2021届高考数学二轮复习-专题检测空间几何体的三视图、表面积及体积.doc

2021届高考数学二轮复习 专题检测空间几何体的三视图、表面积及体积

2021届高考数学二轮复习 专题检测空间几何体的三视图、表面积及体积

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专题检测（十） 空间几何体的三视图、表面积及体积
A组——“12＋4”满分练
一、选择题
1．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为(　　)

解析：选A　由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A.故选A.
2．(2019·福州市质量检测)棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1木块的直观图如图所示，平面α过点D且平行于平面ACD1，则该木块在平面α内的正投影面积是(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C. D．1
解析：选A　棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1木块在平面α内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为的等边三角形，所以木块在平面α内的正投影面积是2××××＝.故选A.
3．已知矩形ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1与S2的比值等于(　　)
A. B．1
C．2 D．4
解析：选B　设BC＝a，AB＝2a，所以S1＝2π·a·2a＝4πa2，S2＝2π·2a·a＝4πa2，S1∶S2＝1.故选B.
4．设球O是正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为(　　)
A. B．3
C. D．
解析：选B　如图，易知B1D过球心O，且B1D⊥平面ACD1，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，则球半径R＝，易知DM＝DB1，∴OM＝DB1＝a，∴截面圆半径r＝＝a，由截面圆面积S＝πr2＝6π，得r＝a＝，a＝6，∴球O的半径为R＝＝3.故选B.
5．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A­BC1M 的体积VA­BC1M＝(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C　VA­BC1M＝VC1­ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故选C.
6．(2019·武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)

A.π B．π
C．2π D．2π
解析：选B　由三视图知，该几何体是由两个底面半径为1，高为2的圆锥组成的，所以该几何体的体积V＝2××12×π×2＝.故选B.
7．在三棱锥A­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为(　　)
A. B．
C．6 D．2
解析：选B　由△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，且AB，AC，AD两两垂直，
可得
三个式子相乘可得(AB·AC·AD)2＝6，
∴该三棱锥的体积V＝×AB·AC·AD＝.故选B.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A．π B．
C. D．
解析：选B　设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，过圆柱的轴线作一截面，如图．由勾股定理得r＝＝.∴该圆柱的体积V＝Sh＝π××1＝.故选B.
9．若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切球．已知正四面体的棱长为，则它的棱切球的体积为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　将棱长为的正四面体放入棱长为1的正方体中，则正四面体的棱为正方体的面对角线，所以正四面体的棱切球即为正方体的内切球，则球的半径R＝，体积V＝πR3＝.故选B.
10．已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝3.若三棱锥D­ABC体积的最大值为，则球O的表面积为(　　)
A．36π B．16π
C．12π D．π
解析：选B　设△ABC的外接圆的半径为r，∵AB＝BC＝，AC＝3，∴∠ABC＝120°，∴2r＝＝2，∴S△ABC＝，△ABC的外接圆的半径为.∵三棱锥D­ABC的体积的最大值为，∴点D到平面ABC的最大距离为3.设球O的半径为R，则r2＝R2－(3－R)2，解得R＝2，∴球O的表面积为4πR2＝16π.故选B.
11．已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则正三棱柱的体积是(　　)
A．18 B．16
C．12 D．8
解析：选A　设正三棱柱的棱长为2a，如图，取球心为O，过点O作OO′垂直三棱柱的上底面于点O′，连接点O′与上底面顶点A交对棱于点B.
则AB＝a，AO′＝a，OO′＝a.
在Rt△OO′A中，由勾股定理，得OA2＝OO′2＋O′A2.
∵OA＝，∴7＝a2＋a2＝a2.
整理得a2＝3，∴a＝.
∴棱长为2a＝2.
∴正三棱柱的体积
V＝×2×2× sin 60°×2＝18.
故选A.
12.(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为(　　)
A. B．π
C. D．
解析：选C　正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3×＝.故选C.
二、填空题
13．(2019·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是的三棱锥，则该三棱锥的体积为______．
解析：记所有棱长都是的三棱锥为P­ABC，如图所示，取BC的中点D，连接AD，PD，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABC，且OP＝×＝，故三棱锥P­ABC的体积V＝S△ABC·OP＝××()2×＝.
答案：
14.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M­EFGH的体积为______．
解析：依题意知，四棱锥M­EFGH为正四棱锥，正方形EFGH的边长为 ＝，四棱锥M­EFGH的高为，所以四棱锥M­EFGH的体积为××＝.
答案：
15．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为______．

