2022版高考数学一轮复习-第八章-解析几何-第五讲-椭圆学案-新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第五讲 椭圆学案 新人教版

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第五讲 椭圆学案 新人教版

年级：
姓名：

第五讲　椭圆

知识梳理·双基自测

知识点一　椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．
注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：
(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；
(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；
(3)若a＜c，则集合P为__空集__．
知识点二　椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形

性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为__2a__；
短轴B1B2的长为__2b__
焦距
|F1F2|＝__2c__
离心率
e＝____∈(0,1)
a、b、c
的关系
__c2＝a2－b2__

1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．
2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径．
3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．
4．e＝．
5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．
6．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－．
7．若M、N为椭圆＋＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则KPM·KPN＝－．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　√　)
(4)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同．(　√　)
题组二　走进教材
2．(必修2P42T4)椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　C　)
A．4 B．8
C．4或8 D．12
[解析]　当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4．
当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8．
∴m＝4或8．
3．(必修2P68A组T3)过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　A　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题组三　走向高考
4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　D　)
A．1－ B．2－
C． D．－1
[解析]　设|PF2|＝x，则|PF1|＝x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋)x,2c＝|F1F2|＝2x，于是离心率e＝＝＝＝－1．
5．(2019·课标Ⅰ，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　B　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析]　设|F2B|＝x(x＞0)，

则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，
|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，
由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，
所以|AF1|＝2x．
在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1，①
在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝ 4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②
由①②得x＝，所以2a＝4x＝2，a＝，
所以b2＝a2－c2＝2．
所以椭圆的方程为＋＝1．故选B．

考点突破·互动探究
考点一　椭圆的定义及应用——自主练透
例1　(1)(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是(　B　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值和最小值分别为__6＋，6－__．
(3)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3，则b＝__3__．
[解析]　(1)如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：＋＝1(其中a＞b＞0)．连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a＞|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．

(2)如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6．
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．

由椭圆方程＋＝1知c＝＝2，
∴F1(2,0)，∴|AF1|＝．
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．
∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－．
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－．
(3)|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝×b2×
＝b2＝3，所以b＝3．故填3．
[引申]本例(2)中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF|－|PA|的最大值为__4__，|PF|＋|PA|的最大值为__8__．
[解析]　设椭圆的右焦点为F1，则∵|PF1|＋|PA|≥|AF1|＝2(P在线段AF1上时取等号)，∴|PF|－|PA|＝6－(|PF1|＋|PA|)≤4，∵|PA|－|PF1|≤|AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号)，∴|PF|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF1|≤8．

名师点拨
(1)椭圆定义的应用范围：
①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
②解决与焦点有关的距离问题．
(2)焦点三角形的应用：
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
〔变式训练1〕
(1)(2021·大庆模拟)已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为__8__．
(2)(2019·课标Ⅲ，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，)__．
(3)(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为__－5__．
[解析]　(1)直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)．
而M、N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，
由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．
(2)因为F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由椭圆方程＋＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝2×6＝12，
所以|F1M|＝|F1F2|＝8，所以|F2M|＝4．
设M(x0，y0) (x0＞0，y0＞0)，
则
解得x0＝3，y0＝，即M(3，)．
(3)由题意可知F2(3,0)，
由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．
∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|＝＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5．
考点二　求椭圆的标准方程——师生共研
例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－)．
[解析]　(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆过点A(3,0)，
∴＝1，∴a＝3．∵2a＝3×2b，
∴b＝1．∴方程为＋y2＝1．
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴＝1，∴b＝3．
又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为＋＝1．
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1．
(2)由已知，有解得
从而b2＝a2－c2＝9．
∴所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1．
(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
∴解得m＝，n＝．
故椭圆方程为＋＝1．
(4)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t＞0)，将点(2，－)代入，得t＝＋＝2．
故所求方程为＋＝1．
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ＞0)代入点(2，－)，得λ＝，∴所求方程为＋＝1．
综上可知椭圆方程为＋＝1或＋＝1．

