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2022届高考数学一轮复习 第八章 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系学案

2022届高考数学一轮复习 第八章 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系学案

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第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系

【知识重温】
一、必记6个知识点
1．平面的基本性质

　　表示
公理　　
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

公理2
①__________的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有②______过该点的公共直线

⇒
α∩β＝l，且P∈l
2.空间两条直线的位置关系
(1)位置关系分类：

(2)平行公理(公理4)和等角定理：
平行公理：平行于同一条直线的两条直线⑥________.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角⑦________.
(3)异面直线所成的角：
①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的⑧________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：⑨____________.

3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交

⑩________
1个
平行

⑪________
0个
在平面内

⑫________
无数个
平面与平面
平行

⑬________
0个
相交

⑭________
无数个
4.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
5．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
6．确定平面的三个推论
(1)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
(2)两条相交直线确定一个平面．
(3)两条平行直线确定一个平面．
二、必明2个易误点
1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(　　)
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)
(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　　)
二、教材改编
2．下列命题正确的是(　　)
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
3．下列命题中正确的是(　　)
A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

三、易错易混
4．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么(　　)
A．直线l不平行于直线m
B．直线l与直线m异面
C．直线l与直线m没有公共点
D．直线l与直线m不垂直
5．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同　　B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行

四、走进高考
6．[2018·全国卷Ⅱ]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.

　平面的基本性质[互动讲练型]
[例1]　

如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：GC＝DH：HC＝1：2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．

悟·技法
1.证明空间点共线问题的方法
(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．
(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
2．点、线共面的常用判定方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.

[变式练]——(着眼于举一反三)
1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证：(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．

考点二　异面直线的判定[自主练透型]
1．[2019·全国卷Ⅲ]

如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
2．[2021·江西景德镇模拟]将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)

A．相交且垂直　B．相交但不垂直
C．异面且垂直 D．异面但不垂直

3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)

悟·技法
异面直线的判定方法
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.

考点三　异面直线所成的角[互动讲练型]
[例2]　(1)[2018·全国卷Ⅱ]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
(2)[2021·河南省豫北名校高三质量考评]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，且AA1＝AB，E为A1B1上一点，A1E＝2EB1，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.

悟·技法
求异面直线所成的角的三步曲

[提醒]　在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·惠州市高三调研考试试题]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则异面直线AF与BE所成角的余弦值为(　　)
A．0 B. C. D.

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
【知识重温】
①过不在一条直线上　②一条　③相交　④平行　⑤任何一个平面　⑥平行　⑦相等或互补　⑧锐角(或直角)　⑨　⑩a∩α＝A　⑪a∥α　⑫a⊂α　⑬α∥β　⑭α∩β＝l
【小题热身】
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．解析：因为梯形有一组对边平行，所以梯形可以确定一个平面，故选D.
答案：D
3．解析：A中若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故A错；B中若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行或异面，故B错；C中如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线与这个平面平行或在平面内，故C错，D对．故选D.
答案：D
4．解析：∵直线l与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面α无公共点，又直线m在平面α上，∴直线l与直线m没有公共点，故选C.
答案：C
5．解析：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.
答案：D
6.

解析：如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝，则tan∠EAB＝＝，
所以异面直线AE与CD所成角的正切值为，故选C.
答案：C
课堂考点突破
考点一
例1　证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
∴GH∥BD，
∴EF∥GH.
∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．
变式练
1．证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，

∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴FE∥A1B且EF＝A1B.
∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，
∴EF与CD1可确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面．
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，
则P∈CE⊂平面ABCD，
且P∈D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1，
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．
考点二
1．解析：

取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝()2＋()2＋22＝7，得BM＝，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.
答案：B
2．解析：在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.
答案：C
3．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．
答案：③④
考点三
例2　

解析：(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.
在△DB′B1中，由余弦定理，得
DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，
即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，
∴cos∠DB1B′＝.故选C.

(2)如图，在A1C1上取一点D，使A1D＝2DC1，连接AD，DE，结合A1E＝2EB1知DE∥B1C1.又B1C1∥BC，所以DE∥BC，所以∠AED为异面直线AE与BC所成的角．设AA1＝AB＝3，则A1D＝DE＝A1E＝2，所以AD＝AE＝＝，则在等腰三角形ADE中，cos∠AED＝＝＝，故选A.
答案：(1)C　(2)A
变式练
2．解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接CF，AC，EF，AD1，则BC∥B1C1∥EF，且BC＝B1C1＝EF，所以四边形BCFE为平行四边形，所以BE∥CF，则异面直线AF与BE所成的角，即直线AF与CF所成的角，即∠AFC或其补角．设∠AFC＝θ.AC＝＝，CF＝＝，AF＝＝.

在△ACF中，由余弦定理可得，
cos θ＝＝＝0，故选A.
答案：A