解析：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为π×32×5＋×π×33＝63π.
答案：63π
16．已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为______．
解析：设球O的半径为R，由平面ABC截球O所得截面的面积为9π，得△ABC的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D，因为AB⊥BC，所以点D为AC的中点，所以DC＝3.因为PA⊥平面ABC，易证PB⊥BC，所以PC为球O的直径．又PA＝8，所以OD＝PA＝4，所以R＝OC＝ ＝5，
所以球O的表面积为S＝4πR2＝100π.
答案：100π
B组——“5＋3”提速练
1.(2019·合肥市第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有(　　)
A．2对　　　　　　　　 B．3对
C．4对 D．5对
解析：选C　由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥S­ABCD，平面SCD⊥平面ABCD.因为AD⊥DC，BC⊥DC，且平面SCD∩平面ABCD＝DC，所以AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD.又由三视图知SC⊥SD，同时由AD⊥平面SCD，知AD⊥SC，又SD∩AD＝D, 所以SC⊥平面SAD，所以平面SBC⊥平面SAD.综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．故选C.
2．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M­PBC的体积为(　　)
A．1 B．
C. D．与M点的位置有关
解析：选B　∵＝，∴点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的，即为＝1.M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝×3×3＝，
∴VM­PBC＝VP­MBC＝××1＝.故选B.
3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由题意，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，如图所示，当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，当0＜BM≤时，截面为四边形，当BM＞时，截面为五边形．故选B.
4．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．2 D．4
解析：选C　如图，不妨设N在B处，设AM＝h，CQ＝m，则MB2＝h2＋4，BQ2＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－hm＋2＝0.Δ＝h2－8≥0⇒h2≥8，该直角三角形斜边MB＝≥2，故该直角三角形斜边长的最小值为2.故选C.
5．(2019·郑州市第二次质量预测)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝2，∠ABC＝45°，D是边AC上的一点，将△ABD沿BD折叠，得到三棱锥A­BCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，设BM＝x，则x的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．(，)
C．(，2) D．(2，2)
解析：选C　 将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A­BCD，且点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，所以在图b中，AM⊥平面BCD，MN，AN都与BD垂直，因此，折叠前在图a中，AM⊥BD，垂足为N，在图a中可得当D点与C点无限接近时，折痕BD接近BC，此时M与点M1无限接近．在图b中，由于AB是Rt△ABM的斜边，BM是直角边，所以BM＜AB，由此可得BM1＜BM＜AB，因为在Rt△AM1B中，BM1＝ABcos 45°＝2×＝，所以＜BM＜2，即＜x＜2.故选C.

6.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B­ACC1D的体积为________．
解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC，
所以BO⊥平面ACC1D.
因为AB＝2，所以BO＝.
因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2，
所以S梯形ACC1D＝×(2＋4)×2＝6，
所以四棱锥B­ACC1D的体积为×6×＝2.
答案：2
7．已知在正四棱锥S­ABCD中，SA＝6，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．
解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥S­ABCD中，SA＝6，所以＋h2＝108，即a2＝216－2h2，所以正四棱锥的体积VS­ABCD＝a2h＝72h－h3，令y＝72h－h3，则y′＝72－2h2，令y′>0，得0<h<6，令y′<0，得h>6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.
答案：6
8．(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．
解析：该三棱锥侧面的斜高为 ＝，则S侧＝3××2×＝2，S底＝××2＝，所以三棱锥的表面积S表＝2＋＝3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥＝S表·r＝S底·1，所以3r＝，所以r＝，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝πr3＝.
答案：3