名师点拨
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．
(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
①作判断：根据条件判断焦点的位置；
②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；
③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；
④求解，得方程．
(3)椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1(a＞b＞0)与＋＝λ(λ＞0)有相同的离心率．
②与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
〔变式训练2〕
(1)“2＜m＜6”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　B　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞0)的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|＝|FP|，则C的方程为(　D　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析]　(1)＋＝1表示椭圆⇔⇔2＜m＜6且m≠4，
∴“2＜m＜6”是方程“＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．
(2)根据对称性知P在x轴上，|OF|＝|FP|，
故a＝2c，a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1，
故椭圆方程为：＋＝1．故选D．
考点三　椭圆的几何性质——师生共研
例3　(1)(2017·全国)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝，则C的长轴长为(　D　)
A．2 B．2
C．2＋ D．2＋2
(2)(2021·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　B　)
A． B．
C． D．
(3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，则c＝1，
∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2，
由余弦定理可得
|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos ，
即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×，
解得a＝1＋，a＝1－(舍去)，
∴2a＝2＋2，故选D．
(2)不妨设直线l：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离＝⇒e＝＝，故选B．
(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知－c≤2c，∴e2＝≥，即e≥，又0＜e＜1，∴≤e＜1．故选D．

名师点拨
椭圆离心率的求解方法
求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．
求椭圆离心率的取值范围的方法
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b,0＜e＜1，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
〔变式训练3〕
(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　A　)
A． B．
C． D．
(2)(2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为(　D　)
A． B．
C． D．
(3)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是____．
[解析]　(1)由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a．
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，
∴＝，
∴e＝＝＝＝＝．故选A．
(2)当P为短轴端点时∠A1PA2最大，由题意可知＝tan 60°＝，∴＝，∴e＝＝，故选D．
(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b，
∴c2≥a2－c2，∴≥，即e≥，
又0＜e＜1，∴≤e＜1．
考点四　直线与椭圆——多维探究
角度1　直线与椭圆的位置关系
例4　(多选题)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的值可能是(　BCD　)
A． B．1
C． D．4
[解析]　解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则0＜≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5．故选B、C、D．
解法二：由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0．
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5．故选B、C、D．
角度2　中点弦问题
例5　(1)(2021·湖北省宜昌市调研)过点P(3,1)且倾斜角为的直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若＝，则该椭圆的离心率为(　C　)
A． B．
C． D．
(2)已知椭圆＋y2＝1，点P，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．
[解析]　(1)由题意可知P为AB的中点，且kAB＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－，∴kAB＝＝－＝－＝－1，即＝，∴e＝＝，故选C．
(2)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有＋y＝1，＋y＝1．
两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0．
∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，
代入后求得kAB＝－＝－，
∴其方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0．
角度3　弦长问题
例6　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，椭圆E的一个焦点为(，0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l过点M(0，)且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．
[解析]　(1)依题意，设椭圆E的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)．
由椭圆E经过点P，得|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，
∴a＝2，c＝，∴b2＝a2－c2＝1．
∴椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0．
由Δ＞0得(8k)2－4(1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．
由x1＋x2＝－，x1x2＝
得|AB|＝·
＝2．
设t＝，则0＜t＜，
∴|AB|＝2＝2≤，当且仅当t＝时等号成立．
当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2＜．
综上，|AB|的最大值为．

名师点拨
直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略
(1)直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．
(2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a，b，c的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．
(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(其中k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
(4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．
〔变式训练4〕
(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是__相交__．
(2)(角度2)(2021·广东珠海期末)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1)，则直线l的斜率为(　D　)
A．2 B．－2
C． D．－
(3)(角度3)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　C　)
A．2 B．
C． D．
[解析]　(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1,1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
(2)因为＝，∴4c2＝2a2，∴4(a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，，相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－，选D．
(3)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝．
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝·，
当t＝0时，|AB|max＝．故选C．

名师讲坛·素养提升
利用换元法求解与椭圆相关的最值问题
例7　如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为__4__．

[解析]　e2＝＝1－＝1－＝，∴b2＝3，
∴椭圆方程为＋＝1，且F(－1,0)，A(2,0)，设P(2sin θ，cos θ)，则
·＝(－1－2sin θ，－cos θ)·(2－2sin θ，－cos θ)＝sin2θ－2sin θ＋1＝(sin θ－1)2≤4．
当且仅当sin θ＝－1时取等号，
故·的最大值为4．
另解：设P(x，y)，由上述解法知·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－x－2＝(x－2)2(－2≤x≤2)，显然当x＝－2时，·最大且最大值为4．

名师点拨
遇椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解，即令x＝asin θ，y＝bcos θ，将其化为三角最值问题．
〔变式训练5〕
椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　D　)
A．3 B．
C．2 D．
[解析]　设椭圆＋＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝，∴dmax＝＝．