2021届高考数学统考二轮复习-增分强化练空间几何体的三视图、表面积与体积.doc

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练空间几何体的三视图、表面积与体积

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练空间几何体的三视图、表面积与体积

年级：
姓名：

增分强化练(十七)
考点一　空间几何体的三视图
1．日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．通常由铜制的指针和石制的圆盘组成，铜制的指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的脚盘叫做“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久，下图是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片，假设相机镜头正对的方向为正方向，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为
(　　)

解析：因为相机镜头正对的方向为正方向，所以侧视图中圆盘为椭圆，又晷针斜向下穿盘而过，故其投影为下虚上实，故选D.
答案：D
2．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由完全相同的四个曲面构成，其直观图如图(其中四边形是为体现直观性而作的辅助线)．当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为
(　　)

解析：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．
∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B.
答案：B
3．(2019·青岛模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面为等腰直角三角形的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：由三视图可得直观图如图所示：

由三视图可知：PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥DC，PD⊥AB，
又PD＝AD＝2，PD＝DC＝2，
∴△PAD和△PDC为等腰直角三角形．
又PD⊥AB，AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PA，
又AB＝1，PA＝＝2，
∴ΔPAB不是等腰直角三角形．
∵PB＝＝3，BC＝＝，PC＝＝2，
∴△PBC不是等腰直角三角形，
综上所述，侧面为等腰直角三角形的共有2个．
故选B.
答案：B
考点二　空间几何体的表面积与体积
1．用半径为3 cm，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为(　　)
A．1 cm B．2 cm
C. cm D．2 cm
解析：设圆锥的底面半径为r cm，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr＝×3，即底面圆的半径为1，所以圆锥的高h＝＝2，故选B.
答案：B
2．(2019·中卫模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)

A. B.
C．4 D．2π
解析：由已知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．

则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是正三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R＝PD＝.
则这个几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝.故选A.
答案：A
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．6＋ B．6＋3π
C．2＋ D．2＋3π
解析：由题意，根据给定的三视图可知，该几何体左边表示一个底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为3的直三棱柱，右边表示一个底面为半径为1的半圆，母线长为3的半圆柱，所以该几何体的体积为V＝×2×2×3＋π×12×3＝6＋，故选A.
答案：A
4．(2019·泰安模拟)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P为棱AA1上任意一点，则四棱锥P­BDD1B1的体积为________．

解析：连结AC交BD于O(图略)，则有AO⊥平面BDD1B1，
所以，AO就是点P到平面BDD1B1的距离，即高h＝AO＝，
又矩形BDD1B1的面积为S＝，
所以，四棱锥P­BDD1B1的体积为V＝××＝.
答案：
考点三　多面体与球的切、接问题
1．(2019·乌鲁木齐质检)正方体的全面积是6.它的顶点都在球面上，这个球的表面积是(　　)
A．2π B．3π
C．12π D．18π
解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝6，故a＝1，又其外接球的直径2R＝a＝，所以R＝，所以S＝4πR2＝3π，故选B.
答案：B
2．(2019·济宁模拟)某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是(　　)

A．41π B．48π
C．51π D．164π
解析：由三视图可得该几何体为如图所示三棱锥，
其中，DA⊥AB，BC⊥AB，AB＝AD＝4，BC＝3，
因为CD的中点E到所有顶点的距离都相等，所以E为外接球球心．
因为CD＝＝，
所以外接球半径为r＝，则表面积为4πr2＝41π.故选A.

答案：A
3．四面体ABCD的外接球为O，AD⊥平面ABC，AD＝2，△ABC为边长为3的正三角形，则球O的表面积为________．
解析：由题意，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径为×＝，∵AD⊥平面ABC，AD＝2，
∴四面体ABCD的外接球的半径为＝2，
∴球O的表面积为4π×4＝16π.
答案：16π
4．直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为________．
解析：设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高h＝，
设外接球的半径为r，则πr3＝，解得r＝2，
∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，
∴h＝2r＝4.∴h＝2，
∴a2＋b2＝h2＝8≥2ab，
∴ab≤4.当且仅当a＝b＝2时“＝”成立．
∴三棱柱的体积V＝Sh＝abh＝ab≤4.
答案：4