初中数学竞赛专题选讲待定系数法.doc

个人收集整理 勿做商业用途初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要1. 多项式恒等的定义:设f(x)和g（x）是含相同变量x的两个多项式，f（x)g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边,等式总是成立的.符号“”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式。例如：（x+3)2=x2+6x+9， 5x26x+1=(5x1)（x1)， x339x70=（x+2）（x+5）（x7)。都是恒等式。根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x2）。求：a+b+c ; ab+c.解：以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c4.以x=1,代入等式的左右两边，得ab+c0.2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等,则左右两边同类项的系数相等。即 如果 a0xn+a1xn1+an1x+an=b0xn+b1xn1+bn1x+bn那么 a0=b0 , a1=b1, ， an1=bn1 ， an=bn。上例中又解： ax2+bx+c=2x22x4。 a=2, b=2, c=4. a+b+c4， ab+c0。3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题 例1. 已知: 求：A,B，C的值。解：去分母，得x2x+2=A(x3）（x+2)+Bx(x+2）+Cx(x3).根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值),当x=0时,26A。A。当x=3时,815B.B。当x=2时,810C。C。本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质:“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解。(见下例）。例2. 把多项式x3x2+2x+2表示为关于x1的降幂排列形式。解：用待定系数法：设x3x2+2x+2=a（x1)3+b(x1）2+c(x1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得x3x2+2x+2=ax33ax2+3axa +bx22bx+b +cxc +d 用恒等式的性质,比较同类项系数，得 解这个方程组,得x3x2+2x+2=(x1）3+2(x1)2+3（x1）+4.本题也可用换元法：设x1=y， 那么x=y+1.把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式,最后再把y换成x 1。例3. 已知:4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式。求: a和b的值。解：设4x4+ax3+13x2+bx+1（2x2+mx1）2（设待定的系数,要尽可能少。）右边展开，合并同类项，得4x4+ax3+13x2+bx+14x4+4mx3+（m24）x22mx+1.比较左右两边同类项系数，得方程组； 或.解得.例4. 推导一元三次方程根与系数的关系。解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a0)的三个根分别为x1，x2，x3.原方程化为x3+。x1,x2,x3是方程的三个根.x3+(xx1) （xx2） （xx3)。把右边展开，合并同类项,得x3+=x3（ x1+x2+x3)x2+（x1x2+x1x3+x2x3）xx1x2x3。比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x1+x2+x3=,x1x2+x1x3+x2x3,x1x2x3.例5. 已知：x3+px+q 能被（xa）2整除。求证：4p3+27q2=0.证明：设x3+px+q（xa）2（x+b).x3+px+q=x3+（b2a）x2+（a22ab）x+a2b。 由得b=2a，代入和得 4p3+27q24(3a2)3+27(2a3）2=4（27a6）+27（4a6)=0。（证毕）.例6. 已知：f (x)=x2+bx+c是g （x)=x4 +6x225的因式，也是q (x）=3x4+4x2+28x+5的因式。求：f (1)的值。解：g (x），q （x）都能被f （x）整除，它们的和、差、倍也能被f （x）整除.为了消去四次项，设g (x)q (x)kf (x）， (k为正整数）.即14x228x+70k (x2+bx+c)14(x22x+5）k （x2+bx+c)k=14, b=2, c=5。即f (x)=x22x+5。f (1）=4 .例7. 用待定系数法，求（x+y）5 的展开式解：展开式是五次齐次对称式，可设（x+y）5a（x5+y5)+b(x4y+xy4）+c(x3y2+x2y3) （a,b,c是待定系数.）当x=1,y=0时，得a=1；当x=1,y=1时，得2a+2b+2c=32,即a+b+c=16当x=1，y=2时，得31a14b+4c=1.得方程组解方程组,得(x+y）5x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.三、练习511.已知。求a，b的值。2。已知：。求：A，B，C的值.3. 已知：x46x3+13x212x+4是完全平方式。求:这个代数式的算术平方根。4. 已知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除。求证：ad=bc。5. 已知:x39x2+25x+13=a(x+1）(x2）（x3) =b（x1)（x2）（x3） =c（x1)(x+1)(x3） =d(x1)（x+1)（x2)。求：a+b+c+d的值。6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理）。7. 用x2的各次幂表示3x310x2+13.8. k取什么值时，kx22xyy2+3x5y+2能分解为两个一次因式。.9. 分解因式：x2+3xy+2y24x+5y+3；x4+1987x2+1986x+1987.10. 求下列展开式： （x+y）6； （a+b+c）3。11. 多项式x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解的结果是（ ） (A) （x+y）（yz）（xz) . (B） (x+y)(y+z)（xz）。（C） （xy）(yz)(x+z）. (D) (xy)(y+z）(x+z)。12. 已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1，若S=（x1)4+4(x1）3+6（x1）2+4x3.则S等于( )(A） （x2)4 。 (B） （x1）4 . （C） x4 。 （D) （x+1）4.13 已知：的值是恒为常数求:a，b，c的值.参考答案1。 a=,b= 2. A=1，B=2，C=3 3。 (x23x+2）4。由 (x2+p）（ax+) 5. 1 7。 3（x2)3+8(x2)24（x2)38. 先整理为关于x的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。9. (x+y +1)(x+2y+3) (x2+x+1)（x2x+1987)10。x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6。 x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.11。 （A) 12。(C) 13. a=1， b=1.5， c=2。