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2022届高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第4节 定积分与微积分基本定理教案 北师大版

2022届高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第4节 定积分与微积分基本定理教案 北师大版

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　定积分与微积分基本定理
[考试要求]　
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义．

1．定积分的有关概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi(i＝1,2，…，n)，作和式s′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数A.我们称常数A叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝A.
在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
(2)定积分的几何意义
图形
阴影部分面积

S＝f(x)dx

S＝－f(x)dx

S＝f(x)dx－f(x)dx

S＝f(x)dx－g(x)dx
＝[f(x)－g(x)]dx
2．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．
提醒：求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算．
3．微积分基本定理
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．通常称F(x)是f(x)的一个原函数．
为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|，
即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．

函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　)
(3)若f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

二、教材习题衍生
1．已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)
A．10t B．5t
C.t D.t
B　
2．＝________.
1　[＝ln e－ln 1＝1.]
3. dx＝________.
　[dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝所围成的图形的面积，
∴dx＝.]
4.曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．
　[如图，阴影部分的面积即为所求．
由得A(1,1)．
故所求面积为S＝ (x－x2)dx
＝＝.]

考点一　定积分的计算
　计算定积分的步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．
1．计算dx的值为(　　)
A. B.＋ln 2
C.＋ln 2 D.3＋ln 2
B　[dx＝
＝2＋ln 2－
＝＋ln 2.故选B.]
2. e|x|dx＝________.
2e－2　[e|x|dx＝e|x|dx＋e|x|dx＝e－xdx＋exdx＝－e－x＋ex＝2e－2.]
3．设函数f(x)＝则f(x)dx＝________.
　[f(x)dx＝x2dx＋1dx＝x3＋x
＝＋2－1＝.]
点评：运用微积分基本定理求定积分时的四个关键点
(1)对被积函数要先化简，再求积分．
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．
(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
考点二　定积分的几何意义
　(1)根据题意画出图形．
(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限．
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．
(4)计算定积分，写出答案．
　利用定积分的几何意义计算定积分
[典例1－1]　(1)计算：dx＝________.
(2)若dx＝，则m＝________.
(1)π　(2)－1　[(1)由定积分的几何意义知，
dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，∴dx＝×π×4＝π.
(2)根据定积分的几何意义dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又dx＝为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.]
点评：正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键．
　求平面图形的面积
[典例1－2]　由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．
4－ln 3　[由xy＝1，y＝3，
可得A.
由xy＝1，y＝x，可得B(1,1)，
由y＝x，y＝3，得C(3,3)，
由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为

[逆向问题]
已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.
2　[由得或
则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为
(kx－x2)dx＝
＝－k3＝，
即k3＝8，
所以k＝2.]
点评：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．

曲线y＝－x＋2，y＝与x轴所围成的面积为________．
　[如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为dx＋(－x＋2)dx＝x ＋＝.]
考点三　定积分在物理中的应用
　定积分在物理中的两个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
[典例2]　(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)
A．1＋25ln 5　　　　　　 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
(2)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)
A. J B. J
C. J D.2 J
(1)C　(2)C　[(1)由v(t)＝7－3t＋＝0，
可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，
在此期间行驶的距离为
v(t)dt＝dt
＝＝4＋25ln 5.
(2)变力F在位移方向上的分力为Fcos 30°，故F(x)做的功为W＝(5－x2)cos 30°dx
＝(5－x2)dx
＝＝.]
点评：(1)定积分在物理中的应用，其本质是定积分的计算．
(2)如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝－v(t)dt.

物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.
130　[设A追上B时，所用的时间为t0，
则SA＝SB＋5，
即 (3t2＋1)dt＝ (10t)dt＋5，
∴(t3＋t) ＝5t＋5，
∴t＋t0＝5(t＋1)，
即t0＝5，
∴SA＝5t＋5＝5×52＋5＝130(m)．]