范围是（　　）
A．{a|a＞8} B．{a|a≤8} C．{a|a≥8} D．{a|a＜8}
11．（2016•江西校级模拟）关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？

12．（2016•白山三模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．

13． （2016•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．

14．（2016•陕西校级模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

15．（2016•葫芦岛一模）已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|
（1）求使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）∃x0∈R，使f（x0）＜a，求实数a的取值范围．

16．（2016•深圳一模）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．

17．（2016•湘西州二模）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4解集为M
（1）求M；（2）若不等式f（x）+a＜0有解，求a的取值范围．

18．（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．
（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．

19．（2016•山西校级二模）已知关于x的不等式|x﹣|+|x﹣1|≥（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

20． （2016•吴忠模拟）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＜4）（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）当a=1时，若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．

21．（2016•合肥二模）已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a
（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．

22．（2016•延安校级二模）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值时x的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+1）的解集为空集，求实数a的取值范